所属成套资源：2021高考数学人教A版一轮复习学案
2021高考数学一轮复习学案：第四章4.5第1课时和角、差角和倍角公式
展开§4.5 简单的三角恒等变换
1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式
(1)cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β(C(α－β))；
(2)cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β(C(α＋β))；
(3)sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β(S(α－β))；
(4)sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β(S(α＋β))；
(5)tan(α－β)＝(T(α－β))；
(6)tan(α＋β)＝(T(α＋β))．
2．二倍角公式
(1)基本公式：
①sin 2α＝2sin αcos α；
②cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
③tan 2α＝.
(2)公式变形：
由cos 2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α可得
降幂公式：cos2α＝；sin2α＝；
升幂公式：cos 2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.
概念方法微思考
1．诱导公式与两角和差的三角函数公式有何关系？
提示 诱导公式可以看成和差公式中β＝k·(k∈Z)时的特殊情形．
2．怎样研究形如f (x)＝asin x＋bcos x的函数的性质？
提示 先根据辅助角公式asin x＋bcos x＝·sin(x＋φ)，将f (x)化成f (x)＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再结合图象研究函数的性质．
3．思考求的正弦、余弦、正切公式．
提示 (1)sin ＝±；
(2)cos ＝±；
(3)tan ＝±＝＝.
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( √ )
(2)设α∈(π，2π)，则＝sin .( × )
(3)设<θ<3π，且|cos θ|＝，那么sin 的值为.( × )
(4)在非直角三角形中有tan A＋tan B＋tan C＝tan A·tan Btan C．( √ )
题组二 教材改编
2．若cos α＝－，α是第三象限的角，则sin等于( )
A．－ B. C．－ D.
答案 C
解析 ∵α是第三象限角，∴sin α＝－＝－，
∴sin＝－×＋×＝－.
3．sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°＝ .
答案
解析 sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°
＝sin(270°＋77°)cos(90°＋58°)＋sin 77°cos 58°
＝(－cos 77°)·(－sin 58°)＋sin 77°cos 58°
＝sin 58°cos 77°＋cos 58°sin 77°
＝sin(58°＋77°)＝sin 135°＝.
4．tan 10°＋tan 50°＋tan 10°tan 50°＝ .
答案
解析 ∵tan 60°＝tan(10°＋50°)＝，
∴tan 10°＋tan 50°＝tan 60°(1－tan 10°tan 50°)
＝－tan 10°tan 50°，
∴原式＝－tan 10°tan 50°＋tan 10°tan 50°＝.
5．(tan 10°－)sin 40°的值为 ．
答案 －1
解析 (tan 10°－)·sin 40°
＝·sin 40°
＝·sin 40°
＝·sin 40°
＝－
＝－＝－1.
题组三 易错自纠
6．(2019·衡水中学调研)已知α∈，sin α＝－，则tan等于( )
A．－7 B．－
C. D．7
答案 B
解析 ∵α∈，sin α＝－，
∴cos α＝，∴tan α＝－.
∴tan＝＝＝－.
7．(多选)下面各式中，正确的是( )
A．sin＝sin cos ＋cos
B．cos ＝sin －cos cos
C．cos＝cos cos ＋
D．cos ＝cos －cos
答案 ABC
解析 ∵sin＝sin cos ＋cos sin
＝sin cos ＋cos ，∴A正确；
∵cos ＝－cos ＝－cos
＝sin －cos cos ，∴B正确；
∵cos＝cos＝cos cos ＋，∴C正确；
∵cos ＝cos≠cos －cos ，∴D不正确．故选ABC.
8．化简：＝ .
答案
解析 原式＝
＝＝＝.
9．化简：＝ .
答案 4sin α
解析 ＝
＝＝4sin α.
10．已知θ∈，且sin＝，则tan 2θ＝ .
答案 －
解析 方法一 sin＝，
得sin θ－cos θ＝，
平方得2sin θcos θ＝，
又θ∈，可求得sin θ＋cos θ＝，
∴sin θ＝，cos θ＝，
∴tan θ＝，tan 2θ＝＝－.
方法二 ∵θ∈且sin＝，
∴cos＝，
∴tan＝＝，∴tan θ＝.
故tan 2θ＝＝－.
第1课时 和角、差角和倍角公式
和差倍角公式的简单应用
1．若sin(π－α)＝，且≤α≤π，则sin 2α的值为( )
A．－ B．－ C. D.
答案 A
解析 因为sin(π－α)＝sin α＝，≤α≤π，
所以cos α＝－＝－，
所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－.
2．已知sin α＝，α∈，tan(π－β)＝，则tan(α－β)的值为( )
A．－ B. C. D．－
答案 A
解析 ∵α∈，∴cos α＝－，tan α＝－，
又tan(π－β)＝，∴tan β＝－，
∴tan(α－β)＝
＝＝－.
3．计算的值为 ．
答案
解析 ＝
＝＝＝.
4．(2019·全国Ⅰ)函数f (x)＝sin－3cos x的最小值为 ．
答案 －4
解析 ∵f (x)＝sin－3cos x
＝－cos 2x－3cos x＝－2cos2x－3cos x＋1，
令t＝cos x，则t∈[－1,1]，∴f (t)＝－2t2－3t＋1.
又函数f (t)图象的对称轴t＝－∈[－1,1]，且开口向下，
∴当t＝1时，f (t)有最小值－4.
综上，f (x)的最小值为－4.
思维升华 (1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征．
(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值．
公式的灵活应用
命题点1 角的变换
例1 (1)已知sin＝，且<α<，则cos α的值为 ．
答案
解析 ∵sin＝，且<α<，
∴<α＋<π.
∴cos＝－＝－.
∴cos α＝cos
＝coscos ＋sinsin
＝－×＋×＝.
(2)(2019·山东模拟)若cos(75°－α)＝，则cos(30°＋2α)＝ .
答案
解析 ∵cos(75°－α)＝sin(15°＋α)＝，
∴cos(30°＋2α)＝1－2sin2(15°＋α)＝1－2×＝.
命题点2 三角函数式的变换
例2 (1)(2019·长沙雅礼中学模拟)已知sin 2α＝，则cos2＝ .
答案
解析 方法一 cos2＝＝(1－sin 2α)＝.
方法二 cos＝cos α－sin α，
所以cos2＝(cos α－sin α)2
＝(1－2sin αcos α)＝(1－sin 2α)＝.
(2)求值：－sin 10°＝ .
答案
解析 原式＝－sin 10°
＝－sin 10°·
＝－sin 10°·
＝－2cos 10°＝
＝
＝
＝＝.
命题点3 公式的综合应用
例3 (1)(1＋tan 17°)·(1＋tan 28°)的值为 ．
答案 2
解析 原式＝1＋tan 17°＋tan 28°＋tan 17°·tan 28°
＝1＋tan 45°(1－tan 17°·tan 28°)＋tan 17°·tan 28°
＝1＋1＝2.
(2)若sin x＋cos x＝，则tan＝ .
答案 ±
解析 由sin x＋cos x＝，得2sin＝，
即sin＝，所以cos＝±，
所以tan＝±，
即tan＝tan＝±.
(3)若<α<2π，则可化简为 ．
答案 －cos
解析 ＝，
因为π<α<2π，所以|cos α|＝cos α.
所以原式＝＝.
又因为π<<π，所以原式＝－cos .
思维升华 (1)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系．
(2)常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝－，α＝＋，＝－等．
跟踪训练 (1)已知α∈，β∈，且cos α＝，cos(α＋β)＝－，则sin β＝ .
答案
解析 由已知可得sin α＝，sin(α＋β)＝，
∴sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α
＝×－×＝.
(2)计算：＝ .(用数字作答)
答案
解析 ＝
＝＝＝.
(3)(2019·河北保定一中期末)已知sin 2α＝，0<α<，则cos的值为 ．
答案
解析 ∵sin 2α＝，0<α<，
∴sin αcos α＝，sin α>0，cos α>0.
又∵sin2α＋cos2α＝1，
∴(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝，
∴sin α＋cos α＝.
∴cos＝＝cos α＋sin α＝.
(4)在△ABC中，若tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，则cos C＝ .
答案
解析 由tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，
可得＝－1，
即tan(A＋B)＝－1，又A＋B∈(0，π)，
所以A＋B＝，则C＝，cos C＝.
