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2021高考数学一轮复习学案：第四章4.5第2课时 简单的三角恒等变换
展开第2课时 简单的三角恒等变换
三角函数式的化简
1．化简：＝________.
答案 2cos α
解析 原式＝＝2cos α.
2．当π<α<2π时，化简：＝________.
答案 cos α
解析 原式＝
＝
＝.
∵π<α<2π，∴<<π.∴cos <0.
∴原式＝＝cos α.
3．化简：sin2αsin2β＋cos2αcos2β－cos 2αcos 2β＝________.
答案
解析 方法一(从“角”入手，化复角为单角)
原式＝sin2αsin2β＋cos2αcos2β－(2cos2α－1)(2cos2β－1)
＝sin2αsin2β－cos2αcos2β＋cos2α＋cos2β－
＝sin2αsin2β＋cos2αsin2β＋cos2β－
＝sin2β＋cos2β－＝1－＝.
方法二(从“名”入手，化异名为同名)
原式＝sin2αsin2β＋(1－sin2α)cos2β－cos 2αcos 2β
＝cos2β－sin2α(cos2β－sin2β)－cos 2αcos 2β
＝cos2β－sin2αcos 2β－cos 2αcos 2β
＝cos2β－cos 2β
＝－cos 2β＝.
4．化简：－2cos(α＋β)．
解 原式＝
＝
＝
＝
＝＝.
思维升华 (1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则
一看角，二看名，三看式子结构与特征．
(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的联系点．
三角函数的求值
命题点1 给角求值
例1 (1)cos ·cos ·cos＝________.
答案 －
解析 cos ·cos ·cos
＝cos 20°·cos 40°·cos 100°
＝－cos 20°·cos 40°·cos 80°
＝－
＝－
＝－
＝－
＝－＝－.
(2)＝________.
答案
解析 ＝
＝＝＝.
命题点2 给值求值
例2 (1)已知cos＝，θ∈，则sin＝________.
答案
解析 由题意可得cos2＝＝，cos＝－sin 2θ＝－，即sin 2θ＝.
因为cos＝>0，θ∈，
所以0<θ<，2θ∈，
根据同角三角函数基本关系式，可得cos 2θ＝，
由两角差的正弦公式，可得sin＝sin 2θcos －cos 2θsin
＝×－×＝.
(2)若cos＝，π<x<π，则＝________.
答案 －
解析 ∵<x<，
∴<＋x<2π.
又cos＝，
∴sin＝－，
∴cos x＝cos
＝coscos ＋sinsin ＝－.
∴sin x＝－，tan x＝7.
∴＝
＝＝－.
命题点3 给值求角
例3 已知α，β为锐角，cos α＝，sin β＝，则cos 2α＝________，2α－β＝________.
答案
解析 因为cos α＝，所以cos 2α＝2cos2α－1＝.
又α，β为锐角，sin β＝，
所以sin α＝，cos β＝，
因此sin 2α＝2sin αcos α＝，
所以sin(2α－β)＝×－×＝.
因为α为锐角，所以0<2α<π.
又cos 2α>0，所以0<2α<，
又β为锐角，所以－<2α－β<，
又sin(2α－β)＝，所以2α－β＝.
思维升华 (1)给角求值与给值求值问题的关键在“变角”，通过角之间的联系寻找转化方法．
(2)给值求角问题：先求角的某一三角函数值，再根据角的范围确定角．
跟踪训练 (1)cos275°＋cos215°＋cos 75°cos 15°的值等于( )
A. B. C. D．1＋
答案 C
解析 原式＝sin215°＋cos215°＋sin 15°cos 15°
＝1＋sin 30°＝1＋＝.
(2)已知α∈，且2sin2α－sin α·cos α－3cos2α＝0，则＝________.
答案
解析 ∵α∈，且2sin2α－sin α·cos α－3cos2α＝0，
则(2sin α－3cos α)·(sin α＋cos α)＝0，
又∵α∈，sin α＋cos α>0，
∴2sin α＝3cos α，又sin2α＋cos2α＝1，
∴cos α＝，sin α＝，
∴＝
＝＝.
(3)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan β＝－，则2α－β的值为________．
答案 －
解析 ∵tan α＝tan[(α－β)＋β]
＝＝＝>0，
∴0<α<.
又∵tan 2α＝＝＝>0，
∴0<2α<，
∴tan(2α－β)＝＝＝1.
∵tan β＝－<0，∴<β<π，－π<2α－β<0，
∴2α－β＝－.
