2021高考数学一轮复习学案：第五章5.2平面向量基本定理及坐标表示
展开§5.2 平面向量基本定理及坐标表示
1．平面向量基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
2．平面向量的坐标表示
(1)向量及向量的模的坐标表示
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝.
(2)平面向量的坐标运算
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，
λa＝(λx1，λy1)．
3．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中a≠0.a，b共线⇔x1y2－x2y1＝0.
概念方法微思考
1．若两个向量存在夹角，则向量的夹角与直线的夹角一样吗？为什么？
提示 不一样．因为向量有方向，而直线不考虑方向．当向量的夹角为直角或锐角时，与直线的夹角相同．当向量的夹角为钝角或平角时，与直线的夹角不一样．
2．平面内的任一向量可以用任意两个非零向量表示吗？
提示 不一定．两个向量只有不共线时，才能作为一组基底表示平面内的任一向量．
3．已知三点A，B，C共线，O是平面内任一点，若＝x＋y，写出x，y的关系式．
提示 x＋y＝1.
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内的任意两个向量都可以作为一组基底．( × )
(2)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( √ )
(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可表示成＝.( × )
(4)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变．( √ )
题组二 教材改编
2．已知▱ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，则顶点D的坐标为________．
答案 (1,5)
解析 设D(x，y)，则由＝，得(4,1)＝(5－x,6－y)，
即解得
3．已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋nb与a－2b共线，则＝________.
答案 －
解析 由向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，
得ma＋nb＝(2m－n,3m＋2n)，a－2b＝(4，－1)．
由ma＋nb与a－2b共线，
得＝，所以＝－.
4．(多选)如图所示，C，D是线段AB上的两个三等分点，则下列关系式正确的是( )
A.＝3 B.＝－2
C.＋＝0 D.＝
答案 ABC
题组三 易错自纠
5．设e1，e2是平面内一组基底，若λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＋λ2＝________.
答案 0
6．已知点A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝________.
答案 (－7，－4)
解析 根据题意得＝(3,1)，
∴＝－＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．
7．(2019·聊城模拟)已知向量a＝(1,1)，2a＋b＝(4,3)，c＝(x，－2)，若b∥c，则x的值为( )
A．4 B．－4 C．2 D．－2
答案 B
解析 b＝2a＋b－2a＝(2,1)，
∵b∥c，∴x＋4＝0，∴x＝－4.故选B.
平面向量基本定理的应用
例1 如图，已知在△OCB中，A是CB的中点，D是将分成2∶1的一个内分点，DC和OA交于点E，设＝a，＝b.
(1)用a和b表示向量，；
(2)若＝λ，求实数λ的值．
解 (1)由题意知，A是BC的中点，
且＝，由平行四边形法则，
得＋＝2，
所以＝2－＝2a－b，
＝－＝(2a－b)－b＝2a－b.
(2)由题意知，∥，故设＝x.
因为＝－＝(2a－b)－λa
＝(2－λ)a－b，＝2a－b.
所以(2－λ)a－b＝x.
因为a与b不共线，由平面向量基本定理，
得解得
故λ＝.
思维升华 应用平面向量基本定理的注意事项
(1)选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示出来．
(2)强调几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等．
(3)强化共线向量定理的应用．
跟踪训练1 在△ABC中，点P是AB上一点，且＝2，Q是BC的中点，AQ与CP的交点为M，又＝t，则t的值为________．
答案
解析 ＝2，
即P为AB的一个三等分点，如图所示．
∵A，M，Q三点共线，
∴＝x＋(1－x)＝＋(x－1)，
而＝－，∴＝＋.
又＝＋＝－＋，
由已知＝t，可得＋＝t，
又，不共线，∴解得t＝.
平面向量的坐标运算
例2 已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b.
(1)求3a＋b－3c；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；
(3)求M，N的坐标及向量的坐标．
解 由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．
(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)
＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．
(2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，
∴解得
(3)设O为坐标原点，∵＝－＝3c，
∴＝3c＋＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)．
∴M(0,20)．
又∵＝－＝－2b，
∴＝－2b＋＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，
∴N(9,2)，∴＝(9，－18)．
本例中条件不变，如何利用向量求线段AB中点的坐标？
解 设O为坐标原点，P(x，y)是线段AB的中点，
则＝(＋)，
即(x，y)＝[(－2,4)＋(3，－1)]＝，
所以线段AB中点的坐标为.
本例中条件不变，如何利用向量求△ABC的重心G的坐标？
解 设AB的中点为P，O为坐标原点，
因为＝，
所以＝＋＝＋(＋)，
所以＝(＋＋)＝[(－2,4)＋(3，－1)＋(－3，－4)]＝，
所以重心G的坐标为.
思维升华 平面向量坐标运算的技巧
(1)利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．
(2)解题过程中，常利用“向量相等，则坐标相同”这一结论，由此可列方程(组)进行求解．
跟踪训练2 (1)(2019·大连模拟)已知＝(1，－1)，C(0,1)，若＝2，则点D的坐标为( )
A．(－2,3) B．(2，－3)
C．(－2,1) D．(2，－1)
答案 D
解析 设D(x，y)，则＝(x，y－1)，2＝(2，－2)，
根据＝2，得(x，y－1)＝(2，－2)，
即解得故选D.
(2)(2019·河北省级示范高中联考)在平行四边形ABCD中，A(1,2)，B(－2,0)，＝(2，－3)，则点D的坐标为( )
A．(6,1) B．(－6，－1)
C．(0，－3) D．(0,3)
答案 A
解析 ＝(－3，－2)，∴＝＝－＝(5，－1)，则D(6,1)，故选A.
向量共线的坐标表示
命题点1 利用向量共线求参数
例3 (1)(2019·内江模拟)设向量a＝(x,1)，b＝(4,2)，且a∥b，则实数x的值是________．
答案 2
解析 ∵a＝(x,1)，b＝(4,2)，且a∥b，
∴2x＝4，即x＝2.
(2)(2020·海南省文昌中学模拟)已知a＝(1,3)，b＝(－2，k)，且(a＋2b)∥(3a－b)，则实数k＝________.
答案 －6
解析 由题意得a＋2b＝(－3,3＋2k)，3a－b＝(5,9－k)，
由(a＋2b)∥(3a－b)，得－3(9－k)＝5(3＋2k)，
解得k＝－6.
命题点2 利用向量共线求向量或点的坐标
例4 已知O为坐标原点，点A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，则AC与OB的交点P的坐标为_____．
答案 (3,3)
解析 方法一 由O，P，B三点共线，
可设＝λ＝(4λ，4λ)，
则＝－＝(4λ－4,4λ)．
又＝－＝(－2,6)，
由与共线，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，
解得λ＝，所以＝＝(3,3)，
所以点P的坐标为(3,3)．
方法二 设点P(x，y)，则＝(x，y)，
因为＝(4,4)，且与共线，所以＝，
即x＝y.
又＝(x－4，y)，＝(－2,6)，且与共线，
所以(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得x＝y＝3，
所以点P的坐标为(3,3)．
思维升华 平面向量共线的坐标表示问题的解题策略
(1)如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2＝x2y1”．
(2)在求与一个已知向量a共线的向量时，可设所求向量为λa(λ∈R)．
跟踪训练3 (1)已知向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(－k,10)，且A，B，C三点共线，则实数k的值是( )
A．－ B．－ C. D.
答案 A
解析 ＝－＝(4－k，－7)，
＝－＝(－2k，－2)．
∵A，B，C三点共线，∴，共线，
∴－2×(4－k)＝－7×(－2k)，
解得k＝－.
(2)(2019·江西省红色七校联考)已知平面向量a＝(－1,2)，b＝(2，y)，且a∥b，则3a＋2b＝________.
答案 (1，－2)
解析 ∵a＝(－1,2)，b＝(2，y)，且a∥b，
∴－1×y－2×2＝0，解得y＝－4，
故可得3a＋2b＝3(－1,2)＋2(2，－4)＝(1，－2)．
