2021高考数学一轮复习学案：第七章7.3直线、平面垂直的判定与性质


§7.3　直线、平面垂直的判定与性质

1．直线与平面垂直
(1)定义
如果直线a与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线a与平面α互相垂直，记作a⊥α，直线a叫做平面α的垂线，平面α叫做直线a的垂面．垂线和平面的交点即为垂足．
(2)判定定理与性质定理

文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面

⇒l⊥α
性质定理
如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行

⇒a∥b

2.直线和平面所成的角
(1)定义
平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角．若一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角，若一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0°的角．
(2)范围：.
3．平面与平面垂直
(1)二面角的有关概念
①二面角：一条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；
②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．
(2)平面和平面垂直的定义
如果两个平面所成的二面角是直二面角，那么就说这两个平面互相垂直．
(3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理

文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直

⇒α⊥β
性质定理
如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面

⇒l⊥α

概念方法微思考
1．若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面吗？
提示　垂直．若两平行线中的一条垂直于一个平面，那么在平面内可以找到两条相交直线与该直线垂直，根据异面直线所成的角，可以得出两平行直线中的另一条也与平面内的那两条直线成90°的角，即垂直于平面内的这两条相交直线，所以垂直于这个平面．
2．两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面吗？
提示　垂直．在两个相交平面内分别作与第三个平面交线垂直的直线，则这两条直线都垂直于第三个平面，那么这两条直线互相平行．由线面平行的性质定理可知，这两个相交平面的交线与这两条垂线平行，所以该交线垂直于第三个平面．

题组一　思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.(　×　)
(2)垂直于同一个平面的两平面平行．(　×　)
(3)若α⊥β，a⊥β，则a∥α.(　×　)
(4)若直线a⊥平面α，直线b∥α，则直线a与b垂直．(　√　)
题组二　教材改编
2．(多选)下列命题中正确的有(　　)
A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β
B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ
D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β
答案　ABC
解析　对于D，若平面α⊥平面β，则平面α内的直线可能不垂直于平面β，即与平面β的关系还可以是斜交、平行或在平面β内，其他选项均是正确的．
3．在三棱锥P－ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O.
(1)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心；
(2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的________心．
答案　(1)外　(2)垂
解析　(1)如图1，连结OA，OB，OC，OP，
在Rt△POA，Rt△POB和Rt△POC中，PA＝PC＝PB，
所以OA＝OB＝OC，即O为△ABC的外心．
　　
(2)如图2，延长AO，BO，CO分别交BC，AC，AB于点H，D，G.
∵PC⊥PA，PB⊥PC，PA∩PB＝P，PA，PB⊂平面PAB，
∴PC⊥平面PAB，又AB⊂平面PAB，∴PC⊥AB，
∵AB⊥PO，PO∩PC＝P，PO，PC⊂平面PGC，
∴AB⊥平面PGC，又CG⊂平面PGC，
∴AB⊥CG，即CG为△ABC边AB上的高．
同理可证BD，AH分别为△ABC边AC，BC上的高，
即O为△ABC的垂心．
题组三　易错自纠
4．若l，m为两条不同的直线，α为平面，且l⊥α，则“m∥α”是“m⊥l”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案　A
解析　由l⊥α且m∥α能推出m⊥l，充分性成立；
若l⊥α且m⊥l，则m∥α或者m⊂α，必要性不成立，
因此“m∥α”是“m⊥l”的充分不必要条件，故选A.
5.如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，点O，M，N分别是线段BD，DD1，D1C1的中点，则直线OM与AC，MN的位置关系是(　　)

A．与AC，MN均垂直 B．与AC垂直，与MN不垂直
C．与AC不垂直，与MN垂直 D．与AC，MN均不垂直
答案　A
解析　因为DD1⊥平面ABCD，所以AC⊥DD1，
又因为AC⊥BD，DD1∩BD＝D，
所以AC⊥平面BDD1B1，
因为OM⊂平面BDD1B1，所以OM⊥AC.
设正方体的棱长为2，
则OM＝＝，MN＝＝，
ON＝＝，
所以OM2＋MN2＝ON2，所以OM⊥MN.故选A.
6．(多选)如图所示，AB是半圆O的直径，VA垂直于半圆O所在的平面，点C是圆周上不同于A，B的任意一点，M，N分别为VA，VC的中点，则下列结论正确的是(　　)

A．MN∥平面ABC B．平面VAC⊥平面VBC
C．MN与BC所成的角为45° D．OC⊥平面VAC
答案　AB
解析　易知MN∥AC，又AC⊂平面ABC，MN⊄平面ABC，∴MN∥平面ABC，又由题意得BC⊥AC，因为VA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以VA⊥BC.因为AC∩VA＝A，所以BC⊥平面VAC.因为BC⊂平面VBC，所以平面VAC⊥平面VBC.故选AB.
直线与平面垂直的判定与性质
例1　(2019·全国Ⅱ)如图，长方体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1.

(1)证明：BE⊥平面EB1C1；
(2)若AE＝A1E，AB＝3，求四棱锥E－BB1C1C的体积．
(1)证明　由已知得B1C1⊥平面ABB1A1，BE⊂平面ABB1A1，故B1C1⊥BE.
又BE⊥EC1，B1C1∩EC1＝C1，B1C1，EC1⊂平面EB1C1，
所以BE⊥平面EB1C1.
(2)解　由(1)知∠BEB1＝90°.
由题设知Rt△ABE≌Rt△A1B1E，
所以∠AEB＝∠A1EB1＝45°，
故AE＝AB＝3，AA1＝2AE＝6.
如图，作EF⊥BB1，垂足为F，

则EF⊥平面BB1C1C，
且EF＝AB＝3.
所以四棱锥E－BB1C1C的体积V＝×3×6×3＝18.
思维升华　证明线面垂直的常用方法及关键
(1)证明线面垂直的常用方法：①判定定理．②垂直于平面的传递性．③面面垂直的性质．
(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直，则需借助线面垂直的性质．
跟踪训练1　(2019·贵阳模拟)如图，在三棱锥ABCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.

求证：(1)EF∥平面ABC；
(2)AD⊥AC.
证明　(1)在平面ABD内，因为AB⊥AD，EF⊥AD，
则AB∥EF.
又因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，
所以EF∥平面ABC.
(2)因为平面ABD⊥平面BCD，
平面ABD∩平面BCD＝BD，BC⊂平面BCD，BC⊥BD，
所以BC⊥平面ABD.
因为AD⊂平面ABD，所以BC⊥AD.
又AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，
所以AD⊥平面ABC.
又因为AC⊂平面ABC，所以AD⊥AC.
平面与平面垂直的判定与性质
例2　(2019·栖霞模拟)如图，多面体ABCDEF中，ABCD是菱形，∠ABC＝60°，FA⊥平面ABCD，ED∥FA，且AB＝FA＝2ED＝2.

(1)求证：平面FAC⊥平面EFC；
(2)求多面体ABCDEF的体积．
(1)证明　连结BD交AC于O，设FC中点为P，连结OP，EP，

∵O，P分别为AC，FC的中点，
∴OP∥FA，且OP＝FA，
∴OP∥ED且OP＝ED，
∴四边形OPED为平行四边形，
∴OD∥EP，即BD∥EP，
∵FA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴FA⊥BD，
∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，
∵FA∩AC＝A，FA，AC⊂平面FAC，
∴BD⊥平面FAC，即EP⊥平面FAC，
又EP⊂平面EFC，∴平面FAC⊥平面EFC.
(2)解　VF－ABC＝S△ABC·FA＝××4×2＝，
∵FA⊥平面ABCD，FA⊂平面ADEF，
∴平面ADEF⊥平面ABCD，作CG⊥AD于点G，
又平面ADEF∩平面ABCD＝AD，∴CG⊥平面ADEF，
∴C到平面ADEF的距离CG＝CD＝，
∴VC－ADEF＝××＝，
∴VABCDEF＝VF－ABC＋VC－ADEF＝.
思维升华　(1)判定面面垂直的方法
①面面垂直的定义．
②面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β)．
(2)在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化．在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．
跟踪训练2　(2018·全国Ⅰ)如图，在平行四边形ABCM中，AB＝AC＝3，∠ACM＝90°.以AC为折痕将△ACM折起，使点M到达点D的位置，且AB⊥DA.

(1)证明：平面ACD⊥平面ABC；
(2)Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BP＝DQ＝DA，求三棱锥Q－ABP的体积．
(1)证明　由已知可得，∠BAC＝90°，即BA⊥AC.
又BA⊥AD，AD∩AC＝A，AD，AC⊂平面ACD，
所以AB⊥平面ACD.
又AB⊂平面ABC，
所以平面ACD⊥平面ABC.
(2)解　由已知可得，DC＝CM＝AB＝3，DA＝3.
又BP＝DQ＝DA，所以BP＝2.
如图，过点Q作QE⊥AC，垂足为E，

则QE∥DC且QE＝DC.
由已知及(1)可得，DC⊥平面ABC，
所以QE⊥平面ABC，QE＝1.
因此，三棱锥Q－ABP的体积为VQ－ABP＝×S△ABP×QE＝××3×2sin 45°×1＝1.
垂直关系的综合应用
例3　如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的一动点．

(1)证明：△PBC是直角三角形；
(2)若PA＝AB＝2，且当直线PC与平面ABC所成角的正切值为 时，求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．
(1)证明　∵AB是⊙O的直径，C是圆周上不同于A，B的一动点．∴BC⊥AC，
∵PA⊥平面ABC，∴BC⊥PA，
又PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，
∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC，
∴△BPC是直角三角形．
(2)解　如图，过A作AH⊥PC于H，

∵BC⊥平面PAC，
∴BC⊥AH，
又PC∩BC＝C，PC，BC⊂平面PBC，
∴AH⊥平面PBC，
∴∠ABH是直线AB与平面PBC所成的角，
∵PA⊥平面ABC，
∴∠PCA即是PC与平面ABC所成的角，
∵tan∠PCA＝＝，
又PA＝2，∴AC＝，
∴在Rt△PAC中，AH＝＝，
∴在Rt△ABH中，sin∠ABH＝＝＝，
即直线AB与平面PBC所成角的正弦值为.
思维升华　(1)证明垂直关系时，要充分利用定义、判定和性质实现线线垂直、线面垂直、面面垂直关系的相互转化．
(2)线面角的计算，首先要利用定义和题目中的线面垂直作出所求角，然后在一个直角三角形中求解．
跟踪训练3　如图所示，在四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝，BD⊥CD.将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体A′－BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，则下列结论中正确的结论个数是(　　)

①A′C⊥BD；
②∠BA′C＝90°；
③CA′与平面A′BD所成的角为30°；
④四面体A′－BCD的体积为.
A．0 B．1 C．2 D．3
答案　B
解析　∵AB＝AD＝CD＝1，BD＝，∴AB⊥AD，
∵平面A′BD⊥平面BCD，BD⊥CD，平面A′BD∩平面BCD＝BD，∴CD⊥平面A′BD，
取BD的中点O，连结OA′(图略)，
∵A′B＝A′D，∴A′O⊥BD.
又平面A′BD⊥平面BCD，平面A′BD∩平面BCD＝BD，A′O⊂平面A′BD，
∴A′O⊥平面BCD.BD⊥CD，∴OC不垂直于BD.
假设A′C⊥BD，∵OC为A′C在平面BCD内的射影，
∴OC⊥BD，矛盾，故①错误；
∵CD⊥BD，平面A′BD⊥平面BCD，且平面A′BD∩平面BCD＝BD，
∴CD⊥平面A′BD，A′B⊂平面A′BD，∴CD⊥A′B.
∵A′B＝A′D＝1，BD＝，
∴A′B⊥A′D，又CD∩A′D＝D，CD，A′D⊂平面A′CD，
∴A′B⊥平面A′CD，又A′C⊂平面A′CD，
∴A′B⊥A′C，故②正确；
∠CA′D为直线CA′与平面A′BD所成的角，∠CA′D＝45°，故③错误；
VA′－BCD＝VC－A′BD＝S△A′BD·CD＝，故④错误．
故选B.