2021高考数学一轮复习学案：第八章8.3圆的方程

§8.3　圆的方程

圆的定义与方程

概念方法微思考

1．二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件是什么？

提示　

2．点与圆的位置关系有几种？如何判断？

提示　点和圆的位置关系有三种．

已知圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)，

(1)点在圆上：(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；

(2)点在圆外：(x0－a)2＋(y0－b)2>r2；

(3)点在圆内：(x0－a)2＋(y0－b)2<r2.

题组一　思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．(　√　)

(2)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.(　√　)

(3)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0.(　√　)

(4)方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t∈R)表示圆心为(a，b)，半径为t的圆．(　×　)

题组二　教材改编

2．圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是(　　)

A．(x－1)2＋(y－1)2＝1   B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1

C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2   D．(x－1)2＋(y－1)2＝2

答案　D

解析　因为圆心为(1,1)且过原点，所以该圆的半径r＝＝，则该圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.

3．以点(3，－1)为圆心，并且与直线3x＋4y＝0相切的圆的方程是(　　)

A．(x－3)2＋(y＋1)2＝1

B．(x－3)2＋(y－1)2＝1

C．(x＋3)2＋(y－1)2＝1

D．(x＋3)2＋(y＋1)2＝1

答案　A

4．圆C的圆心在x轴上，并且过点A(－1,1)和B(1,3)，则圆C的方程为______________．

答案　(x－2)2＋y2＝10

解析　设圆心坐标为C(a,0)，

∵点A(－1,1)和B(1,3)在圆C上，∴CA＝CB，

即＝，解得a＝2，

∴圆心为C(2,0)，

半径CA＝＝，

∴圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.

题组三　易错自纠

5．若方程x2＋y2＋mx－2y＋3＝0表示圆，则m的取值范围是(　　)

A．(－∞，－)∪(，＋∞)

B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)

C．(－∞，－)∪(，＋∞)

D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)

答案　B

解析　将x2＋y2＋mx－2y＋3＝0化为圆的标准方程得2＋(y－1)2＝－2.

由其表示圆可得－2>0，解得m<－2或m>2.

6．半径为3，圆心的纵、横坐标相等且与两条坐标轴都相切的圆的方程为_____________．

答案　(x－3)2＋(y－3)2＝9或(x＋3)2＋(y＋3)2＝9

解析　由题意知圆心坐标为(3,3)或(－3，－3)，故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－3)2＝9或(x＋3)2＋(y＋3)2＝9.

7．已知实数x，y满足方程x2＋y2－2x＋4y＝0，则x－2y的最大值是________，最小值是________．

答案　10　0

解析　原方程可化为(x－1)2＋(y＋2)2＝5，表示以(1，－2)为圆心，为半径的圆．设x－2y＝b，即x－2y－b＝0，作出圆(x－1)2＋(y＋2)2＝5与一组平行线x－2y－b＝0，如图所示，当直线x－2y－b＝0与圆相切时，在y轴上的截距－b取得最大值或最小值，此时圆心到直线的距离d＝＝，解得b＝10或b＝0，

所以x－2y的最大值为10，最小值为0.

圆的方程

1．(2019·西安模拟)已知圆C过点A(6,0)，B(1,5)，且圆心在直线l：2x－7y＋8＝0上，则圆C的方程为________________．

答案　(x－3)2＋(y－2)2＝13

解析　方法一　(几何法)kAB＝＝－1，

则AB的垂直平分线方程为y－＝x－，

即x－y－1＝0，联立方程解得

r＝＝，

故圆C的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝13.(圆的任何一条弦的垂直平分线过圆心)

方法二　(待定系数法)设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.

由题意可得解得

故所求圆C的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝13.

2．已知圆心在x轴上，半径为的圆位于y轴右侧，且截直线x＋2y＝0所得弦的长为2，则圆的方程为__________．

答案　(x－2)2＋y2＝5

解析　根据题意，设圆的圆心坐标为(a,0)(a>0)，则圆的标准方程为(x－a)2＋y2＝5(a>0)，则圆心到直线x＋2y＝0的距离d＝＝a.

又该圆截直线x＋2y＝0所得弦的长为2，所以可得12＋2＝5，解得a＝2.故圆的方程为(x－2)2＋y2＝5.

3．若不同的四点A(5,0)，B(－1,0)，C(－3,3)，D(a,3)共圆，则a的值是________．

答案　7

解析　四点共圆，设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，

则解得

所以圆的方程为x2＋y2－4x－y－5＝0，

将D(a,3)代入得a2－4a－21＝0.

解得a＝7或a＝－3(舍)．

思维升华 (1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程．

(2)待定系数法

①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值；

②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．

与圆有关的轨迹问题

例1 已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0)．求：

(1)直角顶点C的轨迹方程；

(2)直角边BC的中点M的轨迹方程．

解　(1)方法一　设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.

因为AC⊥BC，且BC，AC斜率均存在，

所以kAC·kBC＝－1，

又kAC＝，kBC＝，所以·＝－1，

化简得x2＋y2－2x－3＝0.

因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．

方法二　设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1,0)，由直角三角形的性质知CD＝AB＝2.由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)．

所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)．

(2)设M(x，y)，C(x0，y0)，因为B(3,0)，M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x＝，y＝，

所以x0＝2x－3，y0＝2y.

由(1)知，点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，

将x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，

即(x－2)2＋y2＝1.

因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．

思维升华　求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：

①直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．

②定义法：根据圆、直线等定义列方程．

③几何法：利用圆的几何性质列方程．

④相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式．

跟踪训练1　设定点M(－3,4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹方程．

解　如图，设P(x，y)，N(x0，y0)，

则线段OP的中点坐标为，

线段MN的中点坐标为

.

因为平行四边形的对角线互相平分，

所以＝，＝，

整理得

又点N(x0，y0)在圆x2＋y2＝4上，

所以(x＋3)2＋(y－4)2＝4.

所以点P的轨迹是以(－3,4)为圆心，2为半径的圆，

直线OM与轨迹相交于两点和，不符合题意，舍去，

所以点P的轨迹为(x＋3)2＋(y－4)2＝4，除去两点和.

与圆有关的最值问题

例2　(1)(2020·保定质检)已知A(0,2)，点P在直线x＋y＋2＝0上，点Q在圆C：x2＋y2－4x－2y＝0上，则PA＋PQ的最小值是________．

答案　2

解析　因为圆C：x2＋y2－4x－2y＝0，

故圆C是以C(2,1)为圆心，半径r＝的圆．

设点A(0,2)关于直线x＋y＋2＝0的对称点为A′(m，n)，

故解得故A′(－4，－2)．

连结A′C交圆C于Q，由对称性可知

PA＋PQ＝A′P＋PQ≥A′Q＝A′C－r＝2.

(2)已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，求的最大值和最小值．

解　原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，

表示以(2,0)为圆心，为半径的圆．

的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，

所以设＝k，即y＝kx.

当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值和最小值，

此时＝，解得k＝±.

所以的最大值为，最小值为－.

本例(2)中，求y－x的最大值和最小值．

解　y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x＋b与圆相切时，直线在y轴上的截距b取得最大值和最小值，此时＝，解得b＝－2±.所以y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－.

本例(2)中，求x2＋y2的最大值和最小值．

解　x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．

又圆心到原点的距离为＝2，

所以x2＋y2的最大值是(2＋)2＝7＋4，

x2＋y2的最小值是(2－)2＝7－4.

思维升华　与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略

(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．

(2)与圆上点(x，y)有关代数式的最值的常见类型及解法．

①形如u＝型的最值问题，可转化为过点(a，b)和点(x，y)的直线的斜率的最值问题；②形如t＝ax＋by型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如(x－a)2＋(y－b)2型的最值问题，可转化为动点到定点(a，b)的距离的平方的最值问题．

跟踪训练2　已知M(x，y)为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2,3)．

(1)求MQ的最大值和最小值；

(2)求的最大值和最小值；

(3)求y－x的最大值和最小值．

解　(1)由圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0，

可得(x－2)2＋(y－7)2＝8，

∴圆心C的坐标为(2,7)，半径r＝2.

又QC＝＝4，

∴MQmax＝4＋2＝6，

MQmin＝4－2＝2.

(2)可知表示直线MQ的斜率k.

设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，

即kx－y＋2k＋3＝0.

∵直线MQ与圆C有交点，

∴≤2，

可得2－≤k≤2＋，

∴的最大值为2＋，最小值为2－.

(3)设y－x＝b，则x－y＋b＝0.

当直线y＝x＋b与圆C相切时，截距b取到最值，

∴＝2，∴b＝9或b＝1.

∴y－x的最大值为9，最小值为1.