2021高考数学一轮复习学案：第八章8.7双曲线

§8.7　双曲线


1．双曲线的概念
平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
集合P＝{M||MF1－MF2|＝2a}，F1F2＝2c>2a，其中a，c为常数且a>0，c>0.
2．双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
－＝1
(a>0，b>0)
－＝1
(a>0，b>0)
图形


性
质
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
x∈R，y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：坐标轴　对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长A1A2＝2a，线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长B1B2＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
a，b，c
的关系
c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0)

3.等轴双曲线
实轴与虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，离心率e＝ ，渐近线方程为y＝±x.

4．双曲线的第二定义
平面内动点P到定点F的距离和它到定直线l(点F不在直线l上)的距离的比是常数e(e>1)的点的轨迹是双曲线．定点F是焦点，定直线l是准线，常数e是离心率．双曲线－＝1(a>0，b>0)的准线方程为x＝±，双曲线－＝1(a>0，b>0)的准线方程为y＝±.
概念方法微思考
1．平面内与两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数2a的动点的轨迹一定为双曲线吗？为什么？
提示　不一定．当2a＝F1F2时，动点的轨迹是两条射线；
当2a>F1F2时，动点的轨迹不存在；
当2a＝0时，动点的轨迹是线段F1F2的中垂线．
2．与椭圆标准方程相比较，双曲线标准方程中，a，b只限制a>0，b>0，二者没有大小要求，若a>b>0，a＝b>0,00时，10，n>0，λ≠0)的渐近线方程是－＝0，即±＝0.(　√　)
(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.(　√　)
题组二　教材改编
2．若双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为(　　)
A. B．5 C. D．2
答案　A
解析　由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，双曲线的渐近线方程为±＝0，即bx±ay＝0，
∴2a＝＝b.又a2＋b2＝c2，∴5a2＝c2.
∴e2＝＝5，∴e＝.
3．已知a>b>0，椭圆C1的方程为＋＝1，双曲线C2的方程为－＝1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为(　　)
A．x±y＝0 B.x±y＝0
C．x±2y＝0 D．2x±y＝0
答案　A
解析　椭圆C1的离心率为，双曲线C2的离心率为，所以·＝，即a4＝4b4，所以a＝b，所以双曲线C2的渐近线方程是y＝±x，即x±y＝0.
4．经过点A(4,1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________．
答案　－＝1
解析　设双曲线的方程为－＝±1(a>0)，
把点A(4,1)代入，得a2＝15(舍负)，
故所求方程为－＝1.
题组三　易错自纠
5．(多选)(2020·辽宁六校协作体月考)若方程＋＝1所表示的曲线为C，则下面四个命题中错误的是(　　)
A．若C为椭圆，则1b>0，∴渐近线y＝x的斜率小于1，
∵两条渐近线的夹角为α，cos α＝.
∴cos2＝，sin2＝，tan2＝，
∴＝，∴＝，
∴e2＝，∴e＝.
(3)(2019·全国Ⅰ)双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为(　　)
A．2sin 40° B．2cos 40°
C. D.
答案　D
解析　由题意可得－＝tan 130°，
所以e＝＝＝
＝＝.
(4)(2019·全国Ⅱ)设F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若PQ＝OF，则C的离心率为(　　)
A. B. C．2 D.
答案　A
解析　如图，由题意知，以OF为直径的圆的方程为2＋y2＝，①

将x2＋y2＝a2，②
①－②得x＝，
则以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2的相交弦所在直线的方程为x＝，所以PQ＝2.
由PQ＝OF，得2＝c，
整理得c4－4a2c2＋4a4＝0，即e4－4e2＋4＝0，
解得e＝，故选A.
思维升华　求双曲线的离心率
(1)求双曲线的离心率或其范围的方法
①求a，b，c的值，由＝＝1＋直接求e.
②列出含有a，b，c的等式(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．
(2)焦点在x轴上的双曲线的渐近线的斜率k与离心率e的关系：k＝＝＝＝.
跟踪训练2　(1)(2019·汉中模拟)若双曲线x2－＝1(m>0)的焦点到渐近线的距离是4，则m的值是(　　)
A．2 B. C．1 D．4
答案　D
解析　双曲线x2－＝1(m>0)的焦点设为(c,0)，
当双曲线方程为－＝1时，
渐近线方程设为bx－ay＝0，可得焦点到渐近线的距离
d＝＝b，
故由题意可得b＝m＝4.
(2)(2019·安徽江淮十校模拟)已知点(1,2)是双曲线－＝1(a>0，b>0)上一点，则其离心率的取值范围是(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　已知点(1,2)是双曲线－＝1(a>0，b>0)上一点，得－＝1，
即＝b2＋4，
所以e＝＝＝>，所以e>.
(3)(2019·天津)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.若l与双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于点A和点B，且AB＝4OF(O为原点)，则双曲线的离心率为(　　)
A. B. C．2 D.
答案　D
解析　由题意，可得F(1,0)，直线l的方程为x＝－1，双曲线的渐近线方程为y＝±x.将x＝－1代入y＝±x，得y＝±，所以点A，B的纵坐标的绝对值均为.由AB＝4OF可得＝4，即b＝2a，b2＝4a2，故双曲线的离心率e＝＝＝.