2021高考数学一轮复习学案：第十章10.2排列、组合

§10.2　排列、组合

1．排列、组合的定义

2．排列数、组合数的定义、公式、性质

概念方法微思考

1．排列问题和组合问题的区别是什么？

提示　元素之间与顺序有关的为排列，与顺序无关的为组合．

2．排列数与组合数公式之间有何关系？它们的公式都有两种形式，如何选择使用？

提示　(1)排列数与组合数之间的联系为CA＝A.

(2)两种形式分别为：①连乘积形式；②阶乘形式．

前者多用于数字计算，后者多用于含有字母的排列数式子的变形与论证．

题组一　思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．(　×　)

(2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．(　√　)

(3)若组合式C＝C，则x＝m成立．(　×　)

(4)排列定义规定给出的n个元素各不相同，并且只研究被取出的元素也各不相同的情况．也就是说，如果某个元素已被取出，则这个元素就不再取了．(　√　)

题组二　教材改编

2．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为(　　)

A．144  B．120  C．72  D．24

答案　D

解析　“插空法”，先排3个空位，形成4个空隙供3人选择就座，因此任何两人不相邻的坐法种数为A＝4×3×2＝24.

3．用数字1,2,3,4,5组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数为(　　)

A．8  B．24  C．48  D．120

答案　C

解析　末位数字排法有A种，其他位置排法有A种，

共有AA＝48(种)排法，所以偶数的个数为48.

4．从4本不同的课外读物中，买3本送给3名同学，每人各1本，则不同的送法种数是________．

答案　24

解析　从4本书中选3本有C＝4(种)选法，把选出的3本送给3名同学，有A＝6(种)送法，所以不同的送法有CA＝4×6＝24(种)．

题组三　易错自纠

5．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有(　　)

A．192种  B．216种  C．240种  D．288种

答案　B

解析　第一类：甲在最左端，有A＝5×4×3×2×1＝120(种)排法；第二类：乙在最左端，甲不在最右端，

有4A＝4×4×3×2×1＝96(种)排法．

所以共有120＋96＝216(种)排法．

6．某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法种数为________．

答案　30

解析　分两种情况：(1)A类选修课选1门，B类选修课选2门，有CC种不同的选法；(2)A类选修课选2门，B类选修课选1门，有CC种不同的选法．

所以不同的选法共有CC＋CC＝18＋12＝30(种)．

排列问题

1．用1,2,3,4,5这五个数字，可以组成比20 000大，并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数，共有(　　)

A．96个  B．78个  C．72个  D．64个

答案　B

解析　根据题意知，要求这个五位数比20 000大，则万位数必须是2,3,4,5这4个数字中的一个，当万位数是3时，百位数不是数字3，符合要求的五位数有A＝24(个)；当万位数是2,4,5时，由于百位数不能是数字3，则符合要求的五位数有3×(A－A)＝54(个)，因此共有54＋24＝78(个)这样的五位数符合要求．故选B.

2．(2020·惠州调研)七人并排站成一行，如果甲乙两人必须不相邻，那么不同的排法种数是(　　)

A．3 600  B．1 440  C．4 820  D．4 800

答案　A

解析　除甲乙外，其余5个人排列数为A种，再用甲乙去插6个空位有A种，不同的排法种数是AA＝3 600(种)．

3．3名女生和5名男生站成一排，其中女生排在一起的排法种数有________．

答案　4 320

解析　3名女生排在一起，有A种排法，把3名女生看作一个整体再与5名男生全排列有A种排法，故共有AA＝4 320(种)不同排法．

思维升华　(1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法和元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法．

(2)常见排列数的求法为：①相邻问题采用“捆绑法”．②不相邻问题采用“插空法”．③有限制元素采用“优先法”．④特殊顺序问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数．

组合问题

1．(2018·全国Ⅰ)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有______种．(用数字填写答案)

答案　16

解析　方法一　按参加的女生人数可分两类：只有1位女生参加有CC种，有2位女生参加有CC种．故所求选法共有CC＋CC＝2×6＋4＝16(种)．

方法二　间接法：从2位女生，4位男生中选3人，共有C种情况，没有女生参加的情况有C种，故所求选法共有C－C＝20－4＝16(种)．

2．(2019·衡水中学调研)为了应对美欧等国的经济制裁，俄罗斯天然气公司决定从10名办公室工作人员中裁去4人，要求甲、乙二人不能全部裁去，则不同的裁员方案的种数为________．

答案　182

解析　甲、乙中裁一人的方案有CC种，甲、乙都不裁的方案有C种，故不同的裁员方案共有CC＋C＝182(种)．

3．从7名男生，5名女生中选取5人，至少有2名女生入选的种数为________．

答案　596

解析　“至少有2名女生”的反面是“只有一名女生或没有女生”，故可用间接法，所以有C－C15C－C＝596(种)．

思维升华　组合问题常有以下两类题型变化：

(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．

(2)“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解．用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法，分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理．

排列与组合的综合问题

命题点1　相邻问题

例1　(2019·怀化模拟)北京APEC峰会期间，有2位女性和3位男性共5位领导人站成一排照相，则女性领导人甲不在两端，3位男性领导人中有且只有2位相邻的站法有(　　)

A．12种  B．24种  C．48种  D．96种

答案　C

解析　从3位男性领导人中任取2人“捆”在一起记作A，A共有CA＝6(种)不同排法，剩下1位男性领导人记作B,2位女性分别记作甲、乙；则女领导人甲必须在A，B之间，此时共有6×2＝12(种)排法(A左B右和A右B左)，最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙，

∴共有12×4＝48(种)不同排法．

命题点2　相间问题

例2　某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是(　　)

A．72  B．120  C．144  D．168

答案　B

解析　安排小品节目和相声节目的顺序有三种：“小品1，小品2，相声”“小品1，相声，小品2”和“相声，小品1，小品2”．对于第一种情况，形式为“□小品1歌舞1小品2□相声□”，有ACA＝36(种)安排方法；同理，第三种情况也有36种安排方法，对于第二种情况，三个节目形成4个空，其形式为“□小品1□相声□小品2□”，有AA＝48(种)安排方法，故共有36＋36＋48＝120(种)安排方法．

命题点3　特殊元素(位置)问题

例3　大数据时代出现了滴滴打车服务，二胎政策的放开使得家庭中有两个孩子的现象普遍存在．某城市关系要好的A，B，C，D四个家庭各有两个孩子共8人，他们准备使用滴滴打车软件，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名(乘同一辆车的4个孩子不考虑位置)，其中A家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4个孩子恰有2个来自于同一个家庭的乘坐方式共有(　　)

A．18种  B．24种  C．36种  D．48种

答案　B

解析　根据题意，分两种情况讨论：

①A家庭的孪生姐妹在甲车上，甲车上另外的两个孩子要来自不同的家庭，可以在剩下的三个家庭中任选2个，再从每个家庭的2个孩子中任选一个来乘坐甲车，

有C×C×C＝12(种)乘坐方式；

②A家庭的孪生姐妹不在甲车上，需要在剩下的三个家庭中任选1个，让其2个孩子都在甲车上，对于剩余的两个家庭，从每个家庭的2个孩子中任选一个来乘坐甲车，有C×C×C＝12(种)乘坐方式，

故共有12＋12＝24(种)乘坐方式，故选B.

思维升华　解排列、组合问题要遵循的两个原则

(1)按元素(位置)的性质进行分类．

(2)按事情发生的过程进行分步．

具体地说，解排列、组合问题常以元素(位置)为主体，即先满足特殊元素(位置)，再考虑其他元素(位置)．

跟踪训练　(1)把5件不同的产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种．

答案　36

解析　将产品A与B捆绑在一起，然后与其他三种产品进行全排列，共有AA种方法，将产品A，B，C捆绑在一起，且A在中间，然后与其他两种产品进行全排列，共有AA种方法．于是符合题意的摆法共有AA－AA＝36(种)．

(2)从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，则共有________种不同的选法．(用数字作答)

答案　660

解析　方法一　只有1名女生时，先选1名女生，有C种方法；再选3名男生，有C种方法；然后排队长、副队长位置，有A种方法．由分步计数原理知，共有CCA＝480(种)选法．

有2名女生时，再选2名男生，有C种方法；然后排队长、副队长位置，有A种方法．由分步计数原理知，共有CA＝180(种)选法．所以依据分类计数原理知，共有480＋180＝660(种)不同的选法．

方法二　不考虑限制条件，共有AC种不同的选法，

而没有女生的选法有AC种，

故至少有1名女生的选法有AC－AC＝840－180＝660(种)．