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2021高考数学（理）人教A版一轮复习学案作业：第四章4.6解三角形
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§4.6 解三角形
最新考纲
考情考向分析
1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.
2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.
以利用正弦、余弦定理解三角形为主，常与三角恒等变换、三角形中的几何计算交汇考查，加强数形结合思想的应用意识.题型多样，中档难度.
1.正弦定理、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理
正弦定理
余弦定理
内容
(1)＝
＝＝2R
(2)a2＝b2＋c2－2bccos A；
b2＝c2＋a2－2cacos B；
c2＝a2＋b2－2abcos C
变形
(3)a＝2Rsin A，
b＝2Rsin B，
c＝2Rsin C；
(4)sin A＝，sin B＝，sin C＝；
(5)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；
(6)asin B＝bsin A，
bsin C＝csin B，
asin C＝csin A
(7)cos A＝；
cos B＝；
cos C＝
2.三角形常用面积公式
(1)S＝a·ha(ha表示边a上的高).
(2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A.
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径).
3.测量中的有关几个术语
术语名称
术语意义
图形表示
仰角与俯角
在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角
方位角
从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角.方位角θ的范围是0°≤θ<360°
方向角
正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α
例：(1)北偏东α：
(2)南偏西α：
坡角与坡比
坡面与水平面所成锐二面角叫坡角(θ为坡角) ；坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比(坡度)，即i＝＝tan θ
概念方法微思考
1.若角α，β在第一象限，α>β能否推出sin α>sin β？
在△ABC中，A>B是否可推出sin A>sin B?
提示 第一象限的角α>β不能推出sin α>sin β.在△ABC中，由A>B可推出sin A>sin B.
2.在△ABC中，已知a，b和锐角A，讨论a，b，sin A满足什么条件时，三角形无解，有一解，有两解.
提示
图形
关系式
a
解的个数
无解
两解
一解
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.( × )
(2)当b2＋c2－a2>0时，三角形ABC为锐角三角形.( × )
(3)在△ABC中，＝.( √ )
(4)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积.( √ )
题组二 教材改编
2.在△ABC中，acos A＝bcos B，则这个三角形的形状为 .
答案 等腰三角形或直角三角形
解析 由正弦定理，得sin Acos A＝sin Bcos B，
即sin 2A＝sin 2B，所以2A＝2B或2A＝π－2B，
即A＝B或A＋B＝，
所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形.
3.在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2，则△ABC的面积为 .
答案 2
解析 ∵＝，∴sin B＝1，∴B＝90°，
∴AB＝2，∴S△ABC＝×2×2＝2.
4.已知△ABC的三边之比为3∶5∶7，则其最大的内角为 .
答案
解析 由三边之比为a∶b∶c＝3∶5∶7，可设a＝3k，b＝5k，c＝7k(k>0)，C为最大内角，
由余弦定理得cos C＝＝＝－，
又0
5.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c
C.锐角三角形 D.等边三角形
答案 A
解析 由已知及正弦定理得sin C
故△ABC为钝角三角形.
6.设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若b＋c＝2a,3sin A＝5sin B，则C＝ .
答案
解析 由3sin A＝5sin B及正弦定理，得3a＝5b.
又因为b＋c＝2a，所以a＝b，c＝b，
所以cos C＝＝＝－.
因为C∈(0，π)，所以C＝.
利用正弦、余弦定理解三角形
例1 (1)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C＝60°，b＝，c＝3，则A＝ .
答案 75°
解析 由正弦定理，得sin B＝＝＝，所以B＝45°或135°，因为b
答案
解析 设AB＝a，∵AB＝AD，2AB＝BD，BC＝2BD，∴AD＝a，BD＝，BC＝.在△ABD中，cos∠ADB＝＝，∴sin∠ADB＝，∴sin∠BDC＝.在△BDC中，＝，
∴sin C＝＝.
思维升华 (1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素.
(2)正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系.
跟踪训练1 (1)(2018·全国Ⅱ)在△ABC中，cos ＝，BC＝1，AC＝5，则AB等于( )
A.4 B.
C. D.2
答案 A
解析 ∵cos ＝，
∴cos C＝2cos2－1＝2×2－1＝－.
在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos C＝52＋12－2×5×1×＝32，
∴AB＝＝4.
故选A.
(2)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若 a＝，sin B＝，C＝，则b＝ .
答案 1
解析 因为sin B＝且B∈(0，π)，
所以B＝或B＝，
又C＝，所以B＝，A＝π－B－C＝，
又a＝，由正弦定理得＝，
即＝，解得b＝1.
正弦定理、余弦定理的应用
命题点1 判断三角形的形状
例2 (1)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若a＝2bcos C，则此三角形一定是( )
A.等腰直角三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形
D.等腰三角形或直角三角形
答案 C
解析 方法一 由余弦定理可得a＝2b·，
因此a2＝a2＋b2－c2，得b2＝c2，于是b＝c，
从而△ABC为等腰三角形.
方法二 由正弦定理可得sin A＝2sin Bcos C，
因此sin(B＋C)＝2sin Bcos C，
即sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Bcos C，
于是sin(B－C)＝0，因此B－C＝0，即B＝C，
故△ABC为等腰三角形.
(2)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.不确定
答案 B
解析 由正弦定理得sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin2A，
∴sin(B＋C)＝sin2A，
即sin(π－A)＝sin2A，sin A＝sin2A.
∵A∈(0，π)，∴sin A>0，∴sin A＝1，
即A＝，∴△ABC为直角三角形.
本例(1)中，若将条件变为a＝bcos C，判断△ABC的形状.
解 ∵a＝bcos C，∴sin A＝sin Bcos C，
∴sin(B＋C)＝sin Bcos C，∴cos Bsin C＝0，
∵sin C>0，∴cos B＝0.
∵B∈(0，π)，∴B＝.
∴△ABC为直角三角形.
本例(2)中，若将条件变为a2＋b2－c2＝ab，且2cos Asin B＝sin C，判断△ABC的形状.
解 ∵a2＋b2－c2＝ab，∴cos C＝＝，
又0
故△ABC为等边三角形.
命题点2 三角形面积的计算
例3 (2019·淄博模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足(2b－c)cos A＝acos C.
(1)求角A；
(2)若a＝，△ABC的面积为3，求△ABC的周长.
解 (1)因为(2b－c)cos A＝acos C，
所以(2sin B－sin C)cos A＝sin Acos C，
即2sin Bcos A＝sin Acos C＋sin Ccos A＝sin(A＋C)，
由A＋B＋C＝π，得2sin Bcos A＝sin B，因为sin B≠0，所以cos A＝，因为0
得13＝b2＋c2－2bc·，即(b＋c)2－3bc＝13，
因为S△ABC＝bc·sin A＝bc＝3，
所以bc＝12，
所以(b＋c)2－36＝13，即b＋c＝7，
所以△ABC的周长为a＋b＋c＝7＋.
命题点3 求解平面图形问题
例4 如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝，AD∶AB＝2∶3，BD＝，AB⊥BC.
(1)求sin∠ABD的值；
(2)若∠BCD＝，求CD的长.
解 (1)因为AD∶AB＝2∶3，所以可设AD＝2k，
AB＝3k, k＞0.又BD＝，∠DAB＝，
所以由余弦定理，得()2＝(3k)2＋(2k)2－2×3k×2kcos ，解得k＝1，所以AD＝2，AB＝3，
sin∠ABD＝＝＝.
(2)因为AB⊥BC，所以cos∠DBC＝sin∠ABD＝，
所以sin∠DBC＝，所以＝，
所以CD＝＝.
思维升华 (1)三角形面积计算问题要适当选用公式，可以根据正弦定理和余弦定理进行边角互化.
(2)判断三角形形状的方法
①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系.
②化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论.
(3)求解几何计算问题要注意
①根据已知的边角画出图形并在图中标示.
②选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理.
跟踪训练2 (1)在△ABC中，cos2＝(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为( )
A.等边三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形
答案 B
解析 ∵cos2＝，cos2＝，
∴(1＋cos B)·c＝a＋c，∴a＝cos B·c＝，
∴2a2＝a2＋c2－b2，∴a2＋b2＝c2，
∴△ABC为直角三角形.
(2)(2018·全国Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsin C＋csin B＝4asin Bsin C，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为 .
答案
解析 由bsin C＋csin B＝4asin Bsin C，
得sin Bsin C＋sin Csin B＝4sin Asin Bsin C，
因为sin Bsin C≠0，所以sin A＝.
因为b2＋c2－a2＝8，所以cos A＝>0，
所以bc＝，
所以S△ABC＝××＝.
(3)(2019·山东平度一中质检)如图，在△ABC中，D是AB边上的点，且满足AD＝3BD，AD＋AC＝BD＋BC＝2，CD＝，则cos A＝ .
答案 0
解析 设BD＝x(x>0)，
则AD＝3x，AC＝2－3x，BC＝2－x，
易知cos∠ADC＝－cos∠BDC.
∴＝－，
解得x＝，故AD＝1，AC＝1，
∴cos A＝＝0.
一、测量距离问题
例1 (1)如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，要测出A，B的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D，若测得CD＝ km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，则A，B两点间的距离为 km.
答案
解析 ∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，∠ACD＝60°，
∴∠DAC＝60°，∴AC＝DC＝ km.
在△BCD中，∠DBC＝180°－∠CDB－∠ACD－∠ACB＝45°，
由正弦定理，得BC＝·sin∠BDC＝·sin 30°＝(km).
在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos 45°＝＋－2×××＝.
∴AB＝ km.
∴A，B两点间的距离为 km.
(2)如图，为了测量两座山峰上P，Q两点之间的距离，选择山坡上一段长度为300 m且和P，Q两点在同一平面内的路段AB的两个端点作为观测点，现测得∠PAB＝90°，∠PAQ＝∠PBA＝∠PBQ＝60°，则P，Q两点间的距离为 m.
答案 900
解析 由已知，得∠QAB＝∠PAB－∠PAQ＝30°.
又∠PBA＝∠PBQ＝60°，
∴∠AQB＝30°，∴AB＝BQ.
又PB为公共边，∴△PAB≌△PQB，∴PQ＝PA.
在Rt△PAB中，AP＝AB·tan 60°＝900(m)，
故PQ＝900 m，∴P，Q两点间的距离为900 m.
二、测量高度问题
例2 如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A，B两点间的距离为60 m，则树的高度为 m.
答案 30＋30
解析 在△PAB中，∠PAB＝30°，∠APB＝15°，AB＝60 m，
sin 15°＝sin(45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＝×－×＝，
由正弦定理得＝，
所以PB＝＝30(＋)，
所以树的高度为PB·sin 45°＝30(＋)×＝(30＋30)(m).
三、测量角度问题
例3 已知岛A南偏西38°方向，距岛A 3海里的B处有一艘缉私艇.岛A处的一艘走私船正以10海里/小时的速度向岛北偏西22°方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用0.5小时能截住该走私船？
解 如图，设缉私艇在C处截住走私船，D为岛A正南方向上一点，缉私艇的速度为x海里/小时，结合题意知BC＝0.5x，AC＝5，∠BAC＝180°－38°－22°＝120°.
由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos 120°，
所以BC2＝49，所以BC＝0.5x＝7，
解得x＝14.
又由正弦定理得
sin∠ABC＝＝＝，
所以∠ABC＝38°，
又∠BAD＝38°，所以BC∥AD，
故缉私艇以14海里/小时的速度向正北方向行驶，恰好用0.5小时截住该走私船.
素养提升 数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程，主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并且用数学符号或数学术语予以表征.从实际问题中抽象出距离、高度、角度等数学问题，然后利用正弦定理、余弦定理求解，很好地体现了数学抽象的数学素养.
1.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝，b＝3，A＝60°，则边c等于( )
A.1 B.2 C.4 D.6
答案 C
解析 ∵a2＝c2＋b2－2cbcos A，
∴13＝c2＋9－2c×3×cos 60°，
即c2－3c－4＝0，解得c＝4或c＝－1(舍去).
2.(2019·沧州七校联考)已知△ABC，a＝，b＝，A＝30°，则c等于( )
A.2 B.
C.2或 D.均不正确
答案 C
解析 ∵＝，
∴sin B＝＝·sin 30°＝.
∵b>a，∴B＝60°或120°.
若B＝60°，则C＝90°，∴c＝＝2.
若B＝120°，则C＝30°，∴a＝c＝.
3.(2019·合肥模拟)在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为，则BC的长为( )
A. B.
C.2 D.2
答案 B
解析 因为S＝AB·ACsin A＝×2×AC＝，
所以AC＝1，
所以BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos A＝3.
所以BC＝.
4.△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b＝c，a2＝2b2(1－sin A)，则A等于( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝2b2－2b2cos A，所以2b2(1－sin A)＝2b2(1－cos A)，
所以sin A＝cos A，即tan A＝1，又0
5.(2019·江西七校联考)在△ABC中，若sin(A－B)＝1＋2cos(B＋C)sin(A＋C)，则△ABC的形状一定是( )
A.等边三角形 B.不含60°角的等腰三角形
C.钝角三角形 D.直角三角形
答案 D
解析 sin(A－B)＝1＋2cos(B＋C)sin(A＋C)
＝1－2cos Asin B，
∴sin Acos B－cos Asin B＝1－2cos Asin B，
∴sin Acos B＋cos Asin B＝1，
即sin(A＋B)＝1，则A＋B＝，
故△ABC为直角三角形.
6.在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若S△ABC＝2，a＋b＝6，＝2cos C，则c等于( )
A.2 B.4 C.2 D.3
答案 C
解析 ∵＝2cos C，
由正弦定理，
得sin Acos B＋cos Asin B＝2sin Ccos C，
∴sin(A＋B)＝sin C＝2sin Ccos C，
由于0
∴c2＝a2＋b2－2abcos C＝(a＋b)2－3ab＝12，
∴c＝2.
7.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，cos C＝－，3sin A＝2sin B，则c＝ .
答案 4
解析 由3sin A＝2sin B及正弦定理，得3a＝2b，
所以b＝a＝3.由余弦定理cos C＝，
得－＝，解得c＝4.
8.(2019·全国Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝6，a＝2c，B＝，则△ABC的面积为 .
答案 6
解析 方法一 因为a＝2c，b＝6，B＝，
所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，
得62＝(2c)2＋c2－2×2c×ccos ，得c＝2，
所以a＝4，
所以△ABC的面积S＝acsin B
＝×4×2×sin ＝6.
方法二 因为a＝2c，b＝6，B＝，
所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，
得62＝(2c)2＋c2－2×2c×ccos ，得c＝2，
所以a＝4，所以a2＝b2＋c2，所以A＝，
所以S△ABC＝×2×6＝6.
9.如图所示，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°，从C点测得∠MCA＝60°，已知山高BC＝100 m，则山高MN＝ m.
答案 150
解析 在Rt△ABC中，AC＝100，
在△MAC中，＝，解得MA＝100，
在Rt△MNA中，＝sin 60°＝，
故MN＝150，即山高MN为150 m.
10.(2018·北京)若△ABC的面积为(a2＋c2－b2)，且C为钝角，则B＝ ；的取值范围是 .
答案 (2，＋∞)
解析 由余弦定理得cos B＝，
∴a2＋c2－b2＝2accos B.
又∵S＝(a2＋c2－b2)，
∴acsin B＝×2accos B，
∴tan B＝，又B∈(0，π)，
∴B＝.
又∵C为钝角，∴C＝－A>，
∴0
∵0，
∴>＋×＝2，
即>2.
∴的取值范围是(2，＋∞).
11.(2019·全国Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设(sin B－sin C)2＝sin2A－sin Bsin C.
(1)求A；
(2)若a＋b＝2c，求sin C.
解 (1)由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sin Bsin C，
故由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc，
由余弦定理得cos A＝＝，
因为0°
由题设及正弦定理得sin A＋sin(120°－C)＝2sin C，
即＋cos C＋sin C＝2sinC，
可得cos(C＋60°)＝－.
由于0°
＝sin(C＋60°)cos 60°－cos(C＋60°)sin 60°＝.
12.(2018·北京)在△ABC中，a＝7，b＝8，cos B＝－.
(1)求角A；
(2)求AC边上的高.
解 (1)在△ABC中，因为cos B＝－，
所以sin B＝＝.
由正弦定理得sin A＝＝.
由题设知
(2)在△ABC中，
因为sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝，
所以AC边上的高为asin C＝7×＝.
13.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知三个向量m＝，n＝，p＝共线，则△ABC的形状为( )
A.等边三角形 B.等腰三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
答案 A
解析 ∵向量m＝，n＝共线，
∴acos ＝bcos.
由正弦定理得sin Acos ＝sin Bcos .
∴2sin cos cos＝2sin cos cos .
则sin ＝sin .∵0<<，0<<，∴＝，即A＝B.
同理可得B＝C.∴△ABC的形状为等边三角形.故选A.
14.已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2＋c2－bc，a＝3，则△ABC的周长的最大值为 .
答案 9
解析 ∵a2＝b2＋c2－bc，∴bc＝b2＋c2－a2，
∴cos A＝＝，
∵A∈(0，π)，∴A＝.
方法一 ∵a＝3，
∴由正弦定理得＝＝＝＝2，
∴b＝2sin B，c＝2sin C，
则a＋b＋c＝3＋2sin B＋2sin C
＝3＋2sin B＋2sin
＝3＋3sin B＋3cos B＝3＋6sin，
∵B∈，∴当B＝时，周长取得最大值9.
方法二 ∵a＝3，
∴由余弦定理得9＝b2＋c2－bc，
∴(b＋c)2－3bc＝9，
∴(b＋c)2－9＝3bc≤3·2，
∴(b＋c)2≤36，
∵b＋c>0，∴0
15.在△ABC中，C＝60°，且＝2，则△ABC面积S的最大值为 .
答案
解析 由C＝60°及＝＝2，可得c＝.
由余弦定理得3＝b2＋a2－ab≥ab(当且仅当a＝b时取等号)，
∴S＝absin C≤×3×＝，
∴△ABC的面积S的最大值为.
16.如图，在一条海防警戒线上的点A，B，C处各有一个水声监测点，B，C两点到A的距离分别为20千米和50千米，某时刻，B收到发自静止目标P的一个声波信号，8秒后，A，C同时接到该声波信号，已知声波在水中的传播速度为1.5千米/秒.
(1)设A到P的距离为x千米，用x表示B，C到P的距离，并求x的值；
(2)求P到海防警戒线AC的距离.
解 (1)依题意，有PA＝PC＝x，PB＝x－1.5×8＝x－12.
在△PAB中，AB＝20，cos∠PAB＝＝＝.
同理，在△PAC中，AC＝50，
cos∠PAC＝＝＝.
因为cos∠PAB＝cos∠PAC，
所以＝，解得x＝31.
(2)作PD⊥AC于点D(图略).
在△ADP中，由cos∠PAD＝，
得sin∠PAD＝＝，
所以PD＝PAsin∠PAD＝31×＝4.
故静止目标P到海防警戒线AC的距离为4千米.
最新考纲
考情考向分析
1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.
2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.
以利用正弦、余弦定理解三角形为主，常与三角恒等变换、三角形中的几何计算交汇考查，加强数形结合思想的应用意识.题型多样，中档难度.
1.正弦定理、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理
正弦定理
余弦定理
内容
(1)＝
＝＝2R
(2)a2＝b2＋c2－2bccos A；
b2＝c2＋a2－2cacos B；
c2＝a2＋b2－2abcos C
变形
(3)a＝2Rsin A，
b＝2Rsin B，
c＝2Rsin C；
(4)sin A＝，sin B＝，sin C＝；
(5)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；
(6)asin B＝bsin A，
bsin C＝csin B，
asin C＝csin A
(7)cos A＝；
cos B＝；
cos C＝
2.三角形常用面积公式
(1)S＝a·ha(ha表示边a上的高).
(2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A.
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径).
3.测量中的有关几个术语
术语名称
术语意义
图形表示
仰角与俯角
在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角
方位角
从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角.方位角θ的范围是0°≤θ<360°
方向角
正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α
例：(1)北偏东α：
(2)南偏西α：
坡角与坡比
坡面与水平面所成锐二面角叫坡角(θ为坡角) ；坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比(坡度)，即i＝＝tan θ
概念方法微思考
1.若角α，β在第一象限，α>β能否推出sin α>sin β？
在△ABC中，A>B是否可推出sin A>sin B?
提示 第一象限的角α>β不能推出sin α>sin β.在△ABC中，由A>B可推出sin A>sin B.
2.在△ABC中，已知a，b和锐角A，讨论a，b，sin A满足什么条件时，三角形无解，有一解，有两解.
提示
图形
关系式
a
解的个数
无解
两解
一解
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.( × )
(2)当b2＋c2－a2>0时，三角形ABC为锐角三角形.( × )
(3)在△ABC中，＝.( √ )
(4)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积.( √ )
题组二 教材改编
2.在△ABC中，acos A＝bcos B，则这个三角形的形状为 .
答案 等腰三角形或直角三角形
解析 由正弦定理，得sin Acos A＝sin Bcos B，
即sin 2A＝sin 2B，所以2A＝2B或2A＝π－2B，
即A＝B或A＋B＝，
所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形.
3.在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2，则△ABC的面积为 .
答案 2
解析 ∵＝，∴sin B＝1，∴B＝90°，
∴AB＝2，∴S△ABC＝×2×2＝2.
4.已知△ABC的三边之比为3∶5∶7，则其最大的内角为 .
答案
解析 由三边之比为a∶b∶c＝3∶5∶7，可设a＝3k，b＝5k，c＝7k(k>0)，C为最大内角，
由余弦定理得cos C＝＝＝－，
又0
5.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c
C.锐角三角形 D.等边三角形
答案 A
解析 由已知及正弦定理得sin C
故△ABC为钝角三角形.
6.设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若b＋c＝2a,3sin A＝5sin B，则C＝ .
答案
解析 由3sin A＝5sin B及正弦定理，得3a＝5b.
又因为b＋c＝2a，所以a＝b，c＝b，
所以cos C＝＝＝－.
因为C∈(0，π)，所以C＝.
利用正弦、余弦定理解三角形
例1 (1)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C＝60°，b＝，c＝3，则A＝ .
答案 75°
解析 由正弦定理，得sin B＝＝＝，所以B＝45°或135°，因为b
答案
解析 设AB＝a，∵AB＝AD，2AB＝BD，BC＝2BD，∴AD＝a，BD＝，BC＝.在△ABD中，cos∠ADB＝＝，∴sin∠ADB＝，∴sin∠BDC＝.在△BDC中，＝，
∴sin C＝＝.
思维升华 (1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素.
(2)正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系.
跟踪训练1 (1)(2018·全国Ⅱ)在△ABC中，cos ＝，BC＝1，AC＝5，则AB等于( )
A.4 B.
C. D.2
答案 A
解析 ∵cos ＝，
∴cos C＝2cos2－1＝2×2－1＝－.
在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos C＝52＋12－2×5×1×＝32，
∴AB＝＝4.
故选A.
(2)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若 a＝，sin B＝，C＝，则b＝ .
答案 1
解析 因为sin B＝且B∈(0，π)，
所以B＝或B＝，
又C＝，所以B＝，A＝π－B－C＝，
又a＝，由正弦定理得＝，
即＝，解得b＝1.
正弦定理、余弦定理的应用
命题点1 判断三角形的形状
例2 (1)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若a＝2bcos C，则此三角形一定是( )
A.等腰直角三角形
B.直角三角形
C.等腰三角形
D.等腰三角形或直角三角形
答案 C
解析 方法一 由余弦定理可得a＝2b·，
因此a2＝a2＋b2－c2，得b2＝c2，于是b＝c，
从而△ABC为等腰三角形.
方法二 由正弦定理可得sin A＝2sin Bcos C，
因此sin(B＋C)＝2sin Bcos C，
即sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Bcos C，
于是sin(B－C)＝0，因此B－C＝0，即B＝C，
故△ABC为等腰三角形.
(2)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.不确定
答案 B
解析 由正弦定理得sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin2A，
∴sin(B＋C)＝sin2A，
即sin(π－A)＝sin2A，sin A＝sin2A.
∵A∈(0，π)，∴sin A>0，∴sin A＝1，
即A＝，∴△ABC为直角三角形.
本例(1)中，若将条件变为a＝bcos C，判断△ABC的形状.
解 ∵a＝bcos C，∴sin A＝sin Bcos C，
∴sin(B＋C)＝sin Bcos C，∴cos Bsin C＝0，
∵sin C>0，∴cos B＝0.
∵B∈(0，π)，∴B＝.
∴△ABC为直角三角形.
本例(2)中，若将条件变为a2＋b2－c2＝ab，且2cos Asin B＝sin C，判断△ABC的形状.
解 ∵a2＋b2－c2＝ab，∴cos C＝＝，
又0
故△ABC为等边三角形.
命题点2 三角形面积的计算
例3 (2019·淄博模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足(2b－c)cos A＝acos C.
(1)求角A；
(2)若a＝，△ABC的面积为3，求△ABC的周长.
解 (1)因为(2b－c)cos A＝acos C，
所以(2sin B－sin C)cos A＝sin Acos C，
即2sin Bcos A＝sin Acos C＋sin Ccos A＝sin(A＋C)，
由A＋B＋C＝π，得2sin Bcos A＝sin B，因为sin B≠0，所以cos A＝，因为0
得13＝b2＋c2－2bc·，即(b＋c)2－3bc＝13，
因为S△ABC＝bc·sin A＝bc＝3，
所以bc＝12，
所以(b＋c)2－36＝13，即b＋c＝7，
所以△ABC的周长为a＋b＋c＝7＋.
命题点3 求解平面图形问题
例4 如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝，AD∶AB＝2∶3，BD＝，AB⊥BC.
(1)求sin∠ABD的值；
(2)若∠BCD＝，求CD的长.
解 (1)因为AD∶AB＝2∶3，所以可设AD＝2k，
AB＝3k, k＞0.又BD＝，∠DAB＝，
所以由余弦定理，得()2＝(3k)2＋(2k)2－2×3k×2kcos ，解得k＝1，所以AD＝2，AB＝3，
sin∠ABD＝＝＝.
(2)因为AB⊥BC，所以cos∠DBC＝sin∠ABD＝，
所以sin∠DBC＝，所以＝，
所以CD＝＝.
思维升华 (1)三角形面积计算问题要适当选用公式，可以根据正弦定理和余弦定理进行边角互化.
(2)判断三角形形状的方法
①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系.
②化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论.
(3)求解几何计算问题要注意
①根据已知的边角画出图形并在图中标示.
②选择在某个三角形中运用正弦定理或余弦定理.
跟踪训练2 (1)在△ABC中，cos2＝(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为( )
A.等边三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形
答案 B
解析 ∵cos2＝，cos2＝，
∴(1＋cos B)·c＝a＋c，∴a＝cos B·c＝，
∴2a2＝a2＋c2－b2，∴a2＋b2＝c2，
∴△ABC为直角三角形.
(2)(2018·全国Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsin C＋csin B＝4asin Bsin C，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为 .
答案
解析 由bsin C＋csin B＝4asin Bsin C，
得sin Bsin C＋sin Csin B＝4sin Asin Bsin C，
因为sin Bsin C≠0，所以sin A＝.
因为b2＋c2－a2＝8，所以cos A＝>0，
所以bc＝，
所以S△ABC＝××＝.
(3)(2019·山东平度一中质检)如图，在△ABC中，D是AB边上的点，且满足AD＝3BD，AD＋AC＝BD＋BC＝2，CD＝，则cos A＝ .
答案 0
解析 设BD＝x(x>0)，
则AD＝3x，AC＝2－3x，BC＝2－x，
易知cos∠ADC＝－cos∠BDC.
∴＝－，
解得x＝，故AD＝1，AC＝1，
∴cos A＝＝0.
一、测量距离问题
例1 (1)如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，要测出A，B的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D，若测得CD＝ km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，则A，B两点间的距离为 km.
答案
解析 ∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，∠ACD＝60°，
∴∠DAC＝60°，∴AC＝DC＝ km.
在△BCD中，∠DBC＝180°－∠CDB－∠ACD－∠ACB＝45°，
由正弦定理，得BC＝·sin∠BDC＝·sin 30°＝(km).
在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos 45°＝＋－2×××＝.
∴AB＝ km.
∴A，B两点间的距离为 km.
(2)如图，为了测量两座山峰上P，Q两点之间的距离，选择山坡上一段长度为300 m且和P，Q两点在同一平面内的路段AB的两个端点作为观测点，现测得∠PAB＝90°，∠PAQ＝∠PBA＝∠PBQ＝60°，则P，Q两点间的距离为 m.
答案 900
解析 由已知，得∠QAB＝∠PAB－∠PAQ＝30°.
又∠PBA＝∠PBQ＝60°，
∴∠AQB＝30°，∴AB＝BQ.
又PB为公共边，∴△PAB≌△PQB，∴PQ＝PA.
在Rt△PAB中，AP＝AB·tan 60°＝900(m)，
故PQ＝900 m，∴P，Q两点间的距离为900 m.
二、测量高度问题
例2 如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A，B两点间的距离为60 m，则树的高度为 m.
答案 30＋30
解析 在△PAB中，∠PAB＝30°，∠APB＝15°，AB＝60 m，
sin 15°＝sin(45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＝×－×＝，
由正弦定理得＝，
所以PB＝＝30(＋)，
所以树的高度为PB·sin 45°＝30(＋)×＝(30＋30)(m).
三、测量角度问题
例3 已知岛A南偏西38°方向，距岛A 3海里的B处有一艘缉私艇.岛A处的一艘走私船正以10海里/小时的速度向岛北偏西22°方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用0.5小时能截住该走私船？
解 如图，设缉私艇在C处截住走私船，D为岛A正南方向上一点，缉私艇的速度为x海里/小时，结合题意知BC＝0.5x，AC＝5，∠BAC＝180°－38°－22°＝120°.
由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos 120°，
所以BC2＝49，所以BC＝0.5x＝7，
解得x＝14.
又由正弦定理得
sin∠ABC＝＝＝，
所以∠ABC＝38°，
又∠BAD＝38°，所以BC∥AD，
故缉私艇以14海里/小时的速度向正北方向行驶，恰好用0.5小时截住该走私船.
素养提升 数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程，主要包括：从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构，并且用数学符号或数学术语予以表征.从实际问题中抽象出距离、高度、角度等数学问题，然后利用正弦定理、余弦定理求解，很好地体现了数学抽象的数学素养.
1.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝，b＝3，A＝60°，则边c等于( )
A.1 B.2 C.4 D.6
答案 C
解析 ∵a2＝c2＋b2－2cbcos A，
∴13＝c2＋9－2c×3×cos 60°，
即c2－3c－4＝0，解得c＝4或c＝－1(舍去).
2.(2019·沧州七校联考)已知△ABC，a＝，b＝，A＝30°，则c等于( )
A.2 B.
C.2或 D.均不正确
答案 C
解析 ∵＝，
∴sin B＝＝·sin 30°＝.
∵b>a，∴B＝60°或120°.
若B＝60°，则C＝90°，∴c＝＝2.
若B＝120°，则C＝30°，∴a＝c＝.
3.(2019·合肥模拟)在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为，则BC的长为( )
A. B.
C.2 D.2
答案 B
解析 因为S＝AB·ACsin A＝×2×AC＝，
所以AC＝1，
所以BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos A＝3.
所以BC＝.
4.△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b＝c，a2＝2b2(1－sin A)，则A等于( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝2b2－2b2cos A，所以2b2(1－sin A)＝2b2(1－cos A)，
所以sin A＝cos A，即tan A＝1，又0
5.(2019·江西七校联考)在△ABC中，若sin(A－B)＝1＋2cos(B＋C)sin(A＋C)，则△ABC的形状一定是( )
A.等边三角形 B.不含60°角的等腰三角形
C.钝角三角形 D.直角三角形
答案 D
解析 sin(A－B)＝1＋2cos(B＋C)sin(A＋C)
＝1－2cos Asin B，
∴sin Acos B－cos Asin B＝1－2cos Asin B，
∴sin Acos B＋cos Asin B＝1，
即sin(A＋B)＝1，则A＋B＝，
故△ABC为直角三角形.
6.在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若S△ABC＝2，a＋b＝6，＝2cos C，则c等于( )
A.2 B.4 C.2 D.3
答案 C
解析 ∵＝2cos C，
由正弦定理，
得sin Acos B＋cos Asin B＝2sin Ccos C，
∴sin(A＋B)＝sin C＝2sin Ccos C，
由于0
∴c2＝a2＋b2－2abcos C＝(a＋b)2－3ab＝12，
∴c＝2.
7.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，cos C＝－，3sin A＝2sin B，则c＝ .
答案 4
解析 由3sin A＝2sin B及正弦定理，得3a＝2b，
所以b＝a＝3.由余弦定理cos C＝，
得－＝，解得c＝4.
8.(2019·全国Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝6，a＝2c，B＝，则△ABC的面积为 .
答案 6
解析 方法一 因为a＝2c，b＝6，B＝，
所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，
得62＝(2c)2＋c2－2×2c×ccos ，得c＝2，
所以a＝4，
所以△ABC的面积S＝acsin B
＝×4×2×sin ＝6.
方法二 因为a＝2c，b＝6，B＝，
所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，
得62＝(2c)2＋c2－2×2c×ccos ，得c＝2，
所以a＝4，所以a2＝b2＋c2，所以A＝，
所以S△ABC＝×2×6＝6.
9.如图所示，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°，从C点测得∠MCA＝60°，已知山高BC＝100 m，则山高MN＝ m.
答案 150
解析 在Rt△ABC中，AC＝100，
在△MAC中，＝，解得MA＝100，
在Rt△MNA中，＝sin 60°＝，
故MN＝150，即山高MN为150 m.
10.(2018·北京)若△ABC的面积为(a2＋c2－b2)，且C为钝角，则B＝ ；的取值范围是 .
答案 (2，＋∞)
解析 由余弦定理得cos B＝，
∴a2＋c2－b2＝2accos B.
又∵S＝(a2＋c2－b2)，
∴acsin B＝×2accos B，
∴tan B＝，又B∈(0，π)，
∴B＝.
又∵C为钝角，∴C＝－A>，
∴0
∵0
∴>＋×＝2，
即>2.
∴的取值范围是(2，＋∞).
11.(2019·全国Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设(sin B－sin C)2＝sin2A－sin Bsin C.
(1)求A；
(2)若a＋b＝2c，求sin C.
解 (1)由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sin Bsin C，
故由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc，
由余弦定理得cos A＝＝，
因为0°
由题设及正弦定理得sin A＋sin(120°－C)＝2sin C，
即＋cos C＋sin C＝2sinC，
可得cos(C＋60°)＝－.
由于0°
＝sin(C＋60°)cos 60°－cos(C＋60°)sin 60°＝.
12.(2018·北京)在△ABC中，a＝7，b＝8，cos B＝－.
(1)求角A；
(2)求AC边上的高.
解 (1)在△ABC中，因为cos B＝－，
所以sin B＝＝.
由正弦定理得sin A＝＝.
由题设知
(2)在△ABC中，
因为sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝，
所以AC边上的高为asin C＝7×＝.
13.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知三个向量m＝，n＝，p＝共线，则△ABC的形状为( )
A.等边三角形 B.等腰三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
答案 A
解析 ∵向量m＝，n＝共线，
∴acos ＝bcos.
由正弦定理得sin Acos ＝sin Bcos .
∴2sin cos cos＝2sin cos cos .
则sin ＝sin .∵0<<，0<<，∴＝，即A＝B.
同理可得B＝C.∴△ABC的形状为等边三角形.故选A.
14.已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2＋c2－bc，a＝3，则△ABC的周长的最大值为 .
答案 9
解析 ∵a2＝b2＋c2－bc，∴bc＝b2＋c2－a2，
∴cos A＝＝，
∵A∈(0，π)，∴A＝.
方法一 ∵a＝3，
∴由正弦定理得＝＝＝＝2，
∴b＝2sin B，c＝2sin C，
则a＋b＋c＝3＋2sin B＋2sin C
＝3＋2sin B＋2sin
＝3＋3sin B＋3cos B＝3＋6sin，
∵B∈，∴当B＝时，周长取得最大值9.
方法二 ∵a＝3，
∴由余弦定理得9＝b2＋c2－bc，
∴(b＋c)2－3bc＝9，
∴(b＋c)2－9＝3bc≤3·2，
∴(b＋c)2≤36，
∵b＋c>0，∴0
15.在△ABC中，C＝60°，且＝2，则△ABC面积S的最大值为 .
答案
解析 由C＝60°及＝＝2，可得c＝.
由余弦定理得3＝b2＋a2－ab≥ab(当且仅当a＝b时取等号)，
∴S＝absin C≤×3×＝，
∴△ABC的面积S的最大值为.
16.如图，在一条海防警戒线上的点A，B，C处各有一个水声监测点，B，C两点到A的距离分别为20千米和50千米，某时刻，B收到发自静止目标P的一个声波信号，8秒后，A，C同时接到该声波信号，已知声波在水中的传播速度为1.5千米/秒.
(1)设A到P的距离为x千米，用x表示B，C到P的距离，并求x的值；
(2)求P到海防警戒线AC的距离.
解 (1)依题意，有PA＝PC＝x，PB＝x－1.5×8＝x－12.
在△PAB中，AB＝20，cos∠PAB＝＝＝.
同理，在△PAC中，AC＝50，
cos∠PAC＝＝＝.
因为cos∠PAB＝cos∠PAC，
所以＝，解得x＝31.
(2)作PD⊥AC于点D(图略).
在△ADP中，由cos∠PAD＝，
得sin∠PAD＝＝，
所以PD＝PAsin∠PAD＝31×＝4.
故静止目标P到海防警戒线AC的距离为4千米.
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