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    2021高考数学(理)人教A版一轮复习学案作业:第五章5.4复 数

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    2021高考数学(理)人教A版一轮复习学案作业:第五章5.4复 数

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    §5.4 复 数

    最新考纲
    考情考向分析
    1.理解复数的基本概念.
    2.理解复数相等的充要条件.
    3.了解复数的代数表示法及其几何意义.能将代数形式的复数在复平面上用点或向量表示,并能将复平面上的点或向量所对应的复数用代数形式表示.
    4.能进行复数代数形式的四则运算.
    5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.
    主要考查复数的基本概念(复数的实部、虚部、共轭复数、复数的模等),复数相等的充要条件,考查复数的代数形式的四则运算,重点考查复数的除法运算,突出考查运算能力与数形结合思想.一般以选择题、填空题的形式出现,难度为低档.



    1.复数的有关概念
    (1)定义:我们把集合C={a+bi|a,b∈R}中的数,即形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,其中a叫做复数z的实部,b叫做复数z的虚部(i为虚数单位).
    (2)分类:

    满足条件(a,b为实数)
    复数的分类
    a+bi为实数⇔b=0
    a+bi为虚数⇔b≠0
    a+bi为纯虚数⇔a=0且b≠0

    (3)复数相等:a+bi=c+di⇔a=c且b=d(a,b,c,d∈R).
    (4)共轭复数:a+bi与c+di共轭⇔a=c,b=-d(a,b,c,d∈R).
    (5)模:向量的模叫做复数z=a+bi的模,记作|a+bi|或|z|,即|z|=|a+bi|=(a,b∈R).
    2.复数的几何意义
    复数z=a+bi与复平面内的点Z(a,b)及平面向量=(a,b)(a,b∈R)是一一对应关系.
    3.复数的运算
    (1)运算法则:设z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,d∈R.

    (2)几何意义:复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行.
    如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义,即=+,=-.

    概念方法微思考
    1.复数a+bi的实部为a,虚部为b吗?
    提示 不一定.只有当a,b∈R时,a才是实部,b才是虚部.
    2.如何理解复数的加法、减法的几何意义?
    提示 复数的加法、减法的几何意义就是向量加法、减法的平行四边形法则.

    题组一 思考辨析
    1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
    (1)复数z=a+bi(a,b∈R)中,虚部为bi.( × )
    (2)复数中有相等复数的概念,因此复数可以比较大小.( × )
    (3)复平面中原点是实轴与虚轴的交点.( √ )
    (4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离,也就是复数对应的向量的模.( √ )
    题组二 教材改编
    2.若复数z=(x2-1)+(x-1)i为纯虚数,则实数x的值为(  )
    A.-1 B.0 C.1 D.-1或1
    答案 A
    解析 ∵z为纯虚数,∴∴x=-1.

    3.在复平面内,向量对应的复数是2+i,向量对应的复数是-1-3i,则向量对应的复数是(  )
    A.1-2i B.-1+2i C.3+4i D.-3-4i
    答案 D
    解析 =+=-1-3i+(-2-i)=-3-4i.
    4.若复数z满足z=1-i(i是虚数单位),则复数z的共轭复数等于(  )
    A.--i B.-+i
    C.--i D.-+i
    答案 D
    解析 由题意可得z===,
    所以=-+i,故选D.
    题组三 易错自纠
    5.设a,b∈R,i是虚数单位,则“ab=0”是“复数a+为纯虚数”的(  )
    A.充要条件 B.充分不必要条件
    C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
    答案 C
    解析 ∵复数a+=a-bi为纯虚数,∴a=0且-b≠0,即a=0且b≠0,∴“ab=0”是“复数a+为纯虚数”的必要不充分条件.故选C.
    6.(2019·葫芦岛模拟)若复数z满足iz=2-2i(i为虚数单位),则z的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限是(  )
    A.第一象限 B.第二象限
    C.第三象限 D.第四象限
    答案 B
    解析 由题意,∵z===-2-2i,
    ∴=-2+2i,则z的共轭复数对应的点在第二象限.故选B.


                       
    复数的有关概念
    1.(2019·河南省百校联考)已知i为虚数单位,则复数z=的虚部为(  )
    A.i B.2 C.-1 D.-i
    答案 C
    解析 因为===2-i,所以z的虚部为-1.
    2.(2019·汉中模拟)已知a,b∈R,(a-i)i=b-2i,则a+bi的共轭复数为(  )
    A.-2-i B.-2+i
    C.2-i D.2+i
    答案 A
    解析 由(a-i)i=1+ai=b-2i,得
    ∴a+bi=-2+i,其共轭复数为-2-i,故选A.
    3.(2019·东莞模拟)已知a为实数,若复数(a+i)(1-2i)为纯虚数,则a等于(  )
    A.- B.2 C. D.-2
    答案 D
    解析 (a+i)(1-2i)=a+2+(1-2a)i,
    ∵复数是纯虚数,∴a+2=0且1-2a≠0,
    得a=-2且a≠,即a=-2.故选D.
    4.(2019·河南省八市重点高中联考)已知复数z=+2iz,则|z|等于(  )
    A. B. C. D.
    答案 A
    解析 由题意得
    z====,
    故|z|==,故选A.
    思维升华 复数的基本概念有实部、虚部、虚数、纯虚数、共轭复数、模等,在解题过程中要注意辨析概念的不同,灵活使用条件得出符合要求的解.
    复数的运算
    命题点1 复数的乘法运算
    例1 (1)(2018·全国Ⅲ)(1+i)(2-i)等于(  )
    A.-3-i B.-3+i
    C.3-i D.3+i
    答案 D
    解析 (1+i)(2-i)=2+2i-i-i2=3+i.
    (2)i(2+3i)等于(  )
    A.3-2i B.3+2i
    C.-3-2i D.-3+2i
    答案 D
    解析 i(2+3i)=2i+3i2=-3+2i,故选D.
    命题点2 复数的除法运算
    例2 (1)(2018·全国Ⅱ)等于(  )
    A.--i B.-+i
    C.--i D.-+i
    答案 D
    解析 ====-+i.
    故选D.
    (2)(2019·全国Ⅲ)若z(1+i)=2i,则z等于(  )
    A.-1-i B.-1+i
    C.1-i D.1+i
    答案 D
    解析 z====1+i.
    命题点3 复数的综合运算
    例3 (1)(2019·达州模拟)已知z(1+i)=-1+7i(i是虚数单位),z的共轭复数为,则等于(  )
    A. B.3+4i C.5 D.7
    答案 C
    解析 z===3+4i,
    故=3-4i⇒||=5,故选C.
    (2)(2018·成都模拟)对于两个复数α=1-i,β=1+i,有下列四个结论:①αβ=1;②=-i;③=1;
    ④α2+β2=0,其中正确结论的个数为(  )
    A.1 B.2 C.3 D.4
    答案 C
    解析 对于两个复数α=1-i,β=1+i,
    ①αβ=(1-i)(1+i)=2,故①不正确;
    ②====-i,故②正确;
    ③==1,故③正确;
    ④α2+β2=(1-i)2+(1+i)2=1-2i-1+1+2i-1=0,故④正确.故选C.
    思维升华 (1)复数的乘法:复数乘法类似于多项式的乘法运算.
    (2)复数的除法:除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数.
    跟踪训练1 (1)已知a∈R,i是虚数单位,若z=+ai,z·=4,则a为(  )
    A.1或-1 B.1
    C.-1 D.不存在的实数
    答案 A
    解析 由题意得=-ai,
    故z·=3+a2=4⇒a=±1,故选A.
    (2)(2019·晋城模拟)若=m+ni,其中m,n∈R,则m-n等于(  )
    A. B. C.- D.-
    答案 B
    解析 依题意,得=
    ==--i,
    所以m=-,n=-,
    所以m-n=.故选B.
    复数的几何意义
    例4 (1)(2019·聊城模拟)若复数z满足z(2+3i)=i,则在复平面上对应的点位于(  )
    A.第一象限 B.第二象限
    C.第三象限 D.第四象限
    答案 D
    解析 由题意得z===,
    所以=-i,所以在复平面上对应的点为,位于第四象限.
    (2)(2019·上海市金山中学月考)已知集合A={z|(a+bi)+(a-bi)z+2=0,a,b∈R,z∈C},B={z||z|=1,z∈C},若A∩B=∅,则a,b之间的关系是(  )
    A.a+b>1 B.a+b1,即a2+b2

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