2021高考数学（理）人教A版一轮复习学案作业：第九章9.3圆的方程

§9.3　圆的方程
最新考纲
考情考向分析
1.掌握确定圆的几何要素.
2.掌握圆的标准方程与一般方程.
以考查圆的方程为主，与圆有关的轨迹问题、最值问题也是考查的热点，属中档题.题型主要以选择、填空题为主，要求相对较低，但内容很重要，有时也会在解答题中出现.



圆的定义与方程
定义
平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆
方程
标准式
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)
圆心为(a，b)
半径为r
一般式
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
充要条件：D2＋E2－4F>0
圆心坐标：
半径r＝

概念方法微思考
1.二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件是什么？
提示　
2.点与圆的位置关系有几种？如何判断？
提示　点和圆的位置关系有三种.
已知圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)，
(1)点在圆上：(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2；
(2)点在圆外：(x0－a)2＋(y0－b)2>r2；
(3)点在圆内：(x0－a)2＋(y0－b)2

题组一　思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)确定圆的几何要素是圆心与半径.(　√　)
(2)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则以AB为直径的圆的方程是(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.(　√　)
(3)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0.(　√　)
(4)方程(x＋a)2＋(y＋b)2＝t2(t∈R)表示圆心为(a，b)，半径为t的圆.(　×　)
题组二　教材改编
2.圆心为(1，1)且过原点的圆的方程是(　　)
A.(x－1)2＋(y－1)2＝1
B.(x＋1)2＋(y＋1)2＝1
C.(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
D.(x－1)2＋(y－1)2＝2
答案　D
解析　因为圆心为(1，1)且过原点，
所以该圆的半径r＝＝，
则该圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.
3.以点(3，－1)为圆心，并且与直线3x＋4y＝0相切的圆的方程是(　　)
A.(x－3)2＋(y＋1)2＝1
B.(x－3)2＋(y－1)2＝1
C.(x＋3)2＋(y－1)2＝1
D.(x＋3)2＋(y＋1)2＝1
答案　A
4.圆C的圆心在x轴上，并且过点A(－1，1)和B(1，3)，则圆C的方程为___________.
答案　(x－2)2＋y2＝10
解析　设圆心坐标为C(a，0)，
∵点A(－1，1)和B(1，3)在圆C上，
∴|CA|＝|CB|，
即＝，解得a＝2，
∴圆心为C(2，0)，
半径|CA|＝＝，
∴圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.
题组三　易错自纠
5.若方程x2＋y2＋mx－2y＋3＝0表示圆，则m的取值范围是(　　)
A.(－∞，－)∪(，＋∞)
B.(－∞，－2)∪(2，＋∞)
C.(－∞，－)∪(，＋∞)
D.(－∞，－2)∪(2，＋∞)
答案　B
解析　将x2＋y2＋mx－2y＋3＝0化为圆的标准方程得2＋(y－1)2＝－2.
由其表示圆可得－2>0，解得m<－2或m>2.
6.半径为3，圆心的纵、横坐标相等且与两条坐标轴都相切的圆的方程为___________.
答案　(x－3)2＋(y－3)2＝9或(x＋3)2＋(y＋3)2＝9
解析　由题意知圆心坐标为(3，3)或(－3，－3)，
故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－3)2＝9或(x＋3)2＋(y＋3)2＝9.

圆的方程
1.(2019·包头青山区模拟)已知圆C过点A(6，0)，B(1，5)，且圆心在直线l：2x－7y＋8＝0上，则圆C的方程为________________.
答案　(x－3)2＋(y－2)2＝13
解析　方法一　(几何法)kAB＝＝－1，
则AB的垂直平分线方程为y－＝x－，
即x－y－1＝0，联立方程解得
r＝＝，
故圆C的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝13.(圆的任何一条弦的垂直平分线过圆心)
方法二　(待定系数法)设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
由题意可得解得
故所求圆C的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝13.
2.已知圆心在x轴上，半径为的圆位于y轴右侧，且截直线x＋2y＝0所得弦的长为2，则圆的方程为__________.
答案　(x－2)2＋y2＝5
解析　根据题意，设圆的圆心坐标为(a，0)(a>0)，则圆的标准方程为(x－a)2＋y2＝5(a>0)，则圆心到直线x＋2y＝0的距离d＝＝a.
又该圆截直线x＋2y＝0所得弦的长为2，所以可得12＋2＝5，解得a＝2.故圆的方程为(x－2)2＋y2＝5.
3.若不同的四点A(5，0)，B(－1，0)，C(－3，3)，D(a，3)共圆，则a的值是________.
答案　7
解析　四点共圆，设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
则解得
所以圆的方程为x2＋y2－4x－y－5＝0，
将D(a，3)代入得a2－4a－21＝0.
解得a＝7或a＝－3(舍).
思维升华　(1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程.
(2)待定系数法
①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值.
②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值.
与圆有关的轨迹问题
例1　已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0).求：
(1)直角顶点C的轨迹方程；
(2)直角边BC的中点M的轨迹方程.
解　(1)方法一　设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.
因为AC⊥BC，且BC，AC斜率均存在，
所以kAC·kBC＝－1，
又kAC＝，kBC＝，所以·＝－1，
化简得x2＋y2－2x－3＝0.
因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0).
方法二　设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1，0)，由直角三角形的性质知|CD|＝|AB|＝2.由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1，0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点).
所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0).
(2)设M(x，y)，C(x0，y0)，因为B(3，0)，M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x＝，y＝，
所以x0＝2x－3，y0＝2y.
由(1)知，点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，
将x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，
即(x－2)2＋y2＝1.
因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0).
思维升华　求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：
①直接法：直接根据题目提供的条件列出方程.
②定义法：根据圆、直线等定义列方程.
③几何法：利用圆的几何性质列方程.
④相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式.
跟踪训练1　设定点M(－3，4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹方程.
解　如图，设P(x，y)，N(x0，y0)，

则线段OP的中点坐标为，
线段MN的中点坐标为.
因为平行四边形的对角线互相平分，
所以＝，＝，
整理得
又点N(x0，y0)在圆x2＋y2＝4上，
所以(x＋3)2＋(y－4)2＝4.
所以点P的轨迹是以(－3，4)为圆心，2为半径的圆，
直线OM与轨迹相交于两点和，不符合题意，舍去，
所以点P的轨迹为(x＋3)2＋(y－4)2＝4，除去两点和.
与圆有关的最值问题
例2　(1)已知A(0，2)，点P在直线x＋y＋2＝0上，点Q在圆C：x2＋y2－4x－2y＝0上，则|PA|＋|PQ|的最小值是________.
答案　2
解析　因为圆C：x2＋y2－4x－2y＝0，
故圆C是以C(2，1)为圆心，半径r＝的圆.
设点A(0，2)关于直线x＋y＋2＝0的对称点为A′(m，n)，
故解得
故A′(－4，－2).
连接A′C交圆C于Q，由对称性可知
|PA|＋|PQ|＝|A′P|＋|PQ|≥|A′Q|＝|A′C|－r＝2.
(2)已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，求的最大值和最小值.
解　原方程可化为(x－2)2＋y2＝3，
表示以(2，0)为圆心，为半径的圆.
的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，
所以设＝k，即y＝kx.
当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值和最小值，此时＝，解得k＝±.
所以的最大值为，最小值为－.
本例(2)中，求y－x的最大值和最小值.
解　y－x可看作是直线y＝x＋b在y轴上的截距，当直线y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值，此时＝，解得b＝－2±.所以y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－.
本例(2)中，求x2＋y2的最大值和最小值.
解　x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值.
又圆心到原点的距离为＝2，
所以x2＋y2的最大值是(2＋)2＝7＋4，
x2＋y2的最小值是(2－)2＝7－4.
思维升华　与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略
(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法.一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解.
(2)与圆上点(x，y)有关代数式的最值的常见类型及解法.
①形如u＝型的最值问题，可转化为过点(a，b)和点(x，y)的直线的斜率的最值问题；②形如t＝ax＋by型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如(x－a)2＋(y－b)2型的最值问题，可转化为动点到定点(a，b)的距离的平方的最值问题.
跟踪训练2　已知M(x，y)为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2，3).
(1)求|MQ|的最大值和最小值；
(2)求的最大值和最小值；
(3)求y－x的最大值和最小值.
解　(1)由圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0，
可得(x－2)2＋(y－7)2＝8，
∴圆心C的坐标为(2，7)，半径r＝2.
又|QC|＝＝4，
∴|MQ|max＝4＋2＝6，|MQ|min＝4－2＝2.
(2)可知表示直线MQ的斜率k.
设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，
即kx－y＋2k＋3＝0.
∵直线MQ与圆C有交点，
∴≤2，
可得2－≤k≤2＋，
∴的最大值为2＋，最小值为2－.
(3)设y－x＝b，则x－y＋b＝0.
当直线y＝x＋b与圆C相切时，截距b取到最值，
∴＝2，∴b＝9或b＝1.
∴y－x的最大值为9，最小值为1.


1.如果圆的方程为x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，那么当圆面积最大时，圆心坐标为(　　)
A.(－1，1) B.(1，－1)
C.(－1，0) D.(0，－1)
答案　D
解析　r＝＝，
当k＝0时，r最大，此时圆心坐标为(0，－1).
2.已知圆C：x2＋y2－2x＋4y＋1＝0，那么与圆C有相同的圆心，且经过点(－2，2)的圆的方程是(　　)
A.(x－1)2＋(y＋2)2＝5
B.(x－1)2＋(y＋2)2＝25
C.(x＋1)2＋(y－2)2＝5
D.(x＋1)2＋(y－2)2＝25
答案　B
解析　圆C的标准方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝4，圆心C(1，－2)，故排除C，D，代入(－2，2)点，只有B项经过此点.也可以设出要求的圆的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝r2，再代入点(－2，2)，可以求得圆的半径为5.故选B.
3.已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则“E＝F＝0且D<0”是“圆C与y轴相切于原点”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案　A
解析　圆C与y轴相切于原点⇔圆C的圆心在x轴上(设坐标为(a，0))，且半径r＝|a|.∴当E＝F＝0且D<0时，圆心为，半径为，圆C与y轴相切于原点；圆(x＋1)2＋y2＝1与y轴相切于原点，但D＝2>0，故选A.
4.(2019·贵阳模拟)圆C与x轴相切于点T(1，0)，与y轴正半轴交于A，B两点，且|AB|＝2，则圆C的标准方程为(　　)
A.(x－1)2＋(y－)2＝2
B.(x－1)2＋(y－2)2＝2
C.(x＋1)2＋(y＋)2＝4
D.(x－1)2＋(y－)2＝4
答案　A
解析　由题意得，圆C的半径为＝，圆心坐标为(1，)，
∴圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－)2＝2，故选A.
5.已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝4，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为(　　)
A.(x＋2)2＋(y－2)2＝4
B.(x－2)2＋(y＋2)2＝4
C.(x＋2)2＋(y＋2)2＝4
D.(x－2)2＋(y－2)2＝4
答案　B
解析　根据题意，设圆C2的圆心为(a，b)，
圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝4，其圆心为(－1，1)，半径为2，
若圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C1与C2的圆心关于直线x－y－1＝0对称，且圆C2的半径为2，则有解得
则圆C2的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝4.
6.点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是(　　)
A.(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B.(x－2)2＋(y＋1)2＝4
C.(x＋4)2＋(y－2)2＝4 D.(x＋2)2＋(y－1)2＝1
答案　A
解析　设圆上任意一点为(x1，y1)，中点为(x，y)，
则即
代入x2＋y2＝4得(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，
化简得(x－2)2＋(y＋1)2＝1.
7.若圆C经过坐标原点与点(4，0)，且与直线y＝1相切，则圆C的方程是____________.
答案　(x－2)2＋2＝
解析　因为圆的弦的垂直平分线必过圆心且圆经过点(0，0)和(4，0)，所以设圆心为(2，m).
又因为圆与直线y＝1相切，所以＝|1－m|，
解得m＝－.
所以圆C的方程为(x－2)2＋2＝.
8.(2020·长沙模拟)圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的点到直线x－y＝2的距离的最大值是_____.
答案　1＋
解析　将圆的方程化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心坐标为(1，1)，半径为1，则圆心到直线x－y＝2的距离d＝＝，故圆上的点到直线x－y＝2的距离的最大值为d＋1＝＋1.
9.如果圆(x－a)2＋(y－a)2＝8上总存在到原点的距离为的点，则实数a的取值范围是________________.
答案　[－3，－1]∪[1，3]
解析　圆(x－a)2＋(y－a)2＝8的圆心(a，a)到原点的距离为|a|，半径r＝2，由圆(x－a)2＋(y－a)2＝8上总存在点到原点的距离为，得2－≤|a|≤2＋，∴1≤|a|≤3，解得1≤a≤3或－3≤a≤－1.
∴实数a的取值范围是[－3，－1]∪[1，3].
10.已知圆C经过P(－2，4)，Q(3，－1)两点，且在x轴上截得的弦长等于6，则圆C的方程为______________________________.
答案　x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0
解析　设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，
将P，Q两点的坐标分别代入得
又令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0.③
设x1，x2是方程③的两根，
由|x1－x2|＝6，即(x1＋x2)2－4x1x2＝36，得D2－4F＝36，④
由①②④解得D＝－2，E＝－4，F＝－8或D＝－6，E＝－8，F＝0.
故所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0.
11.已知点(x，y)在圆(x－2)2＋(y＋3)2＝1上.
(1)求x＋y的最大值和最小值；
(2)求的最大值和最小值.
解　(1)设t＝x＋y，则y＝－x＋t，t可视为直线y＝－x＋t在y轴上的截距，
∴x＋y的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时在y轴上的截距.
由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，
即＝1，解得t＝－1或t＝－－1.
∴x＋y的最大值为－1，最小值为－－1.
(2)＝，求它的最值可视为求点(x，y)到定点(－1，2)的距离的最值，可转化为求圆心(2，－3)到定点(－1，2)的距离与半径的和或差.
又圆心到定点(－1，2)的距离为，
∴的最大值为＋1，最小值为－1.
12.已知点A(－3，0)，B(3，0)，动点P满足|PA|＝2|PB|.
(1)若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程；
(2)若点Q在直线l1：x＋y＋3＝0上，直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，求|QM|的最小值.
解　(1)设点P的坐标为(x，y)，
则＝2.
化简可得(x－5)2＋y2＝16，此方程即为所求.
(2)曲线C是以点(5，0)为圆心，4为半径的圆，如图所示.

由题意知直线l2是此圆的切线，连接CQ，
则|QM|＝＝，
当|QM|最小时，|CQ|最小，此时CQ⊥l1，|CQ|＝＝4，
则|QM|的最小值为＝4.

13.已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，设点P是圆C上的动点.记d＝|PB|2＋|PA|2，其中A(0，1)，B(0，－1)，则d的最大值为________.
答案　74
解析　设P(x0，y0)，d＝|PB|2＋|PA|2＝x＋(y0＋1)2＋x＋(y0－1)2＝2(x＋y)＋2.x＋y为圆上任一点到原点距离的平方，∴(x＋y)max＝(5＋1)2＝36，∴dmax＝74.
14.已知点P为圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0上任意一点，A，B为直线3x＋4y＋5＝0上的两动点，且|AB|＝2，则△ABP的面积的取值范围是________.
答案　[1，5]
解析　圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4，
圆心C(2，1)，半径R＝2，
圆心C到直线3x＋4y＋5＝0的距离d＝＝3，
设P到直线AB的距离为h，
则S△ABP＝·|AB|·h＝h，
∵d－R≤h≤d＋R，
∴1≤h≤5，
∴S△ABP∈[1，5]，
即△ABP的面积的取值范围为[1，5].

15.圆x2＋y2＋4x－12y＋1＝0关于直线ax－by＋6＝0(a>0，b>0)对称，则＋的最小值是(　　)
A.2 B.　C. D.
答案　C
解析　由圆x2＋y2＋4x－12y＋1＝0知，其标准方程为(x＋2)2＋(y－6)2＝39，
∵圆x2＋y2＋4x－12y＋1＝0关于直线ax－by＋6＝0(a>0，b>0)对称，
∴该直线经过圆心(－2，6)，即－2a－6b＋6＝0，
∴a＋3b＝3(a>0，b>0)，
∴＋＝(a＋3b)＝≥＝，
当且仅当＝，即a＝b时取等号，故选C.
16.在平面直角坐标系中，已知圆心在直线x－2y＝0上，圆C经过点A(4，0)，但不经过坐标原点，并且直线4x－3y＝0与圆C相交所得的弦长为4.
(1)求圆C的一般方程；
(2)若从点M(－4，1)发出的光线经过x轴反射，反射光线刚好通过圆C的圆心，求反射光线所在直线的方程(用一般式表达).
解　(1)设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
因为圆心C在直线x－2y＝0上，所以a－2b＝0，①
又因为圆C经过点A(4，0)，所以(4－a)2＋b2＝r2，②
而圆心到直线4x－3y＝0的距离d＝＝，易得d＝，
即＝，③
由①②③得或
又因为(x－2)2＋(y－1)2＝5经过坐标原点，
所以
故圆C的标准方程为(x－6)2＋(y－3)2＝13，化为一般方程为x2＋y2－12x－6y＋32＝0.
(2)点M(－4，1)关于x轴对称的点为N(－4，－1)，
反射光线所在的直线即为NC所在的直线，
又因为C(6，3).
所以反射光线所在直线的方程为＝，
所以反射光线所在直线的一般式方程为2x－5y＋3＝0.