2021高考数学（理）人教A版一轮复习学案作业：第十三章13.2第2课时不等式的证明

第2课时　不等式的证明
最新考纲
考情考向分析
通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法.
主要考查用比较法、综合法、分析法证明不等式，题型为解答题，中档难度.


1.比较法
(1)作差比较法
已知a>b⇔a－b>0，a0即可，这种方法称为作差比较法.
(2)作商比较法
由a>b>0⇔>1且a>0，b>0，因此当a>0，b>0时，要证明a>b，只要证明>1即可，这种方法称为作商比较法.
2.综合法
从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证，最终推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法叫做综合法，即“由因导果”的方法.
3.分析法
从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等)，从而得出要证的不等式成立，这种证明方法叫做分析法，即“执果索因”的方法.
4.反证法
先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立.
5.放缩法
证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的.
概念方法微思考
1.综合法与分析法有何内在联系？
提示　综合法往往是分析法的相反过程，其表述简单、条理清楚，当问题比较复杂时，通常把分析法和综合法结合起来使用，以分析法寻找证明的思路，而用综合法叙述、表达整个证明过程.
2.分析法的过程中为什么要使用“要证”，“只需证”这样的连接“关键词”？
提示　因为“要证”“只需证”这些词说明了分析法需要寻求的是充分条件，符合分析法的思维是逆向思维的特点，因此在证明时，这些词是必不可少的.

题组一　思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)当a≥0，b≥0时，≥.(　√　)
(2)用反证法证明命题“a，b，c全为0”的假设为“a，b，c全不为0”.(　×　)
(3)若实数x，y适合不等式xy>1，x＋y>－2，则x>0，y>0.(　√　)
(4)若m＝a＋2b，n＝a＋b2＋1，则n≥m.(　√　)
题组二　教材改编
2.已知a，b∈R＋，a＋b＝2，则＋的最小值为(　　)
A.1 B.2
C.4 D.8
答案　B
解析　因为a，b∈R＋，且a＋b＝2，
所以(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4，
所以＋≥＝2，即＋的最小值为2(当且仅当a＝b＝1时，“＝”成立).故选B.
3.若a，b，m∈R＋，且a>b，则下列不等式一定成立的是(　　)
A.≥ B.>
C.≤ D.
b.
所以－＝>0，即>，故选B.


题组三　易错自纠
4.已知a＋b＋c>0，ab＋bc＋ac>0，abc>0，用反证法求证a>0，b>0，c>0时的假设为(　　)
A.a1，x＝a＋，y＝b＋，则x与y的大小关系是(　　)
A.x>y B.xb>1，得ab>1，a－b>0，
所以>0，即x－y>0，所以x>y.故选A.
6.若a＝－，b＝－，c＝－，则a，b，c的大小关系为(　　)
A.a>b>c B.a>c>b
C.b>c>a D.c>a>b
答案　A
解析　“分子”有理化得a＝，b＝，
c＝，∴a>b>c.

用综合法与分析法证明不等式
例1　(1)已知x，y均为正数，且x>y，求证：2x＋≥2y＋3；
(2)设a，b，c>0且ab＋bc＋ca＝1，求证：a＋b＋c≥.
证明　(1)因为x>0，y>0，x－y>0，
2x＋－2y＝2(x－y)＋
＝(x－y)＋(x－y)＋
≥3＝3(当且仅当x－y＝1时，等号成立)，
所以2x＋≥2y＋3.
(2)因为a，b，c>0，
所以要证a＋b＋c≥，
只需证明(a＋b＋c)2≥3.
即证a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3，
而ab＋bc＋ca＝1，
故需证明a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3(ab＋bc＋ca)，
即证a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
而ab＋bc＋ca≤＋＋
＝a2＋b2＋c2(当且仅当a＝b＝c时等号成立)成立，
所以原不等式成立.
思维升华　用综合法证明不等式是“由因导果”，用分析法证明不等式是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法.综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见，分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提，充分利用这一辩证关系，可以增加解题思路，开阔视野.
跟踪训练1　已知函数f (x)＝|x－1|.
(1)解不等式f (x)＋f (x＋4)≥8；
(2)若|a||a|·f ，
只需证|ab－1|>|b－a|，
只需证(ab－1)2>(b－a)2.
因为|a|