2021版新高考数学（文科）一轮复习教师用书：第6章第3节　等比数列及其前n项和

第三节　等比数列及其前n项和
[最新考纲]　1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等比数列与指数函数的关系．


1．等比数列的有关概念
(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为＝q(n∈N*，q为非零常数)．
(2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝ab.
2．等比数列的通项公式与前n项和公式
(1)通项公式：an＝a1qn－1.
(2)前n项和公式：

3．等比数列的通项公式、前n项和公式与函数的关系
(1)an＝a1qn－1＝·qn(q＞0，且q≠1)，则数列{an}的图象是函数y＝·qx的图象上一系列孤立的点．
(2)Sn＝＝－qn＋(q≠1)，若设a＝，则Sn＝－aqn＋a，由此可知，数列{Sn}的图象是函数y＝－aqx＋a图象上一系列孤立的点．
4．等比数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(n，m∈N*)．
(2)若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq；若2s＝p＋r，则apar＝a，其中m，n，p，q，s，r∈N*.
(3)若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}，，{a}，{an·bn}，(λ≠0)仍然是等比数列．
(4)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk.
(5)当q≠－1时，数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等比数列．
(6)若数列{an}的项数为2n，则S偶＝S奇·q；若项数为2n＋1，则S奇＝a1＋S偶·q.

1．“G2＝ab”是“a，G，b成等比数列”的必要不充分条件．
2．若q≠0，q≠1，则Sn＝k－kqn(k≠0)是数列{an}成等比数列的充要条件，此时k＝.

一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)满足an＋1＝qan(n∈N*，q为常数)的数列{an}为等比数列．
(　　)
(2)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac.(　　)
(3)如果数列{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比数列． (　　)
(4)如果数列{an}为等比数列，则数列{ln an}是等差数列．
(　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
二、教材改编
1．等比数列{an}中，a3＝12，a4＝18，则a6等于(　　)
A．27　　　　B．36　　　　C.　　　　D．54
C　[公比q＝＝＝，则a6＝a4q2＝18×＝.]
2．在等比数列{an}中，a3＝，S3＝，则a1，q的值分别为(　　)
A．6， B．6，－
C.，1 D.，1或6，－
D　[由S3＝a1＋a2＋a3＝a3(q－2＋q－1＋1)，得
q－2＋q－1＋1＝3，即2q2－q－1＝0，
解得q＝1或q＝－.
当q＝1时，a1＝；当q＝－时，a1＝6，故选D.]
3．7＋3与7－3的等比中项为 ．
±2　[由G2＝(7＋3)(7－3)＝4得G＝±2.]
4．在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为 ．
27,81　[设该数列的公比为q，由题意知，
243＝9×q3，q3＝27，∴q＝3.
∴插入的两个数分别为9×3＝27,27×3＝81.]

考点1　等比数列的基本运算
　(1)等比数列基本运算的通法是设出首项a1和公比q，通过方程组求出结果，进而解决问题，体现了方程的思想．
(2)在使用等比数列前n项和公式时，应注意判断公比q是不是1，从而选择不同的求和公式．
　(1)(2019·全国卷Ⅲ)已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且a5＝3a3＋4a1，则a3＝(　　)
A．16　　　　B．8　　　　C．4　　　　D．2
(2)(2018·全国卷Ⅲ)等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3.
①求{an}的通项公式；
②记Sn为{an}的前n项和．若Sm＝63，求m.
(1)C　[(1)设正数的等比数列{an}的公比为q，
则
解得∴a3＝a1q2＝4，故选C.]
(2)[解]　①设{an}的公比为q，由题设得an＝qn－1.
由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)或q＝－2或q＝2.
故an＝(－2)n－1或an＝2n－1.
②若an＝(－2)n－1，则Sn＝.
由Sm＝63得(－2)m＝－188，此方程没有正整数解．
若an＝2n－1，则Sn＝＝2n－1.由Sm＝63得2m＝64，解得m＝6.
综上，m＝6.
把S4表示成S4＝a1＋a1q＋a1q2＋a1q3，不需要考虑q是不是1的情况，如本例T(1)．
[教师备选例题]
已知等比数列{an}单调递减，若a3＝1，a2＋a4＝，则a1＝(　　)
A．2 B．4 C. D．2
B　[设等比数列的公比为q，由题意知0＜q＜1，
由a3＝1，a2＋a4＝得，
整理得2q2－5q＋2＝0，
解得q＝或q＝2(舍去)，所以a1＝＝4，故选B.]
1.已知等比数列{an}的各项均为正数，其前n项和为Sn，若a2＝2，S6－S4＝6a4，则a5＝(　　)
A．4 B．10 C．16 D．32
C　[设公比为q(q＞0)，S6－S4＝a5＋a6＝6a4，因为a2＝2，所以2q3＋2q4＝12q2，即q2＋q－6＝0，所以q＝2或q＝－3(舍去)，则a5＝2×23＝16.]
2．(2019·全国卷Ⅰ)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若a1＝1，S3＝，则S4＝ .
　[设等比数列的公比为q，则an＝a1qn－1＝qn－1.
∵a1＝1，S3＝，∴a1＋a2＋a3＝1＋q＋q2＝，
即4q2＋4q＋1＝0，∴q＝－，
∴S4＝＝.]
3．(2017·江苏高考)等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn.已知S3＝，S6＝，则a8＝ .
32　[设{an}的首项为a1，公比为q，则
解得
所以a8＝×27＝25＝32.]
考点2　等比数列的判定与证明
　判定等比数列的四种方法
(1)定义法：若＝q(q为非零常数，n∈N*)，则{an}是等比数列．
(2)等比中项法：若数列{an}中，an≠0，且a＝an·an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列．
(3)通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·qn(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列．
(4)前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn＝kqn－k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则{an}是等比数列．
　(2018·全国卷Ⅰ)已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an.设bn＝.
(1)求b1，b2，b3；
(2)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由；
(3)求{an}的通项公式．
[解]　(1)由条件可得an＋1＝an.
将n＝1代入得，a2＝4a1，而a1＝1，所以a2＝4.
将n＝2代入得，a3＝3a2，所以a3＝12.
从而b1＝1，b2＝2，b3＝4.
(2){bn}是首项为1，公比为2的等比数列．
由条件可得＝，即bn＋1＝2bn，又b1＝1，所以{bn}是首项为1，公比为2的等比数列．
(3)由(2)可得＝2n－1，所以an＝n·2n－1.
　本例中由bn＋1＝2bn，不能判定{bn}是等比数列，还要验证b1≠0.
　(2016·全国卷Ⅲ)已知数列{an}的前n项和Sn＝1＋λan，其中λ≠0.
(1)证明{an}是等比数列，并求其通项公式；
(2)若S5＝，求λ.
[解]　(1)证明：由题意得a1＝S1＝1＋λa1，
故λ≠1，a1＝，故a1≠0.
由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1得an＋1＝λan＋1－λan，
即an＋1(λ－1)＝λan.
由a1≠0，λ≠0得an≠0，所以＝.
因此{an}是首项为，公比为的等比数列，
于是an＝.
(2)由(1)得Sn＝1－.
由S5＝得1－5＝，即5＝.
解得λ＝－1.
[教师备选例题]
设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.
(1)设bn＝an＋1－2an，证明：数列{bn}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
[解]　(1)证明：由a1＝1及Sn＋1＝4an＋2，
有a1＋a2＝S2＝4a1＋2.
∴a2＝5，∴b1＝a2－2a1＝3.
又
①－②，得an＋1＝4an－4an－1(n≥2)，
∴an＋1－2an＝2(an－2an－1)(n≥2)．
∵bn＝an＋1－2an，∴bn＝2bn－1(n≥2)，
故{bn}是首项b1＝3，公比为2的等比数列．
(2)由(1)知bn＝an＋1－2an＝3·2n－1，
∴－＝，
故是首项为，公差为的等差数列．
∴＝＋(n－1)·＝，
故an＝(3n－1)·2n－2.
考点3　等比数列性质的应用(多维探究)
　应用等比数列性质的两个关注点
(1)转化意识：在等比数列中，两项之积可转化为另外两项之积或某项的平方，这是最常用的性质．
(2)化归意识：把非等比数列问题转化为等比数列问题解决，例如有关Sm，S2m，S3m的问题可利用Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等比数列求解．
　等比数列项的性质
　(1)若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝ .
(2)等比数列{an}的前n项和为Sn，若an＞0，q＞1，a3＋a5＝20，a2a6＝64，则S5＝ .
(1)50　(2)31　[(1)因为a10a11＋a9a12＝2a10a11＝2e5，所以a10a11＝e5.
所以ln a1＋ln a2＋…＋ln a20
＝ln(a1a2…a20)
＝ln[(a1a20)·(a2a19)·…·(a10a11)]
＝ln(a10a11)10＝10ln(a10a11)
＝10ln e5＝50ln e＝50.
(2)由等比数列的性质，得a3a5＝a2a6＝64，于是由且an＞0，q＞1，得a3＝4，a5＝16，所以解得所以S5＝＝31.]
　本例T(2)也可以先求出a1和q，再求S5，但运算量大，易出错．
　等比数列前n项和的性质
　(1)[一题多解]设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝，则＝ .
(2)已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝ .
(1)　(2)2　[(1)法一：(整体代入法)
因为S6∶S3＝1∶2，所以{an}的公比q≠1.由÷＝，得q3＝－，所以＝＝.
法二：(性质法)
由题意知S3，S6－S3，S9－S6成等比数列．
又＝，即S3＝2S6，所以2S6，－S6，S9－S6成等比数列．
∴S9－S6＝S6，即S9＝S6.
∴＝＝.
(2)由题意，得
解得所以q＝＝＝2.]
　对于本例T(2)，熟练掌握S偶与S奇的关系为解答本题提供了保障，避免了繁琐的运算．
1.在等比数列{an}中，a3，a15是方程x2＋6x＋2＝0的根，则的值为(　　)
A．－ B．－
C. D．－或
B　[设等比数列{an}的公比为q，因为a3，a15是方程x2＋6x＋2＝0的根，所以a3·a15＝a＝2，a3＋a15＝－6，所以a3＜0，a15＜0，则a9＝－，所以＝＝a9＝－，故选B.]
2．设等比数列{an}的前n项和为Sn，S2＝－1，S4＝－5，则S6等于(　　)
A．－9 B．－21 C．－25 D．－63
B　[因为S2＝－1≠0，所以q≠－1，由等比数列性质得S2，S4－S2，S6－S4成等比数列，即－1×(S6＋5)＝(－5＋1)2，所以S6＝－21，故选B.]
考点4　等差数列与等比数列的综合计算
　等差数列与等比数列综合计算的策略
(1)将已知条件转化为等差与等比数列的基本量之间的关系，利用方程思想和通项公式、前n项和公式求解．求解时，应“瞄准目标”，灵活应用数列的有关性质，简化运算过程．求解方程中注意合理选择有关公式，正确判断是否需要分类讨论．
(2)一定条件下，等差数列与等比数列之间是可以相互转化的，即{an}为等差数列⇒{aan}(a＞0且a≠1)为等比数列；{an}为正项等比数列⇒{logaan}(a＞0且a≠1)为等差数列．
　(1)已知等比数列{an}的各项都为正数，且a3，a5，a4成等差数列，则的值是(　　)
A. B.
C. D.
(2)(2018·北京高考)设{an}是等差数列，且a1＝ln 2，a2＋a3＝5ln 2.
①求{an}的通项公式；
②求ea1＋ea2＋…＋ean.
(1)A　[设等比数列{an}的公比为q，由a3，a5，a4成等差数列可得a5＝a3＋a4，即a3q2＝a3＋a3q，故q2－q－1＝0，解得q＝或q＝(舍去)，由＝＝＝＝＝＝，故选A.
(2)[解]　①设{an}的公差为d.
因为a2＋a3＝5ln 2，
所以2a1＋3d＝5ln 2.
又a1＝ln 2，所以d＝ln 2.
所以an＝a1＋(n－1)d＝nln 2.
②因为ea1＝eln 2＝2，＝ean－an－1＝eln 2＝2，
所以数列{ean}是首项为2，公比为2的等比数列．
所以ea1＋ea2＋…＋ean＝2×＝2(2n－1)＝2n＋1－2.
本例T(2)中，解答第②问的关键是证明数列{ean}是等比数列．
　1.已知{an}为等比数列，数列{bn}满足b1＝2，b2＝5，且an(bn＋1－bn)＝an＋1，则数列{bn}的前n项和为(　　)
A．3n＋1 B．3n－1
C. D.
C　[设等比数列{an}的公比为q，
∵an(bn＋1－bn)＝an＋1，
∴bn＋1－bn＝q(常数)，
即数列{bn}是等差数列，公差为q.
∵b1＝2，b2＝5，
∴q＝3，
∴数列{bn}的前n项和为2n＋×3＝.
故选C.]
2．(2019·全国卷Ⅱ)已知{an}是各项均为正数的等比数列，a1＝2，a3＝2a2＋16.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝log2an，求数列{bn}的前n项和．
[解]　(1)设{an}的公比为q，由题设得2q2＝4q＋16，即q2－2q－8＝0.
解得q＝－2(舍去)或q＝4.
因此{an}的通项公式为an＝2×4n－1＝22n－1.
(2)由(1)得bn＝(2n－1)log22＝2n－1，因此数列{bn}的前n项和为1＋3＋…＋(2n－1)＝n2.