2021版新高考数学（理科）一轮复习教师用书：第1章第3节　简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

第三节　简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
[最新考纲]　1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义.2.理解全称量词和存在量词的意义.3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．


1．简单的逻辑联结词
(1)命题中的或、且、非叫做逻辑联结词．
(2)命题p且q、p或q、非p的真假判断
p
q
p且q
p或q
非p
真
真
真
真
假
真
假
假
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假
假
真
2.全称量词和存在量词
(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示．
(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示．
3．全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否定
命题名称
语言表示
符号表示
命题的否定
全称命题
对M中任意一个x，有p(x)成立
∀x∈M，p(x)
∃x0∈M，﹁p(x0)
特称命题
存在M中的一个x0，使p(x0)成立
∃x0∈M，p(x0)
∀x∈M，﹁p(x)

1．含有逻辑联结词的命题真假的判断规律
(1)p∨q：p，q中有一个为真，则p∨q为真，即有真为真．
(2)p∧q：p，q中有一个为假，则p∧q为假，即有假即假．
(3)﹁p：与p的真假相反，即一真一假，真假相反．
2．含有一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”．
3．命题的否定和否命题的区别：命题“若p，则q”的否定是“若p，则﹁q”，否命题是“若﹁p，则﹁q”．

一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)命题“3≥2”是真命题．(　　)
(2)若命题p∧q为假命题，则命题p，q都是假命题．(　　)
(3)命题“对顶角相等”的否定是“对顶角不相等”．(　　)
(4)“全等的三角形面积相等”是全称命题．(　　)
[答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√
二、教材改编
1．命题“∀x∈R，x2＋x≥0”的否定是(　　)
A．∃x0∈R，x＋x0≤0 B．∃x0∈R，x＋x0＜0
C．∀x∈R，x2＋x≤0 D．∀x∈R，x2＋x＜0
B　[由全称命题的否定是特称命题知选项B正确．故选B.]
2．下列命题中的假命题是(　　)
A．∃x0∈R，lg x0＝1 B．∃x0∈R，sin x0＝0
C．∀x∈R，x3＞0 D．∀x∈R,2x＞0
C　[当x＝10时，lg 10＝1，则A为真命题；当x＝0时，sin 0＝0，则B为真命题；当x≤0时，x3≤0，则C为假命题；由指数函数的性质知，∀x∈R,2x＞0，则D为真命题．故选C.]
3．已知p：2是偶数，q：2是质数，则命题﹁p，﹁q，p∨q，p∧q中真命题的个数为(　　)
A．1　B．2 C．3　D．4
B　[p和q显然都是真命题，所以﹁p，﹁q都是假命题，p∨q，p∧q都是真命题．]
4．命题“实数的平方都是正数”的否定是________．
存在一个实数的平方不是正数　[全称命题的否定是特称命题，故应填：存在一个实数的平方不是正数．]


考点1　全称命题、特称命题
　(1)全称命题与特称命题的否定
①改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写．
②否定结论：对原命题的结论进行否定．
(2)全称命题与特称命题真假的判断方法
命题名称
真假
判断方法一
判断方法二
全称命题
真
所有对象使命题真
否定为假
假
存在一个对象使命题假
否定为真
特称命题
真
存在一个对象使命题真
否定为假

　全称命题、特称命题的否定
　(1)(2019·西安模拟)命题“∀x＞0，＞0”的否定是(　　)
A．∃x＜0，≤0　 B．∃x＞0,0≤x≤1
C．∀x＞0，≤0 D．∀x＜0,0≤x≤1
(2)已知命题p：∃m∈R，f(x)＝2x－mx是增函数，则﹁p为(　　)
A．∃m∈R，f(x)＝2x－mx是减函数
B．∀m∈R，f(x)＝2x－mx是减函数
C．∃m∈R，f(x)＝2x－mx不是增函数
D．∀m∈R，f(x)＝2x－mx不是增函数
(1)B　(2)D　[(1)因为＞0，所以x＜0或x＞1，所以＞0的否定是0≤x≤1，所以命题的否定是∃x＞0,0≤x≤1，故选B.
(2)由特称命题的否定可得﹁p为“∀m∈R，f(x)＝2x－mx不是增函数”．]
　全(特)称命题的否定方法：∀x∈M，p(x)∃x0∈M，﹁p(x0)，简记：改量词，否结论．
　全称命题、特称命题的真假判断
　(1)下列命题中的假命题是(　　)
A．∀x∈R，x2≥0
B．∀x∈R,2x－1＞0
C．∃x0∈R，lg x0＜1
D．∃x0∈R，sin x0＋cos x0＝2
(2)下列四个命题：
p1：∃x0∈(0，＋∞)，x0＜x0；
p2：∃x0∈(0,1)，logx0＞logx0；
p3：∀x∈(0，＋∞)，x＞logx；
p4：∀x∈，x＜logx.
其中的真命题是(　　)
A．p1，p3 B．p1，p4
C．p2，p3 D．p2，p4
(1)D　(2)D　[(1)A显然正确；由指数函数的性质知2x－1＞0恒成立，所以B正确；当0＜x＜10时，lg x＜1，所以C正确；因为sin x＋cos x＝sin，所以－≤sin x＋cos x≤，所以D错误．
(2)对于p1，当x0∈(0，＋∞)时，总有x0＞x0成立，故p1是假命题；对于p2，当x0＝时，有1＝log＝log＞log 成立，故p2是真命题；对于p3，结合指数函数y＝x与对数函数y＝logx在(0，＋∞)上的图象，可以判断p3是假命题；对于p4，结合指数函数y＝x与对数函数y＝log x在上的图象可以判断p4是真命题．]
　因为命题p与﹁p的真假性相反，因此不管是全称命题，还是特称命题，当其真假不容易正面判断时，可先判断其否定的真假．
　1.命题“∀n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是(　　)
A．∀n∈N*，f(n)∉N*且f(n)＞n
B．∀n∈N*，f(n)∉N*或f(n)＞n
C．∃x0∈N*，f(n0)∉N*且f(n0)＞n0
D．∃n0∈N*，f(n0)∉N*或f(n0)＞n0
D　[“f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定为“f(n)∉N*或f(n)＞n”，全称命题的否定为特称命题，故选D.]
2．已知命题p：∃x0∈(0，)，使得cos x0≤x0，则﹁p为________，是________命题(填“真”或“假”)．
∀x∈(0，)，都有cos x＞x　假　[﹁p：∀x∈(0，)，都有cos x＞x，此命题是假命题．]
考点2　含有逻辑联结词的命题的真假判断
　判断含有逻辑联结词的命题真假的一般步骤
(1)判断复合命题的结构．
(2)判断构成复合命题的每个简单命题的真假．
(3)依据“‘或’：一真即真；‘且’：一假即假；‘非’：真假相反”作出判断即可．
　[一题多解](2019·全国卷Ⅲ)记不等式组表示的平面区域为D.命题p：∃(x，y)∈D,2x＋y≥9；命题q：∀(x，y)∈D,2x＋y≤12.下面给出了四个命题
①p∨q　②﹁p∨q　③p∧﹁q　④﹁p∧﹁ q
这四个命题中，所有真命题的编号是(　　)
A．①③ B．①②
C．②③ D．③④
A　[法一：画出可行域如图中阴影部分所示．目标函数z＝2x＋y是一条平行移动的直线，且z的几何意义是直线z＝2x＋y的纵截距．显然，直线过点A(2,4)时，zmin＝2×2＋4＝8，即z＝2x＋y≥8.∴2x＋y∈[8，＋∞)．由此得命题p：∃(x，y)∈D,2x＋y≥9正确；
命题q：∀(x，y)∈D,2x＋y≤12不正确．∴①③真，②④假．故选A.
法二：取x＝4，y＝5，满足不等式组且满足2x＋y≥9，不满足2x＋y≤12，故p真，q假．
∴①③真，②④假．故选A.]
　含逻辑联结词命题真假的等价关系
(1)p∨q真⇔p，q至少一个真⇔(﹁p)∧(﹁q)假．
(2)p∨q假⇔p，q均假⇔(﹁p)∧(﹁q)真．
(3)p∧q真⇔p，q均真⇔(﹁p)∨(﹁q)假．
(4)p∧q假⇔p，q至少一个假⇔(﹁p)∨(﹁q)真．
(5)﹁p真⇔p假；﹁p假⇔p真．
　1.(2019·石家庄模拟)命题p：若sin x＞sin y，则x＞y；命题q：x2＋y2≥2xy.下列命题为假命题的是(　　)
A．p∨q B．p∧q
C．q D．﹁p
B　[取x＝，y＝，可知命题p不正确；由(x－y)2≥0恒成立，可知命题q正确，故﹁p为真命题，p∨q是真命题，p∧q是假命题．]
2．给定下列命题：
p1：函数y＝ax＋x(a＞0，且a≠1)在R上为增函数；
p2：∃a，b∈R，a2－ab＋b2＜0；
p3：cos α＝cos β成立的一个充分不必要条件是α＝2kπ＋β(k∈Z)．
则下列命题中的真命题为(　　)
A．p1∨p2 B．p2∧p3
C．p1∨(﹁p3) D．(﹁p2)∧p3
D　[对于p1：令y＝f(x)，当a＝时，f(0)＝0＋0＝1，f(－1)＝－1－1＝1，所以p1为假命题；对于p2：a2－ab＋b2＝2＋b2≥0，所以p2为假命题；对于p3：由cos α＝cos β，可得α＝2kπ±β(k∈Z)，所以p3是真命题，所以(﹁p2)∧p3为真命题．]
考点3　由命题的真假确定参数的取值范围
　根据命题真假求参数的方法步骤
(1)根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)．
(2)求出每个命题是真命题时参数的取值范围．
(3)根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围．
　已知p：存在x0∈R，mx＋1≤0，q：任意x∈R，x2＋mx＋1＞0，若p或q为假命题，求实数m的取值范围．
[解]　依题意知p，q均为假命题，当p是假命题时，mx2＋1＞0恒成立，则有m≥0；当q是真命题时，则有Δ＝m2－4＜0，－2＜m＜2.因此由p，q均为假命题得
即m≥2.
所以实数m的取值范围为[2，＋∞)．
[母题探究]
1．(变问法)在本例条件下，若p∧q为真，求实数m的取值范围．
[解]　依题意知p，q均为真命题，当p是真命题时，有m＜0；
当q是真命题时，有－2＜m＜2，
由可得－2＜m＜0.
所以实数m的取值范围为(－2,0)．
2．(变问法)在本例条件下，若p∧q为假，p∨q为真，求实数m的取值范围．
[解]　若p∧q为假，p∨q为真，则p，q一真一假．
当p真q假时
所以m≤－2；
当p假q真时
所以0≤m＜2.
所以m的取值范围是(－∞，－2]∪[0,2)．
　根据命题的真假求参数取值范围的策略
(1)全称命题可转化为恒成立问题，特称命题可转化为存在性问题．
(2)含量词的命题中参数的取值范围，可根据命题的含义，转化为函数的最值解决．
　1.已知f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝x－m，若对∀x1∈[0,3]，∃x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
A　[当x∈[0,3]时，f(x)min＝f(0)＝0，
当x∈[1,2]时，g(x)min＝g(2)＝－m，
由f(x)min≥g(x)min，
得0≥－m，所以m≥，故选A.]
2．已知命题p：关于x的方程x2－ax＋4＝0有实根；命题q：关于x的函数y＝2x2＋ax＋4在[3，＋∞)上是增函数．若p或q是真命题，p且q是假命题，则实数a的取值范围是________．
(－∞，－12)∪(－4,4)　[命题p等价于Δ＝a2－16≥0，即a≤－4或a≥4；命题q等价于－≤3，即a≥－12.由p或q是真命题，p且q是假命题知，命题p和q一真一假．若p真q假，则a＜－12；若p假q真，则－4＜a＜4.故a的取值范围是(－∞，－12)∪(－4,4)．]