2021版新高考数学（理科）一轮复习教师用书：第2章第7节　对数与对数函数

第七节　对数与对数函数

[最新考纲]　1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，10，的对数函数的图象.3.体会对数函数是一类重要的函数模型.4.了解指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数．



1．对数的概念
如果ax＝N(a＞0且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
2．对数的性质、换底公式与运算性质
(1)对数的性质：
①alogaN＝N；②logaab＝b(a＞0，且a≠1)．
(2)换底公式：
logab＝(a，c均大于0且不等于1，b＞0)．
(3)对数的运算性质：
如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么：
①loga(M·N)＝logaM＋logaN；
②loga＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM(n∈R)．
3．对数函数的定义、图象与性质
定义
函数y＝logax(a＞0且a≠1)叫做对数函数
图象
a＞1
0＜a＜1


性质
定义域：(0，＋∞)
值域：R
当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0)
当0＜x＜1时，y＜0；
当x＞1时，y＞0
当0＜x＜1时，y＞0；
当x＞1时，y＜0
在(0，＋∞)上为增函数
在(0，＋∞)上为减函数
4.反函数
指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．

1．换底公式的两个重要结论
(1)loga b＝；(2)logambn＝loga b．
其中a＞0且a≠1，b＞0且b≠1，m，n∈R，m≠0.
2．对数函数的图象与底数大小的比较
如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．

一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝log2(x＋1)是对数函数．(　　)
(2)log2x2＝2log2x.(　　)
(3)函数y＝ln与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同．(　　)
(4)对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，，函数图象不在第二、三象限．(　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
二、教材改编
1．(log29)·(log34)＝(　　)
A．　　　　　 B．
C．2 D．4
D　[(log29)·(log34)＝×＝×＝4.故选D.]
2．已知a＝2，b＝log2，c＝log，则(　　)
A．a＞b＞c B．a＞c＞b
C．c＞b＞a D．c＞a＞b
D　[因为0＜a＜1，b＜0，c＝log＝log2 3＞1.所以c＞a＞b.故选D.]
3．函数y＝的定义域是________．
(，1]　[由log(2x－1)≥0，得0＜2x－1≤1.
∴＜x≤1.
∴函数y＝的定义域是(，1]．]
4．函数y＝loga(4－x)＋1(a＞0，且a≠1)的图象恒过点________．
(3，1)　[当4－x＝1即x＝3时，y＝loga1＋1＝1.
所以函数的图象恒过点(3，1)．]


考点1　对数式的化简与求值
　对数运算的一般思路
(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并．
(2)合：将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．
　1.设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m等于(　　)
A.　　　　　　　 B．10
C．20 D．100
A　[由已知，得a＝log2m，b＝log5m，
则＋＝＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2.
解得m＝.]
2．计算：(lg －lg 25)÷100＝________．
－20　[原式＝(lg 2－2－lg 52)×100＝lg()×10＝lg 10－2×10＝－2×10＝－20.]
3．计算：＝________．
1　[原式＝
＝
＝＝＝＝1.]
4．已知log23＝a，3b＝7，则log32的值为________．
　[由题意3b＝7，所以log3 7＝b.
所以log3 2＝log ＝＝＝＝.]
　对数运算法则是在化为同底的情况下进行的，因此经常会用到换底公式及其推论．在对含有字母的对数式进行化简时，必须保证恒等变形．
考点2　对数函数的图象及应用
　对数函数图象的识别及应用方法
(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
　(1)(2019·浙江高考)在同一直角坐标系中，函数y＝，y＝loga(x＋)(a＞0，且a≠1)的图象可能是(　　)

A　　　　　　B

C　　　　　　D
(2)当0＜x≤时，4x＜logax，则a的取值范围是(　　)
A．(0，) B．(，1)
C．(1，) D．(，2)
(1)D　(2)B　[(1)对于函数y＝loga(x＋)，当y＝0时，有x＋＝1，得x＝，即y＝loga(x＋)的图象恒过定点(，0)，排除选项A、C；函数y＝与y＝loga(x＋)在各自定义域上单调性相反，排除选项B，故选D.
(2)构造函数f(x)＝4x和g(x)＝logax，当a＞1时不满足条件，当0＜a＜1时，画出两个函数在(0，]上的图象，可知f()＜g()，即2＜loga，则a＞，所以a的取值范围为(，1)．]
[母题探究]
1．(变条件)若本例(2)变为：若不等式x2－logax＜0对x∈(0，)恒成立，求实数a的取值范围．
[解]　由x2－logax＜0得x2＜logax，设f1(x)＝x2，f2(x)＝logax，要使x∈(0，)时，不等式x2＜logax恒成立，只需f1(x)＝x2在(0，)上的图象在f2(x)＝logax图象的下方即可．当a＞1时，显然不成立；

当0＜a＜1时，如图所示．
要使x2＜logax在x∈(0，)上恒成立，需f1()≤f2()，所以有()2≤loga，解得a≥，所以≤a＜1.
即实数a的取值范围是[，1)．
2．(变条件)若本例(2)变为：当0＜x≤时，＜logax，求实数a的取值范围．
[解]　若＜logax在x∈(0，]成立，则0＜a＜1，且y＝的图象在y＝logax图象的下方，如图所示，
由图象知＜loga，
所以
解得＜a＜1.
即实数a的取值范围是(，1)．
　1.(2019·合肥模拟)函数y＝ln(2－|x|)的大致图象为(　　)


A　　　　 　　　　B

C　　　　　　　　　D
A　[令f(x)＝ln(2－|x|)，易知函数f(x)的定义域为{x|－2＜x＜2}，且f(－x)＝ln(2－|－x|)＝ln(2－|x|)＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，排除选项C，D.
当x＝时，f()＝ln ＜0，排除选项B，故选A.]
2．已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a＞0，a≠1)的图象如图，则下列结论成立的是(　　)

A．a＞1，c＞1 B．a＞1，0＜c＜1
C．0＜a＜1，c＞1 D．0＜a＜1，0＜c＜1
D　[由对数函数的图象和性质及函数图象的平移变换知0＜a＜1，0＜c＜1.]
3．设方程10x＝|lg(－x)|的两个根分别为x1，x2，则(　　)
A．x1x2＜0 B．x1x2＝0
C．x1x2＞1 D．0＜x1x2＜1
D　[作出y＝10x与y＝|lg(－x)|的大致图象，如图．
显然x1＜0，x2＜0.
不妨令x1＜x2，则x1＜－1＜x2＜0，
所以10x1＝lg(－x1)，10x2＝－lg(－x2)，
此时10x1＜10x2，即lg(－x1)＜－lg(－x2)，
由此得lg(x1x2)＜0，所以0＜x1x2＜1，故选D.]
考点3　对数函数的性质及应用
　解与对数函数有关的函数性质问题的3个关注点
(1)定义域，所有问题都必须在定义域内讨论．
(2)底数与1的大小关系．
(3)复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．
　比较大小
　(1)(2019·天津高考)已知a＝log52，b＝log0.50.2，c＝0.50.2，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．a＜c＜b B．a＜b＜c
C．b＜c＜a D．c＜a＜b
(2)已知a＝log2e，b＝ln 2，c＝log，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．a＞b＞c B．b＞a＞c
C．c＞b＞a D．c＞a＞b
(1)A　(2)D　[(1)因为a＝log52＜log5＝，b＝log0.50.2＞log0.50.5＝1，c＝0.50.2＝＞，0.50.2＜1，所以a＜c＜b，故选A.
(2)因为a＝log2e＞1，b＝ln 2∈(0，1)，c＝log＝log23＞log2e＞1，所以c＞a＞b，故选D.]
　对数值大小比较的主要方法
(1)化同底数后利用函数的单调性．
(2)化同真数后利用图象比较．
(3)借用中间量(0或1等)进行估值比较．
　解简单对数不等式
　(1)若loga＜1(a＞0且a≠1)，则实数a的取值范围是________．
(2)若loga(a2＋1)＜loga2a＜0，则a的取值范围是________．
(1)(0，)∪(1，＋∞)　(2)(，1)　[(1)当0＜a＜1时，loga＜logaa＝1，∴0＜a＜；
当a＞1时，loga＜logaa＝1，∴a＞1.
∴实数a的取值范围是(0，)∪(1，＋∞)．
(2)由题意得a＞0且a≠1，故必有a2＋1＞2a，
又loga(a2＋1)＜loga2a＜0，所以0＜a＜1，
同时2a＞1，所以a＞.综上，a∈(，1)．]
　对于形如logaf(x)＞b的不等式，一般转化为logaf(x)＞logaab，再根据底数的范围转化为f(x)＞ab或0＜f(x)＜ab.而对于形如logaf(x)＞logbg(x)的不等式，一般要转化为同底的不等式来解．
　和对数函数有关的复合函数
　解决与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤

　已知函数f(x)＝loga(3－ax)．
(1)当x∈[0，2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；
(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．
[解]　(1)因为a＞0且a≠1，设t(x)＝3－ax，
则t(x)＝3－ax为减函数，
x∈[0，2]时，t(x)的最小值为3－2a，
当x∈[0，2]时，f(x)恒有意义，即x∈[0，2]时，3－ax＞0恒成立．
所以3－2a＞0.所以a＜.
又a＞0且a≠1，所以a∈(0，1)∪(1，)．
(2)t(x)＝3－ax，因为a＞0，
所以函数t(x)为减函数．
因为f(x)在区间[1，2]上为减函数，
所以y＝logat为增函数，
所以a＞1，当x∈[1，2]时，t(x)最小值为3－2a，f(x)最大值为f(1)＝loga(3－a)，
所以即
故不存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1.
　利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域、最值和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的，另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的使用．
　1.已知函数f(x)＝log0.5(x2－ax＋3a)在[2，＋∞)单调递减，则a的取值范围为(　　)
A．(－∞，4] B．[4，＋∞)
C．[－4，4] D．(－4，4]
D　[令g(x)＝x2－ax＋3a，
因为f(x)＝log0.5(x2－ax＋3a)在[2，＋∞)单调递减，
所以函数g(x)在区间[2，＋∞)内单调递增，且恒大于0，所以a≤2且g(2)＞0，
所以a≤4且4＋a＞0，所以－4＜a≤4.故选D.]
2．函数y＝logax(a＞0且a≠1)在[2，4]上的最大值与最小值的差是1，则a＝________．
2或　[分两种情况讨论：①当a＞1时，有loga4－loga2＝1，解得a＝2；②当0＜a＜1时，有loga2－loga4＝1，解得a＝.所以a＝2或.]
3．设函数f(x)＝若f(a)＞f(－a)，则实数a的取值范围是________．
(－1，0)∪(1，＋∞)　[由题意得或解得a＞1或－1＜a＜0.]