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    2021版新高考数学(理科)一轮复习教师用书:第7章第3节 基本不等式

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    第三节 基本不等式
    [最新考纲] 1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.


    1.基本不等式:≤
    (1)基本不等式成立的条件:a≥0,b≥0.
    (2)等号成立的条件:当且仅当a=b时取等号.
    (3)其中称为正数a,b的算术平均数,称为正数a,b的几何平均数.
    2.两个重要的不等式
    (1)a2+b2≥2ab(a,b∈R),当且仅当a=b时取等号.
    (2)ab≤(a,b∈R),当且仅当a=b时取等号.
    3.利用基本不等式求最值
    已知x≥0,y≥0,则
    (1)如果积xy是定值p,那么当且仅当x=y时,x+y有最小值是2(简记:积定和最小).
    (2)如果和x+y是定值s,那么当且仅当x=y时,xy有最大值是(简记:和定积最大).

    1.+≥2(a,b同号),当且仅当a=b时取等号.
    2.ab≤≤.
    3.≤≤≤(a>0,b>0).

    一、思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)
    (1)两个不等式a2+b2≥2ab与≥成立的条件是相同的.(  )
    (2)若a>0,则a3+的最小值为2.(  )
    (3)函数f(x)=sin x+,x∈(0,π)的最小值为4.(  )
    (4)x>0且y>0是+≥2的充要条件.(  )
    [答案] (1)× (2)× (3)× (4)×
    二、教材改编
    1.设x>0,y>0,且x+y=18,则xy的最大值为(  )
    A.80     B.77
    C.81 D.82
    C [xy≤=81,当且仅当x=y=9时,等号成立.故选C.]
    2.若x<0,则x+(  )
    A.有最小值,且最小值为2
    B.有最大值,且最大值为2
    C.有最小值,且最小值为-2
    D.有最大值,且最大值为-2
    D [因为x<0,所以-x>0,-x+≥2=2,当且仅当x=-1时,等号成立,所以x+≤-2.]
    3.函数f(x)=x+(x>2)的最小值为________.
    4 [当x>2时,x-2>0,f(x)=(x-2)++2≥2+2=4,当且仅当x-2=(x>2),即x=3时取等号.]
    4.若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地,则矩形场地的最大面积是__________m2.
    25 [设矩形的一边为x m,矩形场地的面积为y,
    则另一边为×(20-2x)=(10-x)m,
    则y=x(10-x)≤=25,
    当且仅当x=10-x,
    即x=5时,ymax=25.]


    考点1 利用基本不等式求最值
     配凑法求最值
     配凑法的实质是代数式的灵活变形,即将相关代数式进行适当的变形,通过添项、拆项、凑系数等方法凑成“和为定值”或“积为定值”的形式(如:凑成x+(a>0),+的形式等),然后利用基本不等式求解最值的方法.
     (1)(2019·大连模拟)已知a,b是正数,且4a+3b=6,则a(a+3b)的最大值是(  )
    A.  B.
    C.3 D.9
    (2)函数y=(x>1)的最小值为________.
    (3)已知x>,则y=4x+的最小值为________,此时x=________.
    (1)C (2)2+2 (3)7  [(1)∵a>0,b>0,4a+3b=6,∴a(a+3b)=·3a(a+3b)≤=×=3,当且仅当3a=a+3b,即a=1,b=时,a(a+3b)的最大值是3.
    (2)∵x>1,∴x-1>0,
    ∴y==

    =(x-1)++2≥2+2.
    当且仅当x-1=,即x=+1时,等号成立.
    (3)∵x>,∴4x-5>0.
    y=4x+=4x-5++5≥2+5=7.
    当且仅当4x-5=,即x=时上式“=”成立.
    即x=时,ymin=7.]
    [母题探究] 把本例(3)中的条件“x>”,改为“x<”,则y=4x+的最大值为________,此时x=________.
    3 1 [因为x<,所以5-4x>0,则y=4x+=-+5≤-2+5=-2+5=3.
    当且仅当5-4x=,即x=1时,等号成立.
    故y=4x+的最大值为3.此时x=1.]
     (1)本例(1)解答易忽视两项和为定值的条件,常见的错误解法为:a(a+3b)≤,当且仅当a=a+3b,且4a+3b=6,即a=,b=0时,a(a+3b)的最大值为,从而错选B.
    (2)应用拆项、添项法求最值时,应注意检验基本不等式的前提条件:“一正、二定、三相等”,如T(1),T(2).
     常数代换法求最值
     常数代换法求最值的步骤
    (1)根据已知条件或其变形确定定值(常数).
    (2)把确定的定值(常数)变形为1.
    (3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除,进而构造和或积的形式.
    (4)利用基本不等式求解最值.
     已知a>0,b>0,a+b=1,则+的最小值为________.
    4 [因为a+b=1,所以+=(a+b)=2+≥2+2=2+2=4.当且仅当a=b时,等号成立.]
    [母题探究]
    1.若本例条件不变,求的最小值.
    [解] 

    =·
    =5+2≥5+4=9.
    当且仅当a=b=时,等号成立.
    2.若将本例条件改为a+2b=3,如何求解+的最小值.
    [解] 因为a+2b=3,所以a+b=1.
    所以+==+++≥1+2=1+.
    当且仅当a=b时,等号成立.
     常数代换法主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求+的最值”的问题,先将+转化为·,再用基本不等式求最值.
    [教师备选例题]
    设a+b=2,b>0,则+取最小值时,a的值为________.
    -2 [∵a+b=2,b>0,
    ∴+=+=+
    =++≥+2=+1,
    当且仅当=时等号成立.
    又a+b=2,b>0,
    ∴当b=-2a,a=-2时,+取得最小值.]
     (2019·深圳市福田区模拟)已知a>1,b>0,a+b=2,则+的最小值为(  )
    A.+ B.+
    C.3+2 D.+
    A [已知a>1,b>0,a+b=2,可得(a-1)+b=1,
    又a-1>0,则+=[(a-1)+b]
    =1+++≥+2=+.
    当且仅当=,a+b=2时取等号.
    则+的最小值为+.故选A.]
     消元法求最值
     对于含有多个变量的条件最值问题,若直接运用基本不等式无法求最值时,可尝试减少变量的个数,即根据题设条件建立两个变量之间的函数关系,然后代入代数式转化为只含有一个变量的函数的最值问题,即减元(三元化二元,二元化一元).
     (2019·嘉兴期末)已知a>0,b>0,且2a+b=ab-1,则a+2b的最小值为(  )
    A.5+2 B.8
    C.5 D.9
    A [∵a>0,b>0,且2a+b=ab-1,
    ∴a=>0,∴b>2,
    ∴a+2b=+2b=2(b-2)++5
    ≥5+2=5+2.
    当且仅当2(b-2)=,即b=2+时取等号.
    ∴a+2b的最小值为5+2.故选A.]
     求解本题的关键是将等式“2a+b=ab-1”变形为“a=”,然后借助配凑法求最值.
     (2019·新余模拟)已知正实数a,b,c满足a2-2ab+9b2-c=0,则当取得最大值时,+-的最大值为(  )
    A.3 B.
    C.1 D.0
    C [由正实数a,b,c满足a2-2ab+9b2=c,得===≤,当且仅当=,即a=3b时,取最大值.
    又因为a2-2ab+9b2-c=0,
    所以此时c=12b2,
    所以+-=≤=1,
    故最大值为1.]
     利用两次基本不等式求最值
     当运用一次基本不等式无法求得代数式的最值时,常采用第二次基本不等式;需注意连续多次使用基本不等式时,一定要注意每次是否能保证等号成立,并且注意取等号的条件的一致性.
     已知a>b>0,那么a2+的最小值为________.
    4 [由题意a>b>0,则a-b>0,
    所以b(a-b)≤=,
    所以a2+≥a2+≥2=4,
    当且仅当b=a-b且a2=,即a=,b=时取等号,所以a2+的最小值为4.]
     由于b+(a-b)为定值,故可求出b(a-b)的最大值,然后再由基本不等式求出题中所给代数式的最小值.
     若a,b∈R,ab>0,则的最小值为________.
    4 [因为ab>0,所以≥==4ab+≥2=4,当且仅当时取等号,故的最小值是4.]
    考点2 利用基本不等式解决实际问题
     利用基本不等式解决实际问题的3个注意点
    (1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数.
    (2)根据实际问题抽象出函数的解析式后,只需利用基本不等式求得函数的最值.
    (3)在求函数的最值时,一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.
     经测算,某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量y(L)与速度x(km/h)(50≤x≤120)的关系可近似表示为y=
    (1)该型号汽车的速度为多少时,可使得每小时耗油量最少?
    (2)已知A,B两地相距120 km,假定该型号汽车匀速从A地驶向B地,则汽车速度为多少时总耗油量最少?
    [解] (1)当x∈[50,80)时,y=(x2-130x+4 900)=[(x-65)2+675],
    所以当x=65时,y取得最小值,最小值为×675=9.
    当x∈[80,120]时,函数y=12-单调递减,
    故当x=120时,y取得最小值,最小值为12-=10.
    因为9<10,所以当x=65,即该型号汽车的速度为65 km/h时,可使得每小时耗油量最少.
    (2)设总耗油量为l L,由题意可知l=y·,
    ①当x∈[50,80)时,l=y·=≥=16,
    当且仅当x=,即x=70时,l取得最小值,最小值为16.
    ②当x∈[80,120]时,l=y·=-2为减函数,
    所以当x=120时,l取得最小值,最小值为10.
    因为10<16,所以当速度为120 km/h时,总耗油量最少.
     当运用基本不等式求最值时,若等号成立的自变量不在定义域内时,就不能使用基本不等式求解,此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解.
     (2019·上海模拟)经济订货批量模型,是目前大多数工厂、企业等最常采用的订货方式,即某种物资在单位时间的需求量为某常数,经过某段时间后,存储量消耗下降到零,此时开始订货并随即到货,然后开始下一个存储周期,该模型适用于整批间隔进货、不允许缺货的存储问题,具体如下:年存储成本费T(元)关于每次订货x(单位)的函数关系T(x)=+,其中A为年需求量,B为每单位物资的年存储费,C为每次订货费. 某化工厂需用甲醇作为原料,年需求量为6 000吨,每吨存储费为120元/年,每次订货费为2 500元.
    (1)若该化工厂每次订购300吨甲醇,求年存储成本费;
    (2)每次需订购多少吨甲醇,可使该化工厂年存储成本费最少?最少费用为多少?
    [解] (1)因为年存储成本费T(元)关于每次订货x(单位)的函数关系T(x)=+,其中A为年需求量,B为每单位物资的年存储费,C为每次订货费.
    由题意可得:A=6 000,B=120,C=2 500,
    所以年存储成本费T(x)=60x+,
    若该化工厂每次订购300吨甲醇,
    所以年存储成本费为
    T(300)=60×300+=68 000.
    (2)因为年存储成本费T(x)=60x+,x>0,
    所以T(x)=60x+≥2=60 000,
    当且仅当60x=,即x=500时,取等号.
    所以每次需订购500吨甲醇,可使该化工厂年存储成本费最少,最少费用为60 000元.
    考点3 基本不等式的综合应用
     基本不等式的综合应用的2类问题
    (1)与函数、数列等知识交汇的最值问题:此类问题常以函数、数列等知识为载体,以基本不等式为解题工具,求解最值或取值范围.
    (2)求参数值或取值范围:对于此类题目,要观察题目特点,利用基本不等式确定相关关系式成立的条件,从而得参数的值或取值范围.
     (1)(2019·台州模拟)若两个正实数x,y满足+=1,且存在这样的x,y使不等式x+<m2+3m有解,则实数m的取值范围是(  )
    A.(-1,4)
    B.(-4,1)
    C.(-∞,-4)∪(1,+∞)
    D.(-∞,-3)∪(0,+∞)
    (2)(2019·衡阳一模)高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号.函数y=[x](x∈R)称为高斯函数,其中[x]表示不超过x的最大整数,例如:[-2.1]=-3,[3.1]=3.已知函数f(x)=,则函数y=[f(x)]的值域是(  )
    A.{0,1} B.(0,1]
    C.(0,1) D.{-1,0,1}
    (3)(2019·定远模拟)已知在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcos C=ccos B,则++的最小值为(  )
    A. B.
    C. D.2
    (1)C (2)A (3)A [(1)∵正实数x,y满足+=1,
    ∴x+==2++≥2+2=4,
    当且仅当=且+=1,即x=2,y=8时取等号,∵存在x,y使不等式x+<m2+3m有解,
    ∴4<m2+3m,解得m>1或m<-4,故选C.
    (2)f(x)==,
    ∵2x+≥2,∴0<f(x)≤1,
    则函数y=[f(x)]的值域为{0,1},故选A.
    (3)∵2bcos C=ccos B,
    ∴2sin Bcos C=sin Ccos B,
    ∴tan C=2tan B.又A+B+C=π,
    ∴tan A=tan[π-(B+C)]=-tan(B+C)
    =-=-=,
    ∴++=++
    =tan B+.
    又∵在锐角△ABC中,tan B>0,
    ∴tan B+≥2=,
    当且仅当tan B=时取等号,
    ∴=,故选A.]
     条件不等式的最值问题,常通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解.在转化过程中相应知识起到穿针连线的作用.
     1.已知a>0,b>0,若不等式+≥恒成立,则m的最大值为(  )
    A.9 B.12
    C.18 D.24
    B [由+≥,
    得m≤(a+3b)
    =++6.
    又++6≥2+6=12(当且仅当=,即a=3b时等号成立),
    ∴m≤12,∴m的最大值为12.]
    2.两圆x2+y2-2my+m2-1=0和x2+y2-4nx+4n2-9=0恰有一条公切线,若m∈R,n∈R,且mn≠0,则+的最小值为(  )
    A.1 B.2
    C.3 D.4
    D [由题意可知两圆内切,x2+y2-2my+m2-1=0化为x2+(y-m)2=1,x2+y2-4nx+4n2-9=0化为(x-2n)2+y2=9,故=3-1=2,即4n2+m2=4,+=(4n2+m2)=2++≥2+2=4.]
    3.设等差数列{an}的公差是d,其前n项和是Sn(n∈N*),若a1=d=1,则的最小值是________.
     [an=a1+(n-1)d=n,Sn=,
    ∴=


    =,
    当且仅当n=4时取等号.
    ∴的最小值是.]


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