2021版江苏高考数学一轮复习讲义：第10章第2节　二项式定理

第二节　二项式定理
[最新考纲]　会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．


1．二项式定理
(1)二项式定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N*)；
(2)通项公式：Tr＋1＝Can－rbr，它表示第r＋1项；
(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数C，C，…，C.
2．二项式系数的性质
(1)0≤r≤n时，C与C的关系是C＝C.
(2)二项式系数先增后减中间项最大
当n为偶数时，第＋1项的二项式系数最大，最大值为；当n为奇数时，第项和项的二项式系数最大，最大值为.
3．各二项式系数和
(1)(a＋b)n展开式的各二项式系数和：C＋C＋C＋…＋C＝2n.
(2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.

一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)Can－rbr是(a＋b)n的展开式中的第r项． (　　)
(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．
(　　)
(3)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关． (　　)
(4)通项Tr＋1＝Can－rbr中的a和b不能互换． (　　)
[答案](1)×　(2)×　(3)√　(4)√
二、教材改编
1．(1－2x)4展开式中第3项的二项式系数为(　　)
A．6　　　B．－6　　　C．24　　　D．－24
A　[(1－2x)4展开式中第3项的二项式系数为C＝6.故选A.]
2．二项式的展开式中x3y2的系数是(　　)
A．5 B．－20
C．20 D．－5
A　[二项式的通项为Tr＋1＝C (－2y)r.根据题意，得解得r＝2.所以x3y2的系数是C×(－2)2＝5.故选A.]
3.的值为(　　)
A．1 B．2
C．2 019 D．2 019×2 020
A　[原式＝＝＝1.故选A.]
4．若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a2＋a4的值为 ．
8　[令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝0，令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4＝16，两式相加得a0＋a2＋a4＝8.]

考点1　二项式展开式的通项公式的应用
　形如(a＋b)n的展开式问题
　求二项展开式中的项的3种方法
求二项展开式的特定项问题，实质是考查通项一般需要建立方程求r，再将r的值代回通项求解，注意r的取值范围(r＝0,1,2，…，n)．
(1)第m项：此时r＋1＝m，直接代入通项；
(2)常数项：即这项中不含“变元”，令通项中“变元”的幂指数为0建立方程；
(3)有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程．
(1)(2018·全国卷Ⅲ)的展开式中x4的系数为(　　)
A．10　　　B．20　　　C．40　　　D．80
(2)若的展开式中x5的系数是－80，则实数a＝ .
(3)(2019·浙江高考)在二项式(＋x)9的展开式中，常数项是 ；系数为有理数的项的个数是 ．
(1)C　(2)－2　(3)16　5　[(1)Tr＋1＝C(x2)5－r ＝C2rx10－3r，由10－3r＝4，得r＝2，所以x4的系数为C×22＝40.
(2)的展开式的通项Tr＋1＝C(ax2)5－r·x－＝Ca5－r ·x10－r，令10－r＝5，得r＝2，所以Ca3＝－80，解得a＝－2.
(3)由题意，(＋x)9的通项为Tr＋1＝C()9－rxr(r＝0,1,2…9)，当r＝0时，可得常数项为T1＝C()9＝16；若展开式的系数为有理数，则r＝1,3,5,7,9，有T2, T4, T6, T8, T10共5个项．]
　已知展开式的某项或其系数求参数，可由某项得出参数项，再由通项公式写出第k＋1项，由特定项得出k值，最后求出其参数．
[教师备选例题]
　1－90C＋902C－903C＋…＋(－1)k90kC＋…＋9010C除以88的余数是(　　)
A．－1　　　　B．1　　　　C．－87　　　　D．87
B　[1－90C＋902C－903C＋…＋(－1)k90kC＋…＋9010C＝(1－90)10＝8910＝(88＋1)10＝8810＋C889＋…＋C88＋1，∵前10项均能被88整除，∴余数是1.]
　1.在(x2－4)5的展开式中，含x6的项为 ．
160x6　[因为(x2－4)5的展开式的第k＋1项为Tk＋1＝C(x2)5－k(－4)k＝(－4)kCx10－2k，
令10－2k＝6，得k＝2，所以含x6的项为T3＝(－4)2·Cx6＝160x6.]
2．若的展开式中常数项为，则实数a的值为(　　)
A．±2 B.
C．－2 D．±

　形如(a＋b)n(c＋d)m的展开式问题
　求解形如(a＋b)n(c＋d)m的展开式问题的思路
(1)若n，m中一个比较小，可考虑把它展开得到多个，如(a＋b)2(c＋d)m＝(a2＋2ab＋b2)(c＋d)m，然后展开分别求解．
(2)观察(a＋b)(c＋d)是否可以合并，如(1＋x)5(1－x)7＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－x2)5(1－x)2.
(3)分别得到(a＋b)n，(c＋d)m的通项公式，综合考虑．
(1)(2017·全国卷Ⅰ)(1＋x)6展开式中x2的系数为(　　)
A．15 B．20
C．30 D．35
(2)(1－)6(1＋)4的展开式中x的系数是(　　)
A．－4 B．－3
C．3 D．4
(1)C　(2)B　[(1)因为(1＋x)6的通项为Cxr，所以(1＋x)6展开式中含x2的项为1·Cx2和·Cx4.
因为C＋C＝2C＝2×＝30，
所以(1＋x)6展开式中x2的系数为30.
故选C.
(2)(1－)6(1＋)4＝[(1－)(1＋)]4(1－)2＝(1－x)4(1－2＋x)．于是(1－)6(1＋)4的展开式中x的系数为C·1＋C·(－1)1·1＝－3.]
　求几个多项式积的展开式中的特定项(系数)问题，可先分别化简或展开为多项式和的形式，再分类考虑特定项产生的每一种情形，求出相应的特定项，最后进行合并即可．
　1.(x2＋2)的展开式的常数项是(　　)
A．－3 B．－2
C．2 D．3
D　[能够使其展开式中出现常数项，由多项式乘法的定义可知需满足：第一个因式取x2项，第二个因式取项得x2××C(－1)4＝5；第一个因式取2，第二个因式取(－1)5得2×(－1)5×C＝－2，故展开式的常数项是5＋(－2)＝3，故选D.]
2．若(x2－a)的展开式中x6的系数为30，则a等于(　　)
A. B.
C．1 D．2
D　[由题意得的展开式的通项公式是Tk＋1＝C·x10－k·＝Cx10－2k，的展开式中含x4(当k＝3时)，x6(当k＝2时)项的系数分别为C，C，因此由题意得C－aC＝120－45a＝30，由此解得a＝2，故选D.]
　形如(a＋b＋c)n的展开式问题
　求三项展开式中某些特定项的系数的方法
(1)通过变形先把三项式转化为二项式，再用二项式定理求解．
(2)两次利用二项式定理的通项公式求解．
(3)由二项式定理的推证方法知，可用排列、组合的基本原理去求，即把三项式看作几个因式之积，要得到特定项看有多少种方法从这几个因式中取因式中的量．
(1)将展开后，常数项是 ．
(2)的展开式中，x3y3的系数是 ．(用数字作答)
(3)设(x2－3x＋2)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则a1等于 ．
(1)－160　(2)－120　(3)－240　[(1)＝展开式的通项是C()6－k·＝(－2)k·Cx3－k.
令3－k＝0，得k＝3.
所以常数项是C(－2)3＝－160.
(2)表示6个因式x2－＋y的乘积，在这6个因式中，有3个因式选y，其余的3个因式中有2个选x2，剩下一个选－，即可得到x3y3的系数．即x3y3的系数是CC×(－2)＝20×3×(－2)＝－120.
(3)(x2－3x＋2)5＝(x－1)5(x－2)5，其展开式中x的系数a1＝C(－1)4×(－2)5＋(－1)5C(－2)4＝－240.]
　二项式定理研究两项和的展开式，对于三项式问题，一般是通过合并、拆分或进行因式分解，转化成二项式定理的形式去求解．
　1.(2015·全国卷Ⅰ)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2项的系数为(　　)
A．10 B．20　　　
C．30　　　 D．60
C　[法一：利用二项展开式的通项公式求解．
(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，
含y2的项为T3＝C(x2＋x)3·y2.
其中(x2＋x)3中含x5的项为Cx4·x＝Cx5.
所以x5y2项的系数为CC＝30.故选C.
法二：利用组合知识求解．
(x2＋x＋y)5为5个x2＋x＋y之积，其中有两个取y，两个取x2，一个取x即可，所以x5y2的系数为CCC＝30.故选C.]
2. 的展开式中含xy的项的系数为(　　)
A．30 B．60
C．90 D．120
B　[展开式中含xy的项来自C(－y)1，展开式通项为Tr＋1＝(－1)rCx5－r，令5－r＝1⇒r＝3，
展开式中x的系数为(－1)3C，
所以的展开式中含xy的项的系数为C(－1)C(－1)3＝60，故选B.]
考点2　二项式系数的和与各项的
系数和问题
　赋值法在求各项系数和中的应用
(1)对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法．
(2)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.
(1)在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为32∶1，则x2的系数为(　　)
A．50 B．70
C．90 D．120
(2)(2019·汕头质检)若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，则实数m的值为 ．
(1)C　(2)－3或1　[(1)令x＝1，则n＝4n，所以n的展开式中，各项系数和为4n，又二项式系数和为2n，所以＝2n＝32，解得n＝5.二项展开式的通项Tr＋1＝Cx5－rr＝C3rx5－r，令5－r＝2，得r＝2，
所以x2的系数为C32＝90，故选C.
(2)令x＝0，则(2＋m)9＝a0＋a1＋a2＋…＋a9，
令x＝－2，则m9＝a0－a1＋a2－a3＋…－a9，
又(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝(a0＋a1＋a2＋…＋a9)(a0－a1＋a2－a3＋…＋a8－a9)＝39，
∴(2＋m)9·m9＝39，
∴m(2＋m)＝3，
∴m＝－3或m＝1.]
　 (1)利用赋值法求解时，注意各项的系数是指某一项的字母前面的数值(包括符号)．
(2)在求各项的系数的绝对值的和时，首先要判断各项系数的符号，然后将绝对值去掉，再进行赋值．
　1.在二项式(1－2x)n的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，则展开式的中间项的系数为(　　)
A．－960 B．960
C．1120 D．1680
C　[因为偶数项的二项式系数之和为2n－1＝128，所以n－1＝7，n＝8，则展开式共有9项，中间项为第5项，因为(1－2x)8的展开式的通项Tr＋1＝C(－2x)r＝C(－2)rxr，所以T5＝C(－2)4x4，其系数为C(－2)4＝1120.]
2．在(1－x)(1＋x)4的展开式中，含x2项的系数是b.若(2－bx)7＝a0＋a1x＋…＋a7x7，则a1＋a2＋…＋a7＝ .
－128　[在(1－x)(1＋x)4的展开式中，含x2项的系数是b，则b＝C－C＝2.
在(2－2x)7＝a0＋a1x＋…＋a7x7中，
令x＝0得a0＝27，令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a7＝0.
∴a1＋a2＋…＋a7＝0－27＝－128.]
3．(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a＝ .
3　[设(a＋x)(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，
令x＝1，得16(a＋1)＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，①
令x＝－1，得0＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5.②
①－②，得16(a＋1)＝2(a1＋a3＋a5)，
即展开式中x的奇数次幂项的系数之和为a1＋a3＋a5＝8(a＋1)，所以8(a＋1)＝32，解得a＝3.]
考点3　二项式系数的性质
　二项式系数的最值问题
　求二项式系数的最大值，则依据(a＋b)n中n的奇偶及二次项系数的性质求解．
　1.二项式的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中x的指数为整数的项的个数为(　　)
A．3 B．5
C．6 D．7
D　[根据的展开式中只有第11项的二项式系数最大，得n＝20，∴的展开式的通项为Tr＋1＝C·(x)20－r·＝()20－r·C·x20－，要使x的指数是整数，需r是3的倍数，∴r＝0,3,6,9,12,15,18，∴x的指数是整数的项共有7项．]
2．(2019·南昌模拟)设m为正整数，2m展开式的二项式系数的最大值为a，2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b，若15a＝8b，则m＝ .
7　[2m展开式中二项式系数的最大值为a＝C，2m＋1展开式中二项式系数的最大值为b＝C，因为15a＝8b，所以15C＝8C，即15＝8，解得m＝7.]
3．已知(1＋3x)n的展开式中，后三项的二项式系数的和等于121，则展开式中二项式系数最大的项为 ．
C(3x)7和C(3x)8　[由已知得C＋C＋C＝121，则n·(n－1)＋n＋1＝121，即n2＋n－240＝0，解得n＝15(舍去负值)，所以展开式中二项式系数最大的项为T8＝C(3x)7和T9＝C(3x)8.]
　二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念．二项式系数是指C，C，…，C，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关．
　项的系数的最值问题
　二项展开式系数最大项的求法
如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第k项系数最大，应用 从而解出k来，即得．
　已知(＋x2)2n的展开式的二项式系数和比(3x－1)n的展开式的二项式系数和大992，则在的展开式中，二项式系数最大的项为 ，系数的绝对值最大的项为 ．
－8 064　－15 360x4　[由题意知，22n－2n＝992，即(2n－32)(2n＋31)＝0，故2n＝32，解得n＝5.由二项式系数的性质知，的展开式中第6项的二项式系数最大，故二项式系数最大的项为T6＝C(2x)5＝－8 064.
设第k＋1项的系数的绝对值最大，
则Tk＋1＝C·(2x)10－k·＝(－1)kC·210－k·x10－2k，
令 得
即 解得≤k≤.
∵k∈Z，∴k＝3.
故系数的绝对值最大的项是第4项，
T4＝－C·27·x4＝－15 360x4.]
　展开式中项的系数一般不同于二项式系数，求解时务必分清．
[教师备选例题]
已知(x＋3x2)n的展开式中第3项与第4项的二项式系数相等．
(1)求展开式中二项式系数最大的项；
(2)求展开式中系数最大的项．
[解](1)易知n＝5，故展开式共有6项，其中二项式系数最大的项为第三、第四两项．
所以T3＝C(x)3·(3x2)2＝90x6，
T4＝C(x)2·(3x2)3＝270x.
(2)设展开式中第r＋1项的系数最大．
Tr＋1＝C(x)5－r·(3x2)r＝C·3r·x，
故有
即
解得≤r≤.
因为r∈N，
所以r＝4，即展开式中第5项的系数最大．
T5＝C·x·(3x2)4＝405x.
　若的展开式中第6项系数最大，则不含x的项为(　　)
A．210 B．10
C．462 D．252
A　[∵第6项系数最大，且项的系数为二项式系数，∴n的值可能是9,10,11.
设常数项为Tr＋1＝Cx3(n－r)x－2r＝Cx3n－5r，
则3n－5r＝0，其中n＝9,10,11，r∈N，
∴n＝10，r＝6，
故不含x的项为T7＝C＝210.]