2021版高考文科数学人教A版一轮复习核心考点·精准研析2.4指数与指数函数 学案

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核心考点·精准研析

考点一　指数幂的化简与求值 

1.下列等式成立的是 (　　)

A.(-2)-2=4   B.2a-3=(a>0)

C.(-2)0=-1   D.()4=(a>0)

2.(2019·全国卷Ⅱ)2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆,我国航天事业取得又一重大成就,实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系.为解决这个问题,发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”,鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L2点的轨道运行.L2点是平衡点,位于地月连线的延长线上.设地球质量为M1,月球质量为M2,地月距离为R,L2点到月球的距离为r,根据牛顿运动定律和万有引力定律,r满足方程:

+=(R+r).设α=,由于α的值很小,因此在近似计算中≈3α3,则r的近似值为              (　　)

A.R    B.R   C.R    D.R

3.设2x=8y+1,9y=3x-9,则x+y的值为________. 

4.已知f(x)=2x+2-x,若f(a)=3,则f(2a)等于__________. 世纪金榜导学号 

【解析】1.选D.对于A,(-2)-2=,故A错误;对于B,2a-3=,故B错误;对于C,(-2)0=1,故C错误;对于D,()4=.

2.选D.由题可知M1+M2=M1,把α=代入得:M1+M2=M1,

=[-]M1=M1

=M1,由题中给出的≈3α3,

所以≈3,r3≈R3,r≈R.

3.因为2x=8y+1=23(y+1),所以x=3y+3,

因为9y=3x-9=32y,所以x-9=2y,

解得x=21,y=6,所以x+y=27.

答案:27

4.由f(a)=3得2a+2-a=3,

所以(2a+2-a)2=9,即22a+2-2a+2=9.

所以22a+2-2a=7,故f(2a)=22a+2-2a=7.

答案:7

　指数幂运算的一般原则

(1)有括号的先算括号里的,无括号的先做指数运算.

(2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数.

(3)底数是负数,先确定符号;底数是小数,先化成分数;底数是带分数的,先化成假分数.

(4)若是根式,应化为分数指数幂,尽可能用幂的形式表示,运用指数幂的运算性质来解答.

(5)运算结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数,形式力求统一.

考点二　指数函数的图象及应用 

【典例】1.已知0<a<1,b<-1,则函数y=ax+b的图象必定不经过 (　　)

A.第一象限   B.第二象限

C.第三象限    D.第四象限

2.函数f(x)=1-e|x|的图象大致是 (　　)

3.若曲线|y|=2x+1与直线y=b没有公共点,则b的取值范围为________. 

【解题导思】

【解析】1.选A.y=ax+b(0<a<1,b<-1)的图象如图.由图象可知,y=ax+b的图象必定不经过第一象限.

2.选A.因为函数f(x)=1-e|x|是偶函数,且值域是(-∞,0],只有A满足上述两个性质.

3.分别作出两者的图象,通过图象的交点个数来判断参数的取值范围. 曲线|y|=2x+1与直线y=b的图象如图所示,由图象可得若|y|=2x+1与直线y=b没有公共点,则b应满足的条件是b∈[-1,1].

答案:[-1,1]

1.指数函数图象的画法(判断)及应用方法

(1)画(判断)指数函数y=ax(a>0,a≠1)的图象,应抓住三个关键点:

(1,a),(0,1),.

(2)与指数函数有关的函数的图象的研究,往往利用相应指数函数的图象,通过平移、对称变换得到其图象.

(3)一些指数方程、不等式问题的求解,往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解.

2.指数函数的图象与底数大小的比较

在第一象限内,指数函数y=ax(a>0,a≠1)的图象越高,底数越大.

【秒杀绝招】　T2可用排除法解决,T3可利用2x+1的取值范围直接求解.

1.不论a为何值,函数y=(a-1)2x-恒过定点,则这个定点的坐标是 (　　)

A.   B.

C.　  D.

【解析】选C.y=(a-1)2x-=a-2x,

令2x-=0,得x=-1,

故函数y=(a-1)2x-恒过定点.

2.函数y=ax-(a>0,且a≠1)的图象可能是 (　　)

【解析】选D.若a>1,则y=ax-在R上是增函数,

当x=0时,y=1-∈(0,1),A,B不满足.

若0<a<1,则y=ax-在R上是减函数,

当x=0时,y=1-<0,C错,D项满足.

3.已知实数a,b满足等式2 018a=2 019b,下列五个关系式:

①0<b<a;②a<b<0;③0<a<b;④b<a<0;⑤a=b=0.

其中不可能成立的关系式有 (　　)

A.1个　   B.2个    C.3个　　  D.4个

【解析】选B.在同一坐标系下画出y=2 018x与y=2 019x的图象,结合图象可知①②⑤正确,所以不可能成立的有2个.

考点三　指数函数的性质及应用 

比较指数式的大小

【典例】已知f(x)=2x-2-x,a=,b=,则f(a),f(b)的大小关系是________. 

【解析】易知f(x)=2x-2-x在R上为增函数,

又a==>=b.

所以f(a)>f(b).

答案:f(b)<f(a)

如何比较指数式的大小?

提示:首先将指数式化为同底,再考虑相应指数函数的单调性,最后得出结论.

解简单的指数方程或不等式

【典例】1.若f(x)=a-x与g(x)=ax-a(a>0且a≠1)的图象关于直线x=1对称,则a=________. 

2.设函数f(x)=若f(a)<1,则实数a的取值范围是________. 世纪金榜导学号 

【解析】1.函数f(x)=a-x上任意一点(x0,y0)关于直线x=1对称的点为(2-x0,y0),

即有g(2-x0)==f(x0)=,故a=2.

答案:2

2.当a<0时,不等式f(a)<1可化为-7<1,即<8,即<,因为0<<1,所以a>-3,所以-3<a<0;

当a≥0时,不等式f(a)<1可化为<1,所以0≤a<1.故a的取值范围是(-3,1).

答案:(-3,1)

如何解简单的指数方程或不等式?

提示:充分利用指数函数的性质,将指数方程或不等式转化为一次、二次方程或不等式,即可解决.

指数函数性质的综合应用

【典例】1.若对于任意x∈(-∞,-1],都有(3m-1)2x<1成立,则m的取值范围是(　　)

A.   B.

C.(-∞,1)　   D.(-∞,1]

2.已知函数f(x),若在其定义域内存在实数x满足f(-x)=-f(x),则称函数f(x)为“局部奇函数”,若函数f(x)=4x-m·2x-3是定义在R上的“局部奇函数”,则实数m的取值范围是              世纪金榜导学号(　　)

A.[-2,2)    B.[-2,+∞)

C.(-∞,2)    D.[-4,-2)

【解析】1.选C.因为2x>0,所以不等式(3m-1)2x<1对于任意x∈(-∞,-1]恒成立,等价于3m-1<=对于任意x∈(-∞,-1]恒成立.

因为x≤-1,所以≥=2.

所以3m-1<2,解得m<1,

所以m的取值范围是(-∞,1).

2.选B.根据“局部奇函数”的定义可知,方程f(-x)=-f(x)有解即可,即4-x-m·2-x-3=-(4x-m·2x-3),所以4-x+4x-m(2-x+2x)-6=0,

化为(2-x+2x)2-m(2-x+2x)-8=0有解,

令2-x+2x=t(t≥2),则有t2-mt-8=0在[2,+∞)上有解,设g(t)=t2-mt-8,则g(2)≤0,得m≥-2,综上可得实数m的取值范围为[-2,+∞).

任意x∈[-2,-1],都有3m-1<成立与存在x∈[-2,-1],使得3m-1<成立一样吗?

提示:不一样,前者3m-1比的最小值还要小,而后者只需小于它的最大值即可.

1.已知a=,b=,c=2,则 (　　)

A.b<a<c   B.a<b<c

C.b<c<a   D.c<a<b

【解析】选A.因为a==,c==,函数f(x)=在(0,+∞)上单调递增,所以<,又<,所以b<a<c.

2.若≤,则函数y=2x的值域是 (　　)

A.    B.

C.    D.[2,+∞)

【解析】选B.因为≤=24-2x,

则x2+1≤4-2x,即x2+2x-3≤0,

所以-3≤x≤1,所以≤y≤2.

3.若函数f(x)=a|x+1|(a>0,且a≠1)的值域为[1,+∞),则f(-4)与f(1)的关系是

 (　　)

A.f(-4)>f(1)   B.f(-4)=f(1)

C.f(-4)<f(1)   D.不能确定

【解析】选A.由题意知a>1,所以f(-4)=a3,f(1)=a2,由指数函数的单调性知a3>a2,所以f(-4)>f(1).

1.已知0<a<1,x>y>1,则下列各式中正确的是 (　　)

A.xa<ya　　   B.ax<ay

C.ax>ay　    D.ax>ya

【解析】选B.对于A,因为>1,所以=>=1,所以xa>ya,所以A错误;0<a<1,所以f(x)=ax为减函数,又x>y>1,所以ax<ay,B正确,C错误;对于D,因为ax<a0=1而ya>y0=1,所以ax<ya,所以D错误.

2.若函数f(x)=的值域是,则f(x)的单调递增区间是________. 

【解析】令g(x)=ax2+2x+3,由于f(x)的值域是,所以g(x)的值域是

[2,+∞).

因此有解得a=1,

这时g(x)=x2+2x+3,f(x)=.

由于g(x)的单调递减区间是(-∞,-1],

所以f(x)的单调递增区间是(-∞,-1].

答案:(-∞,-1]

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