2021版高考文科数学人教A版一轮复习核心考点·精准研析5.1　平面向量的概念及其线性运算 学案

温馨提示：

 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。

核心考点·精准研析

考点一　平面向量的基本概念 

1.下面说法正确的是 (　　)

A.平面内的单位向量是唯一的

B.所有单位向量的终点的集合为一个单位圆

C.所有的单位向量都是共线的

D.所有单位向量的模相等

【解析】选D.因为平面内的单位向量有无数个,所以选项A错误;当单位向量的起点不同时,其终点就不一定在同一个圆上,所以选项B错误;当两个单位向量的方向不相同也不相反时,这两个向量就不共线,所以选项C错误;因为单位向量的模都等于1,所以选项D正确.

2.给出下列命题:

①零向量是唯一没有方向的向量;

②零向量的长度等于0;

③若a,b都为非零向量,则使+=0成立的条件是a与b反向共线.

其中错误的命题的个数为 (　　)

A.0 B.1 C.2 D.3

【解析】选B.①错误,零向量是有方向的,其方向是任意的;②正确,由零向量的定义可知,零向量的长度为0;③正确,因为与都是单位向量,所以只有当与是相反向量,即a与b反向共线时才成立.

1.解答向量概念型题目的要点

(1)准确理解向量的有关知识,应重点把握两个要点:大小和方向.

(2)向量线性运算的结果仍是向量,准确运用定义和运算律仍需从大小和方向角度去理解.

2.(1)两个向量不能比较大小,只可以判断它们是否相等,但它们的模可以比较大小.

(2)大小与方向是向量的两个要素,分别是向量的代数特征与几何特征.

(3)向量可以自由平移,任意一组平行向量都可以移到同一直线上.

考点二　平面向量的线性运算 

【典例】1.(2018·全国卷I)在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则=              (　　)

A.-  B.-

C.+  D.+

2.设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD=AB,BE=BC.若=λ1+

λ2(λ1、λ2为实数),则λ1+λ2的值为________. 世纪金榜导学号 

【解题导思】

【解析】1.选A.如图所示

=-=-=-·(+)

=-.

　【一题多解】选A.在△ABC中,找到向量,,对于选项A,作出向量,,再作-,与向量比较,发现相等,所以选A.2.=+=+=

+(+)=-+,所以λ1=-,λ2=,即λ1+λ2=.

答案:

1.平面向量的线性运算技巧

(1)不含图形的情况:可直接运用相应运算法则求解.

(2)含图形的情况:将它们转化到三角形或平行四边形中,充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质,把未知向量用已知向量表示出来求解.

2.三种运算法则的关注点

(1)加法的三角形法则要求“首尾相接”,平行四边形法则要求“起点相同”.

(2)减法的三角形法则要求“起点相同”且差向量指向“被减向量”.

(3)数乘运算的结果仍是一个向量,运算过程可类比实数运算.

　1.在△ABC中,已知M是BC中点,设=a,=b,则= (　　)

A.a-b  B.a+b  C.a-b  D.a+b

【解析】选A.=-=-=a-b.

2.在△ABC中,点M,N满足=2,=.若=x+y,则x=________;

y=________. 

【解析】由已知,=+=+=+(-)=-=x+y,所以x=,y=-.

答案:　-

考点三　 共线向量定理及其应用 

向量共线问题

【典例】(2019·西安模拟)设a与b是两个不共线向量,且向量a+λb与-(b-2a)共线,则λ=________. 

【解析】因为a+λb与2a-b共线,

设a+λb=k(2a-b),则(1-2k)a+(k+λ)b=0,所以

解得k=,λ=-.

答案:-

三点共线问题

【典例】(2020·郑州模拟)设e1与e2是两个不共线向量,=3e1+2e2,=ke1+e2,

=3e1-2ke2,若A,B,D三点共线,则k的值为________. 世纪金榜导学号 

【解析】因为A,B,D三点共线,所以必存在一个实数λ,使得=λ.又=3e1+2e2,=ke1+e2,=3e1-2ke2,所以=-=3e1-2ke2-(ke1+e2)=(3

-k)e1-(2k+1)e2,所以3e1+2e2=λ(3-k)e1-λ(2k+1)e2,又e1与e2不共线,所以解得k=-.

答案:-

解决三点共线问题应注意什么问题?

提示:应注意向量共线与三点共线的区别与联系.当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线,即A,B,C三点共线⇔,共线.

含参数综合问题

【典例】(2020·唐山模拟)在直角梯形ABCD中,∠A=90°,∠B=30°,

AB=2,BC=2,点E在线段CD上,若=+μ,则μ的取值范围是________. 世纪金榜导学号 

【解析】由已知AD=1,CD=,所以=2.

因为点E在线段CD上,所以=λ(0≤λ≤1).

因为=+,

又=+μ=+2μ=+,

所以=1,即μ=.

因为0≤λ≤1,所以0≤μ≤.

答案:

1.已知O是正方形ABCD的中心.若=λ+μ,其中λ,μ∈R,则=(　　)

A.-2  B.-  C.-  D.

【解析】选A.=+=+=-+=-,所以λ=1,μ=-,因此=-2.

2.(2019·大同模拟)△ABC所在的平面内有一点P,满足++=,则△PBC与△ABC的面积之比是              (　　)

A.  B.  C.  D.

【解析】选C.因为++=,所以++=-,所以=-2=2,即P是AC边的一个三等分点,且PC=AC,由三角形的面积公式知,==.

3.设向量a,b不平行,向量λa+b与a+2b平行,则实数λ=________. 

【解析】因为a,b不平行,向量λa+b与a+2b平行,所以λa+b=k(a+2b),所以λ=.

答案:

1.已知O,A,B三点不共线,P为该平面内一点,且=+,则 (　　)

A.点P在线段AB上

B.点P在线段AB的延长线上

C.点P在线段AB的反向延长线上

D.点P在射线AB上

【解析】选D.由=+得-=,所以=·,所以点P在射线AB上.

2.庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征.正五角星是一个非常优美的几何图形,且与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的正五角星中,以P,Q,R,S,T为顶点的多边形为正五边形,且=.下列关系中正确的是              (　　)

A.-=   B.+=

C.-=   D.+=

【解析】选A.由已知,-=-===,所以A正确;+=+==,所以B错误;-=-==,所以C错误;+=+,==-,若+=,则=0,不合题意,所以D错误.

3.已知点M是△ABC所在平面内的一点,若点M满足|λ--|=0且S△ABC=

3S△ABM,则实数λ=________. 

【解析】如图,设D为BC的中点,则+=2,

因为|λ--|=0,

所以λ--=0,所以

λ=+=2,

于是A,M,D三点共线,且=,

又S△ABC=3S△ABM,所以=,

又因为S△ABD=S△ABC且==,

所以==×,解得λ=±3.

答案:±3

关闭Word文档返回原板块