2021版高考文科数学人教A版一轮复习核心考点·精准研析5.2平面向量的基本定理及向量坐标运算 学案

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核心考点·精准研析

考点一　平面向量的坐标运算 

1.(2019·宝鸡模拟)已知▱ABCD的顶点A(-1,-2),B(3,-1),C(5,6),则顶点D的坐标为________. 

【解析】设D(x,y),由=得(4,1)=(5-x,6-y),即解得

答案:(1,5)

2.已知O为坐标原点,向量=(2,3),=(4,-1),且=3,则||=________. 

【解析】设P(x,y),由已知A(2,3),B(4,-1),由=3得解得所以||=.

答案:

1.平面向量坐标运算的技巧

(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的.若已知有向线段两端点的坐标,则应先求向量的坐标.

(2)解题过程中,常利用“向量相等,则其坐标相同”这一原则,通过列方程(组)来进行求解.

2.向量坐标运算的注意事项

(1)向量坐标与点的坐标形式相似,实质不同.

(2)向量坐标形式的线性运算类似多项式的运算.

(3)向量平行与垂直的坐标表达形式易混淆,需清楚结论推导过程与结果,加以区分.

【秒杀绝招】　

　中点法解T1,设D(x,y),AC中点与BD中点相同,所以解得

平面向量基本定理解T2,将,作为基底,则=3,即+=3(+),即=(+3),所以||=|+3|=.

考点二　平面向量基本定理及其应用 

【典例】1.(2020·郑州模拟)如图,在直角梯形ABCD中,AB=2AD=2DC,E为BC边上一点,=3,F为AE的中点,则=              (　　)

A.-    B.-

C.-+　   D.-+

2.在△ABC中,点D在线段BC的延长线上,且=3,点O在线段CD上(与点C,D不重合),若=x+(1-x)(x∈R),则x的取值范围是              世纪金榜导学号(　　)

A.    B.

C.   D.

【解题导思】

【解析】1.选C.如图,取AB中点G,连接DG,CG,易知四边形DCBG为平行四边形,

所以==-=-,

所以=+=+=+=+,所以=-=-=-=-+.

2.选D.设=λ,其中1<λ<,则=+=+λ=+λ(-)=(1-λ) +λ.又=x+(1-x),,不共线,所以x=1-λ∈,即x的取值范围是.

　平面向量基本定理的实质及解题思路

(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.

(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底,并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式,再通过向量的运算来解决.

　1.在△ABC中,P,Q分别是AB,BC的三等分点,且AP=AB,BQ=BC,若=a,=b,则=              (　　)

A.a+b  B.-a+b

C.a-b  D.-a-b

【解析】选A.由已知=+=+=+(-)=+=a+b.

2.已知在△ABC中,点O满足++=0,点P是OC上异于端点的任意一点,且=m+n,则m+n的取值范围是________. 

【解析】设=λ (0<λ<1),由++=0,知=-(+),所以=-λ-λ,由平面向量基本定理知,m+n=-2λ,所以m+n∈(-2,0).

答案:(-2,0)

考点三　共线向量的坐标表示及其应用 

向量共线求参数

【典例】1.(2018·全国卷Ⅲ)已知向量a=,b=,c=.若c∥,则λ=________. 

【解析】因为2a+b=(4,2),c=(1,λ),且c∥(2a+b),

所以4×λ=2×1,解得λ=.

答案:

2.已知向量a=(1,1),点A(3,0),点B为直线y=2x上的一个动点,若∥a,则点B的坐标为________. 

【解析】设B(x,2x),则=(x-3,2x),因为∥a,所以x-3-2x=0,解得x=-3,所以B(-3,-6).

答案:(-3,-6)

两平面向量共线问题涉及哪些定理公式?

提示:(1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件是x1y2-x2y1=0;(2)若a∥b(b≠0),则a=λb.

含参数的综合问题

【典例】设向量=(1,-2),=(2m,-1),=(-2n,0),m,n∈R,O为坐标原点,若A,B,C三点共线,则m+n的最大值为              世纪金榜导学号(　　)

A.-3 B.-2 C.2 D.3

【解析】选A.易知,∥,其中=-=(2m-1,1),=-=(-2n-1,2),所以(2m-1)×2=1×(-2n-1),得2m+1+2n=1.又2m+1+2n≥2,所以2m+n+1≤2-2,即m+n≤-3.

两平面向量共线问题如何求解?

提示:(1)向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行,也可以由平行求参数.运用公式a=λb或x1y2-x2y1=0求解.

(2)当两向量的坐标均非零时,也可以利用坐标对应成比例来求解.

1.(2019·南昌模拟)已知向量a=(m,n),b=(1,-2),若|a|=2,a=λb(λ<0),则m-n=________. 

【解析】因为a=(m,n),b=(1,-2),所以由|a|=2,得m2+n2=20,①由a=λb(λ<0)得　②

由①②,解得m=-2,n=4,所以m-n=-6.

答案:-6

2.已知向量a=(3,-2),b=(x,y-1),且a∥b,若x,y均为正数,则+的最小值是(　　)

A.24   B.8   C.   D.

【解析】选B.因为a∥b,所以-2x-3(y-1)=0,化简得2x+3y=3,又因为x,y均为正数,

所以+=×(2x+3y)

=×≥×=8,当且仅当=时,等号成立.所以+的最小值是8.

1.(2020·唐山模拟)已知在平面直角坐标系xOy中,P1(3,1),P2(-1,3),P1,P2,P3三点共线且向量与向量a=(1,-1)共线,若=λ+(1-λ),则λ=

 (　　)

A.-3 B.3 C.1 D.-1

【解析】选D.设=(x,y),则由∥a知x+y=0,

所以=(x,-x).若=λ+(1-λ),

则(x,-x)=λ(3,1)+(1-λ)(-1,3)=(4λ-1,3-2λ),即所以4λ-1+3-2λ=0,解得λ=-1.

2.给定两个长度为1的平面向量和,它们的夹角为90°,如图所示,点C在以O为圆心的圆弧上运动,若=x+y,其中x,y∈R,则x+y的最大值是

 (　　)

A.1  B.  C.  D.2

【解析】选B.方法一:设∠AOC=α,则α∈.过点C作CD⊥OA于D,CE⊥OB于E,则四边形ODCE是平行四边形,所以=+,又=x+y.所以x=cos α,y=sin α,所以x+y=cos α+sin α=sin.又因为α∈,则≤α+≤π,所以1≤x+y≤,即x+y的最大值是.

方法二:因为点C在以O为圆心的圆弧上,所以||2=|x+y|2=x2+y2+2xy·=x2+y2,所以x2+y2=1,则2xy≤x2+y2=1.又(x+y)2=x2+y2+2xy≤2,所以x+y的最大值为.

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