2021版高考文科数学人教A版一轮复习核心考点·精准研析5.3平面向量的数量积 学案

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核心考点·精准研析

考点一　平面向量的数量积的基本概念及运算 

1.(2018·全国卷II)已知向量a,b满足|a|=1,a·b=-1,则a·(2a-b)= (　　)

A.4 B.3 C.2 D.0

【解析】选B.因为|a|=1,a·b=-1,所以a·(2a-b)=2a2-a·b=2×1-(-1)=3.

2.(2019·皖南八校联考)已知|a|=|b|=1,向量a与b的夹角为45°,则(a+2b)·a=________.              世纪金榜导学号 

【解析】因为|a|=|b|=1,向量a与b的夹角为45°,所以(a+2b)·a=a2+2a·b=|a|2+2|a|·|b|cos 45°=1+.

答案:1+

　【一题多解】

坐标法解T2,因为|a|=|b|=1,向量a与b的夹角为45°,可设a=,b=(1,0),

则a+2b=,(a+2b)·a=×+=1+.

答案:1+

3.(2019·宜昌模拟)已知点A(-1,1),B(1,2),C(-2,-1),D(3,4),则向量在方向上的投影为              (　　)

A.  B.

C.-  D.-

【解析】选A.=(2,1),=(5,5),

由定义知在方向上的投影为||cos θ===.

　平面向量数量积的三种运算方法

(1)当已知向量的模和夹角时,可利用定义法求解,即a·b=|a||b|cos <a,b>.

(2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2.

(3)对于数量积与线性运算的综合问题,可先运用数量积的运算律,几何意义等化简,再运算.

考点二　平面向量的数量积在几何中的应用 

【典例】1.在△ABC中,∠A=60°,AB=3,AC=2.若=2,=λ-(λ∈R),且·=-4,则λ的值为________. 

2.已知O,N,P在△ABC所在平面内,且||=||=||,++=0,且·=·=·,则点O,N,P依次是△ABC的              (　　)

世纪金榜导学号

A.重心　外心　垂心 B.重心　外心　内心

C.外心　重心　垂心 D.外心　重心　内心

(注:三角形的三条高线交于一点,此点为三角形的垂心)

【解题导思】

【解析】1.·=3×2×cos 60°=3,

=+,

则·=·(λ-)

=×3+×4-×9-×3

=-4⇔λ=.

答案:

2.选C.由||=||=||知,O为△ABC的外心;由++=0知,N为△ABC的重心;

因为·=·,所以(-)·=0,所以·=0,所以⊥,即CA⊥PB,

同理AP⊥BC,CP⊥AB,所以P为△ABC的垂心.

1.平面向量中数量积的三种求法

(1)利用定义求解.

(2)利用向量的坐标运算求解.

(3)利用向量数量积的几何意义求解.

2.向量的数量积在平面几何应用中的解题策略

(1)利用运算律结合图形先化简再运算.

(2)注意向量的夹角与已知平面几何中的角的关系(相等还是互补).

【拓展】三角形四心的向量表示

在三角形ABC中,点O为平面内一点,若满足:

(1)++=0,则点O为三角形的重心.

(2)||=||=||,则点O为三角形的外心.

(3)·=·=·,则点O为三角形的垂心.

(4)||·+||·+||·=0,则点O为三角形的内心.

1.(2020·济宁模拟)平面四边形ABCD中,+=0,(-)·=0,则四边形ABCD是              (　　)

A.矩形 B.正方形 C.菱形 D.梯形

【解析】选C.因为+=0,所以=-=,所以四边形ABCD是平行四边形.又(-)·=·=0,所以四边形对角线互相垂直,所以四边形ABCD是菱形.

2.已知A,B,C是平面上不共线的三点,O为坐标原点,动点P满足=[(1-λ)+(1-λ)+(1+2λ)·],λ∈R,则点P的轨迹一定经过              (　　)

A.△ABC的内心　 B.△ABC的垂心

C.△ABC的重心　 D.AB边的中点

【解析】选C.取AB的中点D,则2=+,

因为=[(1-λ)+(1-λ)+(1+2λ)],

所以=[2(1-λ)+(1+2λ)]

=+,

又+=1,

所以P,C,D三点共线,所以点P的轨迹一定经过△ABC的重心.

考点三　 平面向量数量积的综合应用 

平面向量的模

【典例】1.(2019·全国卷Ⅱ)已知向量a=(2,3),b=(3,2),则|a-b|= (　　)

A. B.2 C.5 D.50

【解析】选A.由向量a=(2,3),b=(3,2),可得a-b=(-1,1),所以|a-b|==.

2.已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则|+3|的最小值为________. 

【解析】建立平面直角坐标系如图所示,则

A(2,0),设P(0,y),C(0,b),则B(1,b).

所以+3=(2,-y)+3(1,b-y)=(5,3b-4y),

所以|+3|=(0≤y≤b),当y=b时,|+3|取得最小值5.

答案:5

1.求向量的模有哪些方法?

提示:(1)公式法,利用|a|=及(a±b)2=|a|2±2a·b+|b|2,把向量的模的运算转化为数量积运算.

(2)几何法,利用向量的几何意义.

2.求向量模的最值(范围)有哪些方法?

提示:(1)代数法,把所求的模表示成某个变量的函数,再用求最值的方法求解.

(2)几何法(数形结合法),弄清所求的模表示的几何意义,结合动点表示的图形求解.

平面向量的夹角

【典例】1.(2019·全国卷Ⅲ)已知向量a=(2,2),b=(-8,6),则cos?a,b?=________. 

【解析】cos?a,b?===-.

答案:-

2.(2019·衡水模拟)已知非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|=|a|,则向量a+b与a-b的夹角为____________.              世纪金榜导学号 

【解析】将|a+b|=|a-b|两边平方,得a2+b2+2a·b=a2+b2-2a·b,所以a·b=0.

将|a+b|=|a|两边平方,得a2+b2+2a·b=a2,所以b2=a2.

设a+b与a-b的夹角为θ,

所以cos θ=

===.

又因为θ∈[0,π],所以θ=.

答案:

1.向量夹角问题如何求解?

提示:若题目给出向量的坐标表示,可直接运用公式cos θ=求解.没有坐标时可用公式cos θ=.研究向量夹角应注意“共起点”,注意取值范围是[0,π].

2.对于两个不共线的向量,数量积的符号与夹角有何关系?

提示:当数量积大于0时,夹角为锐角;

当数量积等于0时,夹角为直角;

当数量积小于0时,夹角为钝角.

平行、垂直问题

【典例】1.(2020·天津模拟)已知向量a=(1,2),a-b=(4,5),c=(x,3),若(2a+b)∥c,则x=              (　　)

A.-1 　 B.-2 C.-3  D.-4

【解析】选C.因为a=(1,2),a-b=(4,5),

所以b=a-(a-b)=(1,2)-(4,5)=(-3,-3),

所以2a+b=2(1,2)+(-3,-3)=(-1,1).

又因为c=(x,3),(2a+b)∥c,

所以-1×3-x=0,所以x=-3.

2.(2019·全国卷Ⅰ)已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,且(a-b)⊥b,则a与b的夹角为              (　　)

世纪金榜导学号

A. B. C. D.

【解析】选B.设夹角为θ,因为(a-b)⊥b,

所以(a-b)·b=a·b-b2=0,

所以a·b=b2,

所以cos θ===,

又θ∈[0,π],

所以a与b的夹角为.

两个非零向量垂直的充要条件有哪些?

提示:a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2=0⇔|a-b|=|a+b|.

注意:数量积的运算a·b=0⇔a⊥b中,是对非零向量而言的,若a=0,虽然有a·b=0,但不能说a⊥b.

1.已知向量a,b的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则|a +2b|=______________ . 

【解析】=(a+2b)2

=+2···cos 60°+

=22+2×2×2×+22=4+4+4=12,

所以==2.

答案:2

2.若非零向量a,b满足|a|=3|b|=|a+2b|,则a与b的夹角余弦值为________. 

【解析】因为|a|=|a+2b|,

所以|a|2=|a|2+4a·b+4|b|2,

所以a·b=-|b|2,

令夹角为θ,

所以cos θ===-.

答案:-

3.(2019·北京高考)已知向量a=(-4,3),b=(6,m),且a⊥b,则m=________. 

【解析】因为a⊥b,所以a·b=-4×6+3m=0,

所以m=8.

答案:8

1.(2019·天津高考)在四边形ABCD中,AD∥BC,AB=2,AD=5,∠A=30°,点E在线段CB的延长线上,且AE=BE,则·=________. 

【解析】如图,过点B作AE的平行线交AD于F,

因为AD∥BC,所以四边形AEBF为平行四边形,

因为AE=BE,故四边形AEBF为菱形.

因为∠BAD=30°,AB=2,

所以AF=2,即=.

因为==-=-,

所以·=(-)·

=·--

=×2×5×-12-10=-1.

答案:-1

　　【一题多解】解答本题还可以用如下方法解决:

建立如图所示的平面直角坐标系,则B(2,0),D.

因为AD∥BC,∠BAD=30°,所以∠ABE=30°,因为AE=BE,所以∠BAE=30°,所以直线BE的斜率为,其方程为y=(x-2),

直线AE的斜率为-,其方程为y=-x.

由得x=,y=-1,

所以E(,-1).

所以·=·(,-1)=-1.

答案:-1

2.(2020·武汉模拟)已知a,b,e是平面向量,e是单位向量,若非零向量a与e的夹角为,向量b满足b2-4e·b+3=0,则|a-b|的最小值是              (　　)

A.-1 B.+1

C.2 D.2-

【解析】选A.设e=(1,0),b=(x,y),则b2-4e·b+3=0⇒x2+y2-4x+3=0⇒(x-2)2+y2=1.如图所示,a=,b=(其中A为射线OA上动点,B为圆C上动点,∠AOx=).

所以|a-b|min=|CD|-1=-1(其中CD⊥OA).

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