2021版高考文科数学人教A版一轮复习核心考点·精准研析7.4　直接证明与间接证明 学案

温馨提示：

 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。

核心考点·精准研析

考点一　反证法的应用 

1.用反证法证明命题:

“a,b,c,d∈R,a+b=1,c+d=1,且ac+bd>1,则a,b,c,d中至少有一个负数”时的假设为              (　　)

A.a,b,c,d至少有一个正数

B.a,b,c,d全为正数

C.a,b,c,d全都大于等于0

D.a,b,c,d中至多有一个负数

2.对于命题:“若ab=0(a,b∈R),则a=0或b=0”,若用反证法证明该命题,下列假设正确的是              (　　)

A.假设a,b都不为0

B.假设a,b至少有一个不为0

C.假设a,b都为0

D.假设a,b中至多有一个为0

3.若数列{an}是各项均为正数的等比数列,公比q≠1,

求证:1-an,1-an+1,1-an+2不可能成等比数列. 世纪金榜导学号

【解析】1.选C.用反证法证明命题:

“a,b,c,d∈R,a+b=1,c+d=1,且ac+bd>1,则a,b,c,d中至少有一个负数”时的假设为a,b,c,d全都大于等于0.

2.选A.用反证法证明命题

“若ab=0(a,b∈R),则a=0或b=0”时,

假设正确的是:假设a,b都不为0.

3.假设1-an,1-an+1,1-an+2成等比数列,

则(1-an+1)2=(1-an)(1-an+2),

即1-2an+1+=1+anan+2-(an+an+2),

因为数列{an}是等比数列,所以=anan+2,

所以2an+1=an+an+2,所以数列{an}是等差数列,

所以数列{an}是常数列,这与已知相矛盾,故假设不成立,所以1-an,1-an+1,1-an+2不可能成等比数列.

　用反证法证明数学命题需把握的三点

(1)必须先否定结论,即肯定结论的反面.

(2)必须从否定结论进行推理,即应把结论的反面作为条件,且必须依据这一条件进行推证.

(3)推导出的矛盾可能多种多样,有的与已知矛盾,有的与假设矛盾,有的与已知事实矛盾等,但是推导出的矛盾必须是明显的.

考点二　分析法的应用 

【典例】1.分析法又称执果索因法,若用分析法证明“设a>b>c,且a+b+c=0,求证:<a”索的因应是________. 

①a-b>0;②a-c>0;③(a-b)(a-c)>0;④(a-b)(a-c)<0.

2.已知数列{an}是各项都是互不相等的正数的等差数列,

求证:+<2.

【解题导思】

【解析】1.由a>b>c,且a+b+c=0可得 b=-a-c,要证“<a”,只要证b2<3a2+ac,

只要证3a2+ac-(-a-c)2>0,

即证2a2-c2-ac>0,(a-c)(a+a+c)>0,

即证(a-c)(a-b)>0,

故“<a”索的因应是(a-c)(a-b)>0.

答案:③

2.要证+<2,

只要证a1+a3+2<4a2,

因为数列{an}是等差数列,所以a1+a3=2a2,

只要证<a2,只要证<,

因为数列{an}各项均为互不相等的正数,所以<成立,所以+<2.

　关于分析法的应用

1.分析法证明问题的适用范围

当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接,或证明过程中所需用的知识不太明确、具体时,往往采用分析法,特别是含有根号、绝对值的等式或不等式,常考虑用分析法.

2.分析法的格式

通常采用“欲证—只需证—已知”的格式,在表达中要注意叙述形式的规范性.

已知△ABC的三个内角A,B,C成等差数列,A,B,C的对边分别为a,b,c.

求证:+=.

【证明】要证+=,

即证+=3,也就是+=1,

只需证c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c),

需证c2+a2=ac+b2,

又△ABC三内角A,B,C成等差数列,故B=60°,

由余弦定理,得b2=c2+a2-2accos 60°,

即b2=c2+a2-ac,故c2+a2=ac+b2成立.

于是原等式成立.

考点三　综合法的应用 

与数列有关的证明

【典例】已知正项数列{an}中,=an+2(n∈N*).

(1)是否存在t,使得{an}为常数列且an=t.

(2)求证:an≠2时,数列{|an-2|}为单调递减数列.

【解析】(1)存在.由t2-t-2=0,得t=2或t=-1(舍去),故当t=2时,an=2,{an}为常数列.

(2)由题意知an>0,且an≠2,故an+1=,

所以=

=

=,

显然an>0,+2>3,所以<<1,

数列{|an-2|}为单调递减数列.

本例中的分式是怎样进行变形的?

提示:利用分子有理化进行变形的.

与函数有关的证明

【典例】已知函数f(x)=+aln x-2,g(x)=+x2+x.

(1)讨论函数f(x)在定义域上的单调性.

(2)当a=3时,求证:f(x)≤g(x)恒成立.

【解析】(1)f'(x)=(x>0),

当a≤0时,f'(x)<0,在递减,

当a>0时,x∈时,f'(x)<0,

x∈时,f'(x)>0,

故f(x)在递减,在递增.

(2)当a=3时,f(x)=+3ln x-2,

令h(x)=g(x)-f(x)=x2+x-3ln x+2,

则h'(x)=(x>0),

令h'(x)>0,解得:x>1,

令h'(x)<0,解得:0<x<1,

故h(x)在递减,在递增,

故h(x)极小值=h(x)min=h=4≥0,显然成立,

故g(x)≥f(x)恒成立.

构造差函数用什么方法证明恒成立?

提示:构造差函数,通过求出差函数的最小值证明.

与立体几何有关的证明

【典例】如图,三棱柱ABC-A1B1C1,点A1在平面ABC内的射影D在AC上,E是B1C1的中点,∠BAC=∠CAA1=60°,且AB=AC=AA1.              世纪金榜导学号

(1)求证:DE∥平面AA1B1B.

(2)求证:B1C⊥A1B.

【证明】(1)因为点A1在平面ABC内的射影D在AC上

所以A1D⊥AC,又∠CAA1=60°,AC=AA1,

所以D是AC的中点,

取A1B1的中点F.

连接EF,AF.

因为E是B1C1的中点,

所以EF∥A1C1,EF=A1C1.

所以EF∥AD,EF=AD.

所以四边形ADEF是平行四边形,故AF∥DE.

因为AF⊂平面AA1B1B,DE⊄平面AA1B1B.

所以DE∥平面AA1B1B.

(2)连接BD,AB1,由(1)知D是AC的中点.

又AB=AC,∠BAC=60°,

所以BD⊥AC.所以AC⊥平面A1BD.所以AC⊥A1B.

又AA1B1B是平行四边形,AB=AA1,

所以AB1⊥A1B.所以A1B⊥平面AB1C.

所以B1C⊥A1B.

1.(2019·平谷模拟)如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为直角梯形,AB∥CD,AB=2CD,BC⊥CD,侧面CDD1C1⊥平面ABCD.

(1)求证:CD1∥平面ABB1A1.

(2)求证:BC⊥CD1.

【证明】(1)四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,CC1∥BB1,BB1⊂平面ABB1A1,CC1⊄平面ABB1A1,

所以CC1∥平面ABB1A1,

又底面ABCD为直角梯形,所以CD∥AB,AB⊂平面ABB1A1,CD⊄平面ABB1A1,所以

CD∥平面ABB1A1,

因为CD和CC1是平面CDD1C1的两条相交直线,

所以平面CDD1C1∥平面ABB1A1,

又CD1⊂平面CDD1C1,所以CD1∥平面ABB1A1.

(2)因为平面CDD1C1⊥平面ABCD,BC⊂平面ABCD,平面ABCD∩平面CDD1C1=CD,BC⊥CD,

所以BC⊥平面CDD1C1,

又CD1⊂平面CDD1C1,所以BC⊥CD1.

2.设数列{an}的前n项和为Sn,已知3an-2Sn=2.

(1)证明{an}是等比数列,并求出通项公式an.

(2)求证:-SnSn+2=4×3n.

【证明】(1)因为3an-2Sn=2,所以3an+1-2Sn+1=2,

所以3an+1-3an-2(Sn+1-Sn)=0.

因为Sn+1-Sn=an+1,所以=3,所以{an}是等比数列.当n=1时,3a1-2S1=2,又S1=a1,所以a1=2.所以{an}是以2为首项,以3为公比的等比数列,其通项公式为an=2×3n-1.

(2)由(1)可得Sn=3n-1,Sn+1=3n+1-1,Sn+2=3n+2-1,故-SnSn+2=(3n+1-1)2-(3n-1)(3n+2-1)=4×3n,即-SnSn+2=4×3n.

(2019·三明模拟)计算:-1≈0.414,-≈0.318;所以-1>-;

又计算:-2≈0.236,-≈0.213,-≈0.196,

所以-2>-,->-.

(1)分析以上结论,试写出一个一般性的命题.

(2)判断该命题的真假,并给出证明.

【解析】(1)一般性的命题:n是正整数,

则->-.

(2)命题是真命题.因为-=,

-=,

>,

所以->-.

关闭Word文档返回原板块