2021版高考文科数学人教A版一轮复习核心考点·精准研析8.5.1　等差与等比数列的综合 学案

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核心考点·精准研析

考点一　基本量的运算 

1.等差数列的首项为1,公差不为0.若a2,a3,a6成等比数列,则前6项的和为              (　　)

A.-24  B.-3 C.3 D.8

2.已知{an}是等差数列,公差d不为零,前n项和是Sn,若a3,a4,a8成等比数列,则              (　　)

A.a1d>0,dS4>0 B.a1d<0,dS4<0

C.a1d>0,dS4<0 D.a1d<0,dS4>0

3.(2019·江苏高考)已知数列{an}(n∈N*)是等差数列,Sn是其前n项和.若a2a5+a8

=0,S9=27,则S8的值是________. 

4.设公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn,若a2,a5,a11成等比数列,且a11=

2(Sm-Sn)(m>n>0,m,n∈N*),则m+n=________. 

【解析】1.选A.设等差数列的公差为d,由a2,a3,a6成等比数列可得=a2a6,即(1+2d)2=(1+d)(1+5d),整理可得d2+2d=0,又公差不为0,则d=-2,故{an}前6项的和为S6=6a1+d=6×1+×(-2)=-24.

2.选B.因为数列{an}是等差数列,a3,a4,a8成等比数列,

所以=,

解得a1=-d,

所以S4=2=2=-d,

所以a1d=-d2<0,dS4=-d2<0.

3.设等差数列的首项为a1,公差为d,

由a2a5+a8=0,S9=27,

得解得a1=-5,d=2,

所以S8==4(2a1+7d)=16.

答案:16

4.设公差为d,则=a2a11⇒(a1+4d)2=(a1+d)(a1+10d)(d≠0),整理得a1=2d,由a11=

2(Sm-Sn),可得

a1+10d=2,

化简得(m2-n2)+3(m-n)=12,

即(m-n)(m+n+3)=12,因为m>n>0,m,n∈N*,

所以m=5,n=4,所以m+n=9.

答案:9

已知等比数列{an}的各项都为正数,且a3,a5,a4成等差数列,则的值是 (　　)

A.　　　B.　　　C.　　　D.

【解析】选A.设等比数列{an}的公比为q,由a3,a5,a4成等差数列,可得a5=a3+a4,即a3q2=a3+a3q,故q2-q-1=0,解得q=或q=(舍去),==

====.

　等差数列、等比数列基本量的运算方法

(1)等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化为解关于基本量的方程(组)问题.

(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用,而a1和d是等差数列的两个基本量,用它们表示已知和未知是常用方法.

考点二　等差、等比数列的综合应用 

【典例】设数列{an}(n=1,2,3,…)的前n项和Sn满足Sn=2an-a1,且a1,a2+1,a3成等差数列.              世纪金榜导学号

(1)求数列{an}的通项公式.

(2)记数列的前n项和为Tn,求使得|Tn-1|<成立的n的最小值.

【解题导思】

【解析】(1)由已知Sn=2an-a1,有

an=Sn-Sn-1=2an-2an-1(n≥2),

即an=2an-1(n≥2).所以公比q=2.

从而a2=2a1,a3=2a2=4a1.

又因为a1,a2+1,a3成等差数列,

即a1+a3=2(a2+1).

所以a1+4a1=2(2a1+1),解得a1=2.所以,数列{an}是首项为2,公比为2的等比数列,故an=2n.

(2)由(1)得=,

所以Tn=++…+==1-.

由|Tn-1|<,得<,即2n>1 000.

因为29=512<1 000<1 024=210,所以n≥10.

于是,使|Tn-1|<成立的n的最小值为10.

　等差数列、等比数列综合问题的两大解题策略

(1)设置中间问题:求和需要先求出通项、求通项需要先求出首项和公差(公比)等,确定解题的顺序.

(2)注意解题细节:在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等,这些细节对解题的影响也是巨大的.

【误区警示】在不能使用同一公式进行计算的情况下要注意分类讨论,分类解决问题后还要注意结论的整合.

【变式备选】

　　 已知等差数列{an}的各项均为正数,a1=1,前n项和为Sn,数列{bn}为等比数列,b1=1,且b2S2=6,b2+S3=8.

(1)求数列{an}与{bn}的通项公式.

(2)求++…+.

【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d, d>0,{bn}的公比为q,则an=1+(n-1)d,

bn=qn-1.

依题意有解得或(舍去).

故an=n,bn=2n-1.

(2)由(1)知Sn=1+2+…+n=n(n+1),

所以==2,所以++…+=2

=2=.

已知公比不为1的等比数列{an}的首项a1=,前n项和为Sn,且a4+S4,a5+S5,a6+S6成等差数列.

(1)求等比数列{an}的通项公式.

(2)对n∈N*,在an与an+1之间插入3n个数,使这3n+2个数成等差数列,记插入的这3n个数的和为bn,求数列{bn}的前n项和Tn.

【解析】(1)设等比数列{an}的公比为q,a4+S4,a5+S5,a6+S6成等差数列,

所以a5+S5-a4-S4=a6+S6-a5-S5,

即2a6-3a5+a4=0,所以2q2-3q+1=0.

因为q≠1,所以q=,

所以等比数列{an}的通项公式为an=.

(2)由题意得bn=·3n=·,

Tn=·=.

考点三　求数列的通项公式 

由an与Sn的关系求通项an

【典例】(2018·全国卷Ⅰ改编)记Sn为数列{an}的前n项和.若Sn=2an+1,则an=________. 

【解析】因为Sn=2an+1,当n≥2时,Sn-1=2an-1+1,

所以an=Sn-Sn-1=2an-2an-1,即an=2an-1.

当n=1时,a1=S1=2a1+1,得a1=-1.

所以数列{an}是首项a1为-1,公比q为2的等比数列,所以an=-1×=-.

答案:-2n-1

Sn与an关系问题的求解思路如何?

提示:根据所求结果的不同要求,将问题向不同的两个方向转化.

①利用an=Sn-Sn-1(n≥2)转化为只含Sn,Sn-1的关系式

②利用Sn-Sn-1=an(n≥2)转化为只含an,an-1的关系式

由递推公式求数列通项

【典例】1.设数列{an}满足a1=3,an+1=an+,则通项公式an=________. 

【解析】原递推公式可化为an+1=an+-,

则a2=a1+-,a3=a2+-,a4=a3+-,…,an-1=an-2+-,an=an-1+-,以上(n-1)个式子的等号两端分别相加得,an=a1+1-,故an=4-.

答案:4-

2.在数列{an}中,a1=1,an=an-1(n≥2),则数列{an}的通项公式为________.              世纪金榜导学号 

【解析】因为an=an-1(n≥2),

所以an-1=an-2,an-2=an-3,…,a2=a1.

以上(n-1)个式子相乘得an=a1···…·==.

当n=1时,a1=1,上式也成立.所以an=(n∈N*).

答案:an=(n∈N*)

(1)形如an+1=an+f(n)的数列,选择何种方法求通项公式?

提示:累加法

(2)形如an+1=anf(n)的数列,选择何种方法求通项公式?

提示:累乘法

【误区警示】利用累乘法求通项公式时,易出现两个方面的问题:一是在连乘的式子中只写到,漏掉a1而导致错误;二是根据连乘求出an之后,不注意检验a1是否成立.

构造等差、等比数列求通项an

【典例】1.已知数列{an}满足a1=1,an+1=3an+2,则数列{an}的通项公式为____________. 

【解析】因为an+1=3an+2,所以an+1+1=3(an+1),

所以=3,

所以数列{an+1}为等比数列,公比q=3,又a1+1=2,

所以an+1=2·3n-1,所以an=2·3n-1-1(n∈N*).

答案:an=2·3n-1-1(n∈N*)

2.已知数列{an}满足:an+2=3an+1-2an,a1=2,a2=4,n∈N*.

求证:数列{an+1-an}为等比数列,并求数列{an}的通项公式.

【解析】因为==2,

所以数列{an+1-an}是公比为2,首项为2的等比数列,

所以an+1-an=2n,

累加可知:an-a1=2+22+…+2n-1=2n-2(n≥2),

an=2n(n≥2),当n=1时,a1=2满足上式,

所以an=2n(n∈N*).

(1)形如an+1=ban+d(其中b,d为常数,b≠0,1)的数列,其基本思路是什么?

提示:等号两边同时加上一个数使{an+λ}成等比数列.

(2)形如an+1=(p,q,r是常数)的数列,构造新数列时是怎样变形的?

提示:求倒数==+,再用构造法.

(3)形如an+2=pan+1+qan(p,q是常数,且p+q=1)的数列,如何求通项?

提示:等号两边同时加上an+1的倍数使{an+1+λan}成等比数列.

1.数列{an}的前n项和为Sn,若a1=1,an+1=3Sn(n≥1),则a6= (　　)

A.3×44 B.3×44+1

C.45  D.45+1

【解析】选A.a1=1,a2=3S1=3,a3=3S2=12=3×41,a4=3S3=48=3×42,a5=3S4=192=3×43,a6=3S5=768=3×44.

【一题多解】选A.当n≥1时,an+1=3Sn,则an+2=3Sn+1,

所以an+2-an+1=3Sn+1-3Sn=3an+1,即an+2=4an+1,

所以该数列从第2项开始是以4为公比的等比数列,又a2=3S1=3a1=3,所以

an=

所以当n=6时,a6=3×46-2=3×44.

2.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,Sn=2an+1,则Sn= (　　)

A.2n-1   B.

C.  D.

【解析】选B.由已知Sn=2an+1得Sn=2(Sn+1-Sn),即2Sn+1=3Sn,=,而S1=a1=1,所以Sn=.

3.设数列{an}满足a1=1,且an+1=an+n+1(n∈N*),则数列{an}的通项公式为________. 

【解析】由题意得a2=a1+2,a3=a2+3,…,an=an-1+n(n≥2),以上各式相加,得an=a1+2+3+…+n.又因为a1=1,所以an=1+2+3+…+n=(n≥2),因为当n=1时也满足上式,所以an=(n∈N*).

答案:an=

4.设数列{an}满足a1=1,an+1=2nan,则通项公式an=________. 

【解析】由an+1=2nan,得=2n-1(n≥2),

所以an=··…··a1

=2n-1·2n-2·…·2·1=21+2+3+…+(n-1)=.

又a1=1适合上式,故an=.

答案:

1.在数列{an}中,a1=3,且点Pn(an,an+1)(n∈N*)在直线4x-y+1=0上,求数列{an}的通项公式.

【解析】因为点Pn(an,an+1)(n∈N*)在直线4x-y+1=0上,

所以4an-an+1+1=0,即an+1=4an+1,

得an+1+=4,

所以是首项为a1+=,公比为4的等比数列,所以an+=·4n-1,故an=

·4n-1-.

　【变式备选】

　　　在数列{an}中,a1=1,数列{an+1-3an}是首项为9,公比为3的等比数列.

(1)求a2,a3.

(2)求数列的前n项和Sn.

【解析】(1)因为数列{an+1-3an}是首项为9,公比为3的等比数列,所以an+1-3an=9×3n-1=3n+1,

所以a2-3a1=9,a3-3a2=27,所以a2=12,a3=63.

(2)因为an+1-3an=3n+1,所以-=1,

所以数列是首项为,公差为1的等差数列,

所以数列的前n项和Sn=+=.

2.设数列{an}的前n项和为Sn,Sn=2an+λn-4(n∈N*,λ∈R),且数列{an-1}为等比数列.

求实数λ的值,并写出数列{an}的通项公式.

【解析】由Sn=2an+λn-4得Sn+1=2an+1+λ(n+1)-4,

两式相减得an+1=2an+1-2an+λ,

即an+1=2an-λ,

所以an+1-1=2an-λ-1=2.

因为数列{an-1}为等比数列,

所以=1,λ=1,

所以a1=3,a1-1=2,

所以an-1=2n,an=2n+1.

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