2021版高考文科数学人教A版一轮复习核心考点·精准研析选修4-42　参数方程 学案

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核心考点·精准研析

考点一　参数方程与普通方程的互化 

1.若曲线C的参数方程为(θ为参数),求曲线C的方程.

2.在平面直角坐标系中,若曲线C的参数方程为(t为参数),求曲线的普通方程.

3.将参数方程(t为参数)化为普通方程.

【解析】1.将曲线C的参数方程化为普通方程得x+2y-2=0(0≤x≤2,0≤y≤1).

2.依题意,消去参数可得x-2=y-1,

即x-y-1=0.

3.因为x=,

y==

=4-3×=4-3x.

又x=

=

=2-∈[0,2),

所以x∈[0,2),

所以所求的普通方程为3x+y-4=0(x∈[0,2)).

　将参数方程化为普通方程的方法

(1)将参数方程化为普通方程,需要根据参数方程的特征,选取适当的消参方法.常见的消参方法有:代入法、加减法、平方法等,对于含三角函数的参数方程,常利用同角三角函数关系式消参.

(2)将参数方程化为普通方程时,要注意原参数方程中自变量的取值范围,不要增解.

考点二　参数方程的应用 

【典例】(2018·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为 (θ为参数),直线l的参数方程为 (t为参数).              世纪金榜导学号

(1)求C和l的直角坐标方程.

(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2),求l的斜率.

【解题导思】

【解析】(1)曲线C的直角坐标方程为+=1.

当cos α≠0时,

l的直角坐标方程为y=tan α·x+2-tan α,

当cos α=0时,

l的直角坐标方程为x=1.

(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程,

整理得关于t的方程

(1+3cos2α)t2+4(2cos α+sin α)t-8=0.①

因为曲线C截直线l所得线段的中点恰为(1,2),

所以①有两个解,

设为t1,t2,则t1+t2=0.

又由①得t1+t2=-,

故2cos α+sin α=0,

于是直线l的斜率k=tan α=-2.

1.直线的参数方程有多种形式,只有标准形式中的参数才具有几何意义,即参数t的绝对值表示对应的点到定点的距离.

2.根据直线的参数方程的标准形式中t的几何意义,有如下常用结论:

(1)若直线与圆锥曲线相交,交点对应的参数分别为t1,t2,则弦长l=|t1-t2|.

(2)若定点M0(标准形式中的定点)是线段M1M2(点M1,M2对应的参数分别为t1,t2,下同)的中点,则t1+t2=0.

(3)设线段M1M2的中点为M,则点M对应的参数为tM=.

设直线l的参数方程为(t为参数,α为倾斜角),圆C的参数方程为(θ为参数).

(1)若直线l经过圆C的圆心,求直线l的斜率.

(2)若直线l与圆C交于两个不同的点,求直线l的斜率的取值范围.

【解析】(1)由已知得直线l经过的定点是P(3,4),而圆C的圆心是C(1,-1),

所以,当直线l经过圆C的圆心时,直线l的斜率k==.

(2)由圆C的参数方程(θ为参数),得圆C的圆心是C(1,-1),半径为2.

由直线l的参数方程(t为参数,α为倾斜角),得直线l的普通方程为y-4=k(x-3)(斜率存在),即kx-y+4-3k=0.

当直线l与圆C交于两个不同的点时,圆心到直线的距离小于圆的半径,即<2,解得k>.

即直线l的斜率的取值范围为.

考点三　极坐标与参数方程的综合应用　 

交点、距离、弦长问题

【典例】以平面直角坐标系的坐标原点O为极点,以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l的参数方程为(t为参数),曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cos θ.

(1)求曲线C的直角坐标方程.

(2)设直线l与曲线C相交于A,B两点,求|AB|.

【解析】(1)由ρsin2θ=4cos θ,可得ρ2sin2θ=4ρcos θ,

所以曲线C的直角坐标方程为y2=4x.

(2)将直线l的参数方程代入y2=4x,

整理得4t2+8t-7=0,所以t1+t2=-2,t1t2=-,

所以|AB|==

=

==×

=×=.

曲线的位置关系

【典例】以极点为原点,以极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系,已知曲线C1的极坐标方程为ρ=10,曲线C2的参数方程为(α为参数).

(1)判断两曲线C1和C2的位置关系.

(2)若直线l与曲线C1和C2均相切,求直线l的极坐标方程.

【解析】(1)由ρ=10得曲线C1的直角坐标方程为x2+y2=100,由

得曲线C2的普通方程为(x-3)2+(y+4)2=25.

曲线C1表示以(0,0)为圆心,10为半径的圆;

曲线C2表示以(3,-4)为圆心,5为半径的圆.

因为两圆心间的距离5等于两圆半径的差,所以圆C1和圆C2的位置关系是内切.

(2)由(1)建立方程组

解得可知两圆的切点坐标为(6,-8),且公切线的斜率为,所以直线l的直角坐标方程为y+8=(x-6),即3x-4y-50=0,

所以极坐标方程为3ρcos θ-4ρsin θ-50=0.

取值范围(最值)问题

【典例】(2019·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(t为参数),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为2ρcos θ+ρsin θ+11=0.              世纪金榜导学号

(1)求C和l的直角坐标方程;

(2)求C上的点到l距离的最小值.

【解析】(1)因为-1<≤1,且x2+=+=1,所以C的直角坐标方程为x2+=1(x≠-1).

l的直角坐标方程为2x+y+11=0.

(2)由(1)可设C的参数方程为

.

C上的点到l的距离为

=.

当α=-时,4cos+11取得最小值7,故C上的点到l距离的最小值为.

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