2021版高考文科数学人教A版一轮复习核心考点·精准研析选修4-52证明不等式的基本方法 学案

温馨提示：

 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。

核心考点·精准研析

考点一　综合法证明不等式 

【典例】(2019·全国卷Ⅰ)已知a,b,c为正数,且满足abc=1,证明:

(1)++≤a2+b2+c2.

(2)(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24.

【证明】(1)因为a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac,

又abc=1,

故有a2+b2+c2≥ab+bc+ca

=

=++.

当且仅当a=b=c时,取等号.

所以++≤a2+b2+c2.

(2)因为a,b,c为正数且abc、=1,故有

(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3

≥3

=3(a+b)(b+c)(a+c)

≥3×(2)×(2)×(2)=24.

当且仅当a=b=c时,取等号.

所以(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24.

1.综合法证明不等式,要分析清已知与求证之间,不等式的左右两端之间的差异与联系.合理进行转换,恰当选择已知不等式,这是证明的关键.

2.在用综合法证明不等式时,不等式的性质和基本不等式是最常用的.在运用这些性质时,要注意性质和不等式成立的条件.

考点二　分析法证明不等式 

【典例】已知函数f(x)=|x+1|. 世纪金榜导学号

(1)求不等式f(x)<|2x+1|-1的解集M.

(2)设a,b∈M,证明:f(ab)>f(a)-f(-b).

【解题导思】

【解析】(1)由题意,得|x+1|<|2x+1|-1,

①当x≤-1时,不等式可化为-x-1<-2x-2,解得x<-1;

②当-1<x<-时,不等式可化为x+1<-2x-2,此时不等式无解;

③当x≥-时,不等式可化为x+1<2x,解得x>1.

综上,M={x|x<-1或x>1}.

(2)因为f(a)-f(-b)=|a+1|-|-b+1|

≤|a+1-(-b+1)|=|a+b|,

所以要证f(ab)>f(a)-f(-b),

只需证|ab+1|>|a+b|,即证|ab+1|2>|a+b|2,

即证a2b2+2ab+1>a2+2ab+b2,

即证a2b2-a2-b2+1>0,即证(a2-1)(b2-1)>0.

因为a,b∈M,所以a2>1,b2>1,

所以(a2-1)(b2-1)>0成立,所以原不等式成立.

1.当要证的不等式不知从何入手时,可考虑用分析法去证明,特别是对于条件简单而结论复杂的题目往往更为有效.

2.分析法证明不等式的依据也是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论.

3.分析法证明不等式的思维方向是“逆推”,即由待证的不等式出发, 逐步寻找使它成立的充分条件(执果索因),最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式.

已知a>b>c,且a+b+c=0,求证:<a.

【证明】由a>b>c且a+b+c=0,知a>0,c<0.

要证<a,

只需证b2-ac<3a2.

因为a+b+c=0,只需证b2+a(a+b)<3a2,

只需证2a2-ab-b2>0,

只需证(a-b)(2a+b)>0,

只需证(a-b)(a-c)>0.

因为a>b>c,所以a-b>0,a-c>0,

所以(a-b)(a-c)>0显然成立,

故原不等式成立.

考点三　比较法证明不等式  

作差法

【典例】当p,q都是正数且p+q=1时,试比较(px+qy)2与px2+qy2的大小.

【解析】(px+qy)2-(px2+qy2)

=p2x2+q2y2+2pqxy-(px2+qy2)

=p(p-1)x2+q(q-1)y2+2pqxy.

因为p+q=1,所以p-1=-q,q-1=-p.

所以(px+qy)2-(px2+qy2)=-pq(x2+y2-2xy)=-pq(x-y)2.

因为p,q为正数,所以-pq(x-y)2≤0,

所以(px+qy)2≤px2+qy2.

当且仅当x=y时,不等式中等号成立.

作商法

【典例】已知a,b∈R+,证明:aabb≥abba. 世纪金榜导学号

【证明】因为=,

当a>b时,>1,a-b>0,

故>1;

当a=b时,=1,a-b=0,

故=1;

当a<b时,<1,a-b<0,

故>1.综上,aabb≥abba.

关闭Word文档返回原板块