2021版高考理科数学人教通用版大一轮复习规范答题提分课(三)

温馨提示：    此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。规范答题提分课(三)传授答题章法 点拨得分技巧 数列类解答题典型例题题目拆解(12分)(2019·全国卷Ⅱ)已知数列{an}和{bn}满足a1=1,b1=0,4an+1=3an-bn+4,4bn+1=3bn-an-4.(1)证明:{an+bn}是等比数列,{an-bn}是等差数列.(2)求{an}和{bn}的通项公式.本题可拆解成以下几个小问题:(1)①将已知条件中的两式相加,根据等比数列的定义证明{an+bn}是等比数列;②将已知条件中的两式相减,根据等差数列的定义证明{an-bn}是等差数列;(2)①根据等比和等差数列的通项公式分别求出{an+bn}与{an-bn}的通项公式;②将{an+bn}与{an-bn}的通项公式相加减分别求出{an}和{bn}的通项公式.标准答案阅卷现场【解析】(1)由题意可知4an+1=3an-bn+4,4bn+1=3bn-an-4,a1+b1=1,a1-b1=1,…………①所以4an+1+4bn+1=3an-bn+4+3bn-an-4=2an+2bn,即an+1+bn+1=(an+bn), 所以数列{an+bn}是首项为1、公比为的等比数列, …………②an+bn=, …………③因为4an+1-4bn+1=3an-bn+4-(3bn-an-4)=4an-4bn+8,所以an+1-bn+1=an-bn+2, 所以数列{an-bn}是首项1、公差为2的等差数列, …………④an-bn=2n-1. …………⑤(2)由(1)可知,an+bn=,an-bn=2n-1,所以an=(an+bn+an-bn)=+n-,………… ⑥bn=[(an+bn)-(an-bn)]=-n+. …………⑦ 第(1)问第(2)问得分点①②③④⑤⑥⑦11121336分6分第(1)问踩点得分说明①根据条件求出首项得1分;②两式相加后利用定义证明是等比数列得1分;③求出通项公式得1分;④两式相减后利用定义证明是等差数列得2分;⑤求出通项公式得1分;第(2)问踩点得分说明⑥由第(1)问的结论两式相加得通项公式得3分;⑦由第(1)问的结论两式相减得通项公式得3分.高考状元·满分心得1.解答数列类大题的关键熟练把握等差数列与等比数列的定义、通项公式、求和公式及其相应的性质是解数列问题的关键.2.化归与转化思想的运用对于给定的数列不是等差与等比数列模型,应利用化归思想或构造思想,努力使之转化为等比数列与等差数列模型求解.3.数列求和的解题技巧重点要掌握等差数列、等比数列求和公式以及常用的“错位相减法”“裂项相消法”,解决问题的关键在于数列的通项公式,根据通项公式的特征准确选择相应的方法.跟踪演练·感悟体验1.(2019·浙江高考)设等差数列{an}的前n项和为Sn,a3=4,a4=S3,数列{bn}满足:对每个n∈N*,Sn+bn,Sn+1+bn,Sn+2+bn成等比数列.(1)求数列{an},{bn}的通项公式.(2)记cn=,n∈N*,证明:c1+c2+…+cn<2,n∈N*.【解析】(1)设数列{an}的公差为d,由题意得a1+2d=4,a1+3d=3a1+3d,解得a1=0,d=2.从而an=2n-2,n∈N*.由Sn+bn,Sn+1+bn,Sn+2+bn成等比数列得(Sn+1+bn)2=(Sn+bn)(Sn+2+bn).解得bn=(-SnSn+2).所以bn=n2+n,n∈N*.(2)cn===,n∈N*.我们用数学归纳法证明.①当n=1时,c1=0<2,不等式成立;②假设n=k时不等式成立,即c1+c2+…+ck<2.那么,当n=k+1时,c1+c2+…+ck+ck+1<2+<2+<2+=2+2(-)=2.即当n=k+1时不等式也成立.根据①和②,不等式c1+c2+…+cn<2对任意n∈N*成立.2.(2019·青岛模拟)已知数列{an}的各项均为正数,a1=3,且对任意n∈N*,2an为+3和1的等比中项,数列{bn}满足bn=-1(n∈N*).(1)求证:数列{bn}为等比数列,并求{an}通项公式.(2)若cn=log2bn,{cn}的前n项和为Tn,求使Tn不小于360的n的最小值.【解析】(1)由题意得:(2an)2=(+3)×1,即=4-3,所以-1=4-3-1=4-4=4(-1).因为bn=-1,所以bn+1=4bn,所以数列{bn}成等比数列,首项为b1=-1=8,公比为4,所以bn=b1·4n-1=8×22n-2=22n+1,所以-1=22n+1,又{an}为正项数列,所以an=.(2)由(1)得:cn=log2bn=log222n+1=2n+1,所以Tn=c1+c2+…+cn=(2×1+1)+(2×2+1)+…+(2n+1)=2×(1+2+3+…+n)+n=2×+n=n2+2n,所以Tn=n2+2n≥360,即n2+2n-360≥0⇒(n+20)(n-18)≥0,所以n≥18或n≤-20(舍去),所以Tn不小于360的n的最小值为18. 关闭Word文档返回原板块