2021版高考理科数学人教通用版大一轮复习规范答题提分课(五)
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规范答题提分课(五)传授答题章法 点拨得分技巧
解析几何类解答题
典型例题 | 题目拆解 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
(12分)(2019·全国卷Ⅰ)已知抛物线C:y2=3x的焦点为F,斜率为的直线l与C的交点为A,B,与x轴的交点为P. (1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程. (2)若=3,求|AB|. | 本题可拆解成以下几个小问题: (1)设出直线l方程为:y=x+m,求出m值,即得直线的方程. (2)①通过方程的思想及向量运算求出A,B两点的纵坐标的值; ②利用弦长公式求得|AB|. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
标准答案 | 阅卷现场 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
【解析】(1)设直线l方程为:y=x+m, ① A(x1,y1),B(x2,y2), 由抛物线焦半径公式可知:|AF|+|BF|=x1+x2+=4, 所以x1+x2=, ② 联立得:9x2+(12m-12)x+4m2=0, ③ 则Δ=(12m-12)2-144m2>0, 所以m<, 所以x1+x2=-=,解得:m=-, 所以直线l的方程为:y=x-,即:12x-8y-7=0. ④ (2)设P(t,0),则可设直线l方程为:x=y+t, ⑤ 联立得:y2-2y-3t=0, ⑥ 则Δ=4+12t>0,所以t>-, 所以y1+y2=2,y1y2=-3t. 因为=3, 所以y1=-3y2,所以y2=-1,y1=3, ⑦ 所以y1y2=-3, 则|AB|=·=·=. ⑧ |
第(1)问踩点得分说明 ①待定系数法设出直线的方程得1分; ②根据抛物线的定义求出x1+x2=得1分; ③准确消元得到关于x的一元二次方程得1分; ④求得最终结果得3分; 第(2)问踩点得分说明 ⑤设直线l方程为:x=y+t得1分; ⑥得到关于y的一元二次方程得1分; ⑦求出y1,y2值得2分; ⑧求出|AB|得2分. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
高考状元·满分心得
1.解决圆锥曲线解答题的关注点
掌握圆锥曲线的定义及其几何性质是关键,利用根与系数的关系,运用整体思想求解直线与圆锥曲线的位置关系是难点.
2.待定系数法求方程
利用待定系数法求直线或圆锥曲线的方程必不可缺,若已知直线上一点,通常设点斜式方程,若已知直线的斜率,往往设直线的斜截式方程,如本例(1).设直线的点斜式方程时,应注意考查直线的斜率不存在的情况,这一点易忽视.
3.解析几何与其他知识的交汇问题的处理技巧
解析几何问题时常与平面向量、不等式、函数与方程等内容密切联系,应设法将题设条件转化到根与系数的关系上来,利用根与系数的关系,采用整体法解题,达到设而不求的目的.
4.解决轨迹问题的常用方法
轨迹问题也是常考的一种题型,注意定义法、直接法、相关点法在求解中的灵活运用.
跟踪演练·感悟体验
1.(2019·天津高考)设椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F,上顶点为B.已知椭圆的短轴长为4,离心率为.
(1)求椭圆的方程.
(2)设点P在椭圆上,且异于椭圆的上、下顶点,点M为直线PB与x轴的交点,点N在y轴的负半轴上.若|ON|=|OF|(O为原点),且OP⊥MN,求直线PB的斜率.
【解析】(1)设椭圆的半焦距为c,
依题意,2b=4,=,
又a2=b2+c2,可得a=,b=2,c=1.
所以,椭圆的方程为+=1.
(2)由题意,设P(xP,yP)(xP≠0),M(xM,0).
设直线PB的斜率为k(k≠0),
又B(0,2),则直线PB的方程为y=kx+2,与椭圆方程联立
整理得(4+5k2)x2+20kx=0,可得xP=-,代入y=kx+2得yP=,进而直线OP的斜率=.在y=kx+2中,令y=0,得xM=-.
由题意得N(0,-1),
所以直线MN的斜率为-.
由OP⊥MN,得·=-1,
化简得k2=,从而k=±.
所以直线PB的斜率为或-.
2.(2019·贵阳模拟)过点M(2,0)的直线l与抛物线C:y2=2px(p>0)交于A,B两点,O为坐标原点,OA⊥OB.
(1)求p的值.
(2)若l与坐标轴不平行,且A关于x轴的对称点为D,求证:直线BD恒过定点.
【解析】(1)当直线l⊥x轴时,可得A(2,2),
B(2,-2),由OA⊥OB得4-4p=0,所以p=1,
当直线l与x轴不垂直时,设l的方程为y=k(x-2),
代入y2=2px得ky2-2py-4pk=0,(k≠0),
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则y1y2=-4p,x1x2==4,
由OA⊥OB得x1x2+y1y2=0,即4-4p=0,所以p=1,
综上所述p=1.
(2)由(1)知抛物线方程为y2=2x,
由于A,D关于x轴对称,故D的坐标为(x1,-y1),
所以直线BD的方程为y+y1=(x-x1)
=,
即2x+(y1-y2)y-y1y2=0,
又y1y2=-4p=-4,
所以2x+(y1-y2)y+4=0,
所以直线BD恒过点(-2,0).
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