2021版高考理科数学人教通用版大一轮复习基础自查学案：1.3　简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

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第三节　简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

知识体系

必备知识

1.命题p∧q,p∨q,﹁p的真假判断

2.全称量词和存在量词

3.全称命题和特称命题

1.省略量词命题的否定

对于省略量词的命题,应先挖掘命题中隐含的量词,改写成量词的完整形式,再写出命题的否定.

2.“或”“且”的否定

“p或q”的否定易误写成“﹁p或q”;“p且q”的否定易误写成“﹁p且q”.

基础小题

1.下列结论:①若命题p:∃x0∈R,tan x0=2;命题q:∀x∈R,x2-x+>0,则命题“p∧(q)”是假命题;

②已知直线l1:ax+3y-1=0,l2:x+by+1=0,则l1⊥l2的充要条件是=-3;

③“设a,b∈R,若ab≥2,则a2+b2>4”的否命题为:“设a,b∈R,若ab<2,则a2+b2≤4”.

其中正确结论的个数是 (　　)

A.0 B.1 C.2 D.3

【解析】选C.在①中,命题p是真命题,命题q也是真命题,故“p∧(q)”是假命题是正确的.

在②中,由l1⊥l2,得a+3b=0,所以②不正确.

在③中,“设a,b∈R,若ab≥2,则a2+b2>4”的否命题为:“设a,b∈R,若ab<2,则a2+b2≤4”正确.

2.(教材改编)已知命题p:∀x>0,ln(x+1)>0;命题q:若a>b,则a2>b2,下列命题为真命题的是              (　　)

A.p∧q  B.p∧﹁q

C.﹁p∧q  D.﹁p∧﹁q

【解析】选B.x>0时,x+1>1,ln(x+1)>0,所以命题p是真命题,由-1>-2得(-1)2<(-2)2知命题q是假命题.可知B为真命题.

3.(教材改编)若命题p:对任意的x∈R,都有x3-x2+1<0,则﹁p为 (　　)

A.不存在x∈R,使得x3-x2+1<0

B.存在x0∈R,使得-+1<0

C.对任意的x∈R,都有x3-x2+1≥0

D.存在x0∈R,使得-+1≥0

【解析】选D.命题p:对任意的x∈R,都有x3-x2+1<0的否定为﹁p:存在x0∈R,使得-+1≥0.

4.若命题“∃x0∈R,使+(a-1)x0+1<0”是假命题,则实数a的取值范围是              (　　)

A.[-1,3]  B.[1,4]

C.(1,4)  D.(-∞,-1]∪[3,+∞)

【解析】选A.由题意,知“∀x∈R,x2+(a-1)x+1≥0”是真命题,所以Δ=(a-1)2-4≤0,解得-1≤a≤3.

5.已知命题p:∀m∈[0,1],x+≥2m,则﹁p为 (　　)

A.∀m∈[0,1],x+<2m

B.∃m0∈[0,1],x+≥

C.∃m0∈(-∞,0)∪(1,+∞),x+≥

D.∃m0∈[0,1],x+<

【解析】选D.根据全称命题与特称命题的关系,可知命题p:∀m∈[0,1],x+≥2m,则﹁p为“∃m0∈[0,1],x+<”.

6.下列结论:①“p∧q”为真是“p∨q”为真的充分不必要条件;②“p∧q”为假是“p∨q”为真的充分不必要条件;③“p∧q”为真是“﹁p”为假的充分不必要条件;④“﹁p”为真是“p∧q”为假的充分不必要条件.正确的是______________. 

【解析】①“p∧q”为真,说明p,q同为真,故能推出“p∨q”为真,而“ p∨q”为真,说明p,q中至少一个为真,故不能推出“p∧q”为真,故前者是后者的充分不必要条件,故正确;②“p∧q”为假,说明p,q中至少一个为假,故不能推出“p∨q”为真,“ p∨q”为真也不能推出“p∧q”为假,故前者是后者的既不充分也不必要条件,故错误;③“p∧q”为真,说明p,q都为真,能推出“﹁p”为假,“﹁p”为假,则p为真,不能推出p∧q为真,前者是后者的充分不必要条件,故正确;④“﹁p”为真,则p为假,可以推出“p∧q”为假,而只要满足q假,p无论真假,都有“p∧q”为假,故“p∧q”为假不能推出“﹁p”为真,故正确,综上可得①③④正确.

答案:①③④

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