2021版高考理科数学人教通用版大一轮复习基础自查学案：6.3　基本不等式

温馨提示：    此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。第三节　基本不等式知识体系必备知识1.基本不等式≤(1)基本不等式成立的条件:a>0,b>0.(2)等号成立的条件:当且仅当a=b.2.几个重要的不等式(1)a2+b2≥ 2ab(a,b∈R).(2)+≥2(a,b同号).(3)ab≤(a,b∈R).(4)≤(a,b∈R).(5)≤≤≤(a>0,b>0).3.算术平均数与几何平均数设a>0,b>0,则a,b的算术平均数为,几何平均数为,基本不等式可叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.4.利用基本不等式求最值问题已知x>0,y>0,则(1)如果xy是定值p,那么当且仅当x=y时,x+y有最小值是2(简记:积定和最小).(2)如果x+y是定值q,那么当且仅当x=y时,xy有最大值是(简记:和定积最大).1.易错点:应用基本不等式求最值的易错点(1)使用基本不等式求最值,“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可.(2)“当且仅当a=b时等号成立”的含义是“a=b”是等号成立的充要条件,这一点至关重要,忽略它往往会导致解题错误.2.注意点:连续使用基本不等式求最值,要求每次等号成立的条件一致.基础小题1.判断下列命题正确的个数为 (　　)①当a≥0,b≥0时,≥;②两个不等式a2+b2≥2ab与≥成立的条件是相同的;③x>0且y>0是+≥2的充要条件.A.0　　　　B.1　　　　C.2　　　　D.3【解析】选B.对于①,由基本不等式a+b≥2(a≥0,b≥0),得当a≥0,b≥0时,≥正确,②显然当a,b均为负值时,a2+b2≥2ab成立,但是≥不成立,故错误,③当xy>0时,+≥2成立,所以x>0且y>0是+≥2成立的充分不必要条件,故错误.故只有①正确.2.若f(x)=x+(x>2)在x=n处取得最小值,则n等于 (　　)A.  B.3 C.  D.4【解析】选B.因为x-2>0,f(x)=x+=x-2++2≥2+2=4,当且仅当x-2=,即x=3时,等号成立,所以n=3.3.(教材改编)已知x>0,y>0,x+y+=2,则x+y的最小值是 (　　)A.　　　B. 1　　　C.　　　D.【解析】选C.由题知,x+y+=2,x>0,y>0,所以x+y<2.由x+y+≥x+y+=2得x+y≥,所以≤x+y<2,所以x+y的最小值是.4.若正数a,b满足+=1,则4a+b的最小值为 (　　)A.7 B.10 C.9 D.4【解析】选C.由+=1,可得4a+b=(4a+b)=4+++1≥5+2=9.当且仅当=,即a=,b=3时4a+b有最小值9.5.(教材改编)已知x>1,函数y=+x的最小值是________. 【解析】由题意可得y=+x=+x-1+1,因为x>1,所以x-1>0.由基本不等式可知y=+x=+x-1+1≥2+1=5,当x=3时取得最小值.答案:56.已知实数x,y满足x2-xy+y2=1,则x+y的最大值为________. 【解析】因为x2+y2-xy=1,所以x2+y2=1+xy,所以(x+y)2=1+3xy≤1+3×,即(x+y)2≤4,解得-2≤x+y≤2,所以x+y的最大值为2.答案:2 关闭Word文档返回原板块