2021版高考理科数学人教通用版大一轮复习基础自查学案：7.7.2　利用向量求空间角和距离

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第二课时　利用向量求空间角和距离

知识体系

必备知识

1.异面直线所成角的求法

设a,b分别是两异面直线l1,l2的方向向量,则

2.直线和平面所成角的求法

如图所示,设直线l的方向向量为e,平面α的法向量为n,直线l与平面α所成的角为φ,两向量e与n的夹角为θ,则有sin φ=|cos θ|=.

3.二面角的求法

a.如图①,AB,CD是二面角α-l-β两个半平面内与棱l垂直的直线,则二面角的大小θ=<,>.

b.如图②③,n1,n2分别是二面角α-l-β的两个半平面α,β的法向量,则二面角的大小θ满足cos θ=-cos<n1,n2>或cos<n1,n2>.

4.点面距离的求法

(1)向量法:已知AB为平面α的一条斜线段,n为平面α的法向量,则B到平面α的距离为||=|||cos<,n>|=.

(2)等体积法:把点到平面的距离转化为几何体的高,然后利用等体积法求解.

1.易错点:注意异面直线所成的角与向量角的区别

异面直线所成角为锐角或直角,求出的向量角为钝角时,异面直线所成角为其补角.

2.注意点:

(1)直线与平面所成的角与向量角的联系

直线与平面所成角的正弦等于向量角余弦的绝对值,一是正弦对应余弦,二是余弦的绝对值.

(2)二面角与向量角的联系

①所求的二面角多数为锐角,一是条件中会给出,二是很容易直观判断.

②当向量角为钝角时,要根据条件或图象进行判断,二面角是锐角还是钝角.

(3)利用向量求距离

线到面、面到面的距离都可以转化为点到面的距离,在线、面上取点后代入点到面的距离公式计算.

基础小题

1.下列说法正确的是________. 

①异面直线的夹角是两直线方向向量的夹角;

②直线与平面的夹角与直线的方向向量与平面法向量的夹角互余;

③两平面间的夹角与两平面法向量的夹角相等或互补.

【解析】①中两夹角可能相等,也可能互补;②中两夹角可能互余,也可能相差90°;③中两夹角相等或互补.

答案:③

2.三棱锥A-BCD中,平面ABD与平面BCD的法向量分别为n1,n2,若<n1,n2>=,则二面角A-BD-C的大小为              (　　)

A.　 　　B.　 　　C.或　　　D.或

【解析】选C.因为二面角的范围是[0,π],

且<n1,n2>=,所以二面角A-BD-C的大小为或.

3.(教材改编)已知两平面的法向量分别为m=(0,1,0),n=(0,1,1),则两平面所成的二面角为________. 

【解析】cos<m,n>===,即<m,n>=45°.

所以两平面所成二面角为45°或180°-45°=135°.

答案:45°或135°

4.若平面α的一个法向量n=(2,1,1),直线l的一个方向向量为a=(1,2,3),则l与α所成角的正弦值为________. 

【解析】cos<a,n>====.

答案:

5.如图所示,已知正方体ABCD-A1B1C1D1,E,F分别是正方形A1B1C1D1和ADD1A1的中心,则EF和CD所成的角是________. 

【解析】以D为原点,分别以射线DA,DC,DD1为x轴、y轴、z轴的非负半轴建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,则D(0,0,0),C(0,1,0),E,

F,=,=(0,1,0),

所以cos<,>==-,

所以<,>=135°,

所以异面直线EF和CD所成的角是45°.

答案:45°

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