模板八：利用基本不等式求最值 试卷

模板八：利用基本不等式求最值模板构建拼凑法就是将函数解析式进行适当的变形,通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式,然后利用基本不等式求最值.应用此法求最值的基本思路如下:典型例题（2020·江苏省西亭高级中学高三三模）已知，，且，则的最大值为______.试题解析∵，，且∴∵∴，当且仅当时取等号.令，原不等式转化为，解得.∴，故答案为：.题后反思本题考查了基本不等式在求最值中的应用.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.针对训练*举一反三 1．（2020·浙江省高三二模）若，则“”是“”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】，，若，则，当且仅当时取等号，所以；当，时，，但； “”是“”充分不必要条件.故选：A.2．（2020·湖北省高三二模）在正方形中，已知，，，，若，则的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】以为坐标原点，线段所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系如图：设，，则由，得，化简可得，故，即，因为，故，当且仅当时等号成立，所以，故的取值范围为.故选:A3．（2020·陕西省西安中学高三三模）若直线被圆截得弦长为4，则的最小值是（   ）A．9 B．4 C． D．【答案】A【解析】圆标准方程为，圆心为，半径为，直线被圆截得弦长为4，则圆心在直线上，∴，，又，∴，当且仅当，即时等号成立．∴的最小值是9．故选：A．4．（2020·浙江省温岭中学高三二模）若正实数，满足，则的最小值为（    ）A．2 B． C．5 D．【答案】C【解析】根据题意，若正实数，满足，则，当且仅当时等号成立，即的最小值为5；故选：C5．（2020·河南省高三二模）已知等差数列的公差，且成等比数列，若，为数列的前项和，则的最小值为（    ）A．4 B．3 C． D．2【答案】D【解析】，、、成等比数列，．得或（舍去），，，．令，则当且仅当，即时，的最小值为2．故选：D．6．（2020·江苏省高三二模）已知，，，则的最大值为__________.【答案】【解析】由已知，所以，故，令，原式，当且仅当，即，时，等号成立.故答案为：7．（2020·湖北省高三二模）已知是抛物线的焦点，为抛物线上的动点，且的坐标为，则的最小值是______.【答案】【解析】由题意可变为，其准线为，设点，则，，所以，当时，；当时，；当时，，当且仅当时，等号成立，此时，所以；当时，，当且仅当时，等号成立，此时，所以；综上所述，的最小值为.故答案为：.8．（2020·西藏自治区山南二中高三二模）若，且，则的最小值是______.【答案】8【解析】因为（即 取等号），所以最小值为.9．（2020·浙江省高三二模）已知非零平面向量，，，满足，，则的最小值是_____．【答案】【解析】由得（是，的夹角）．∴，∴不妨设，，∴，再令，则．对于分母，再令，当时，.当时，则分母可化为：，∵，当且仅当时取等号，∴，∴．故答案为：．10．（2020·广东省高三二模）设a∈R，若不等式恒成立，则实数a的取值范围是_____．【答案】[4﹣6，4+6]【解析】|x3|+|x3|+ax≥4x﹣8恒成立，即为|x3|+|x3|+8≥（4﹣a）x恒成立，当x＞0时，可得4﹣a≤|x2|+|x2|的最小值，由|x2|+|x2||x2x2|2x22x236，当且仅当x3＝2即x取得最小值6，即有4﹣a≤6，则a≥4﹣6；当x＜0时，可得4﹣a≥﹣[|x2|+|x2|]的最大值，由|x2|+|x2|2x22x236，当且仅当x3＝﹣2即x取得最大值﹣6，即有4﹣a≥﹣6，则a≤4+6，综上可得4﹣6a≤4+6，故答案为：[4﹣6，4+6]．