北师大版2020年九年级（上）期中复习训练卷（一） 解析版

北师大版2020年九年级（上）期中复习训练卷（一）
一．选择题
1．下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是（　　）
A．对角线相等 B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直 D．邻边互相垂直
2．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0的一个根是1，则k的值是（　　）
A．﹣2 B．2 C．1 D．﹣1
3．在一个不透明的口袋中，装有5个红球3个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，摸到红球的概率为（　　）
A． B． C． D．
4．方程（x﹣1）（x﹣2）＝2的根是（　　）
A．x1＝1，x2＝2 B．x1＝﹣1，x2＝﹣2
C．x＝3 D．x1＝0，x2＝3
5．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论不正确的是（　　）
A．当AB＝BC时，它是菱形
B．当AC⊥BD时，它是菱形
C．当∠ABC＝90°时，它是矩形
D．当AC＝BD时，它是菱形
6．如图，在△ABC中，若DE∥BC，AD＝5，BD＝10，DE＝4，则BC的值为（　　）

A．8 B．9 C．10 D．12
7．一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的根的情况为（　　）
A．只有一个实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．没有实数根
8．如图所示，在一边靠墙（墙足够长）空地上，修建一个面积为672m2的矩形临时仓库，仓库一边靠墙，另三边用总长为76 m的栅栏围成，若设栅栏AB的长为xm，则下列各方程中，符合题意的是（　　）

A．x（76﹣x）＝672 B．x（76﹣2x）＝672
C．x（76﹣2x）＝672 D．x（76﹣x）＝672
9．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x＝0的两个实数根，下列结论错误的是（　　）
A．x1≠x2 B．x12﹣2x1＝0 C．x1+x2＝2 D．x1•x2＝2
10．如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4．点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上．若四边形EGFH是菱形，则AE的长是（　　）

A．2 B．3 C．5 D．6
二．填空题
11．菱形ABCD的边长为6，∠ABC＝60°，则较长对角线BD的长是　 　．
12．用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣5＝0时，此方程可变形的形式为：　 　．
13．把一袋黑豆中放入100粒黄豆，搅匀后取出100粒豆子，其中有黄豆4粒，则该袋中约有黑豆　 　．
14．已知＝，则＝　 　．
15．规定一种运算：＝ad﹣bc，例如：＝8，运算得：5x﹣2＝8，x＝2；按照这种运算的规定，求＝5中x的值为　 　．
16．如图，每一图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，如果第n幅图中有999个菱形，则n＝　 　．

17．如图，在菱形ABCD中，AB＝4cm，∠ADC＝120°，点E、F同时由A、C两点出发，分别沿AB、CB方向向点B匀速移动（到点B为止），点E的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s，经过t秒△DEF为等边三角形，则t的值为　 　．

三．解答题
18．解方程：
（1）（3x﹣1）2﹣25＝0 （2）x2﹣2x﹣6＝0




19．如图，四边形ABCD的对角线AC⊥BD，垂足为O，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点．求证：四边形EFGH是矩形．



20．如图，小军、小珠所在位置A，B之间的距离为2.8m，小军、小珠在同一盏路灯P下的影长分别为1.2m，1.5m，已知小军、小珠的身高分别为1.8m，1.5m，
（1）画出两人在路灯下的影子AC和BD；
（2）求路灯的高PO．





21．为了增进亲子关系丰富学生的生活，学校九年级1班家委会组织学生、家长一起参加户外拓展活动，所联系的旅行社收费标准如下：如果人数不超过24人，人均活动费用为120元；如果人数超过24人，每增加1人，人均活动费用降低2元，但人均活动费用不得低于85元，活动结束后，该班共支付该旅行社活动费用3520元，请问该班共有多少人参加这次旅行活动？



22．如图，四边形ABCD是正方形，BE⊥BF，BE＝BF，EF与BC交于点G．
（1）求证：AE＝CF；
（2）若∠ABE＝55°，求∠EGC的大小．


23．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）在网格内画出和△ABC以点O为位似中心的位似图形△A1B1C1，且△A1B1C1和△ABC的位似比为2：1；
（2）分别写出A1、B1、C1三个点的坐标：A1　 　、B1　 　、C1　 　；
（3）求△A1B1C1的面积为　 　．

24．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，BD＝DC，AB＝6，AD＝8，点P，Q分别为BC，AD上的动点，连接PQ，与BD相交于点O．
（1）当∠1＝∠2时，求证：∠DOP＝∠DPB；
（2）在（1）的条件下，求证：△DOQ∽△CPD；
（3）如果点P由点B向点C移动，每秒移动2个单位，同时点Q由点D向点A移动，每秒移动1个单位，设移动的时间为t秒，是否存在某一时刻，使得△BOP为直角三角形？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由．




25．如图1，在平行四边形ABCD中，AB＝20，AD＝30，∠ABC＝60°，点P从点D出发沿DC向点C匀速运动，速度为每秒3个单位长度；同时，点Q从点B出发沿BA向点A匀速运动，速度为每秒2个单位长度．当点P停止运动时，点Q也随之停止运动．过点P作PM⊥AD交AD于点M，连接PQ，QM，设运动的时间为t秒（0≤t≤）．
（1）当QP⊥PM时，求t的值；
（2）如图2，连接MC，是否存在t值，使得△PCM的面积是平行四边形ABCD面积的？若存在，求出对应的t值；若不存在，请说明理由；
（3）如图3，过点M作MN∥AB交于点N，是否存在t的值，使得点P在线段MN的垂直平分线上？若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由．




参考答案
一．选择题
1．解：（A）对角线相等是矩形具有的性质，菱形不一定具有；
（B）对角线互相平分是菱形和矩形共有的性质；
（C）对角线互相垂直是菱形具有的性质，矩形不一定具有；
（D）邻边互相垂直是矩形具有的性质，菱形不一定具有．
故选：C．
2．解：把x＝1代入方程x2﹣2x+k＝0，可得12﹣2+k＝0，即k＝1，
故选：C．
3．解：共8球在袋中，其中5个红球，
故摸到红球的概率为，
故选：C．
4．解：原方程可化为：
x2﹣3x+2＝2
x2﹣3x＝0
∴x（x﹣3）＝0
x＝0或x﹣3＝0
∴x1＝0，x2＝3
故选：D．
5．解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形，故正确；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，故正确；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，故正确；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，
四边形ABCD是矩形，故错误．
故选：D．
6．解：由DE∥BC可推出△ADE∽△ABC，
所以，
因为AD＝5，DE＝4，BD＝10，
可求BC＝12．
故选：D．
7．解：∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣1，
∴△＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）＝8＞0，
所以原方程有两个不相等的实数．
故选：B．
8．解：依题意得：BC＝AD＝（76﹣x），
而矩形面积＝BC×AB＝（76﹣x）x＝672．
故选：A．
9．解：∵△＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞0，
∴x1≠x2，选项A不符合题意；
∵x1是一元二次方程x2﹣2x＝0的实数根，
∴x12﹣2x1＝0，选项B不符合题意；
∵x1，x2是一元二次方程x2﹣2x＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝2，x1•x2＝0，选项C不符合题意，选项D符合题意．
故选：D．
10．解；连接EF交AC于O，
∵四边形EGFH是菱形，
∴EF⊥AC，OE＝OF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠D＝90°，AB∥CD，
∴∠ACD＝∠CAB，
在△CFO与△AOE中，，
∴△CFO≌△AEO(AAS)，
∴AO＝CO，
∵AC＝＝4，
∴AO＝AC＝2，
∵∠CAB＝∠CAB，∠AOE＝∠B＝90°，
∴△AOE∽△ABC，
∴，
∴，
∴AE＝5．
方法二：应连接EF得EF⊥AC 易证EF垂直平分AC 连接CE，得CE＝AE，
设CE＝AE＝x，EB＝8﹣x，BC＝4，利用勾股定理求得x＝5即可．
故选：C．

二．填空题
11．解：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝6，∠ABC＝∠ADC＝60°，AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD，
∴△ABC，△ADC是等边三角形，
∴AC＝6，OD＝OC＝3，
在Rt△AOB中，BO＝＝3，
∴BD＝2OB＝6，
故答案为6．

12．解：∵x2﹣4x﹣5＝0，
∴x2﹣4x＝5，
则x2﹣4x+4＝5+4，即（x﹣2）2＝9，
故答案为：（x﹣2）2＝9．
13．解：∵把一袋黑豆中放入100粒黄豆，搅匀后取出100粒豆子，其中有黄豆4粒，
设该袋中约有黑豆x粒，
∴＝，
解得：x＝2400，
则该袋中约有黑豆2400粒．
故答案为：2400粒．
14．解：∵＝，
∴设x＝2k，y＝5k（k≠0），
∴＝＝．
故答案为：．
15．解：根据题意得：x2﹣4x＝5，
x2﹣4x﹣5＝0，
（x﹣5）（x+1）＝0，
x﹣5＝0，x+1＝0，
x1＝5，x2＝﹣1．
故答案为：5或﹣1．
16．解：根据题意分析可得：第1幅图中有1个．
第2幅图中有2×2﹣1＝3个．
第3幅图中有2×3﹣1＝5个．
第4幅图中有2×4﹣1＝7个．
…．
可以发现，每个图形都比前一个图形多2个．
故第n幅图中共有（2n﹣1）个．
当图中有2019个菱形时，
2n﹣1＝999，
n＝500，
故答案为：500．
17．
解：延长AB至M，使BM＝AE，连接FM，
∵四边形ABCD是菱形，∠ADC＝120°
∴AB＝AD，∠A＝60°，
∵BM＝AE，
∴AD＝ME，
∵△DEF为等边三角形，
∴∠DAE＝∠DFE＝60°，DE＝EF＝FD，
∴∠MEF+∠DEA═120°，∠ADE+∠DEA＝180°﹣∠A＝120°，
∴∠MEF＝∠ADE，
∴在△DAE和△EMF中，

∴△DAE≌EMF（SAS），
∴AE＝MF，∠M＝∠A＝60°，
又∵BM＝AE，
∴△BMF是等边三角形，
∴BF＝AE，
∵AE＝t，CF＝2t，
∴BC＝CF+BF＝2t+t＝3t，
∵BC＝4，
∴3t＝4，
∴t＝
故答案为：．
或连接BD．根据SAS证明△ADE≌△BDF，得到AE＝BF，列出方程即可．
三．解答题
18．解：（1）∵（3x﹣1）2﹣25＝0，
∴（3x﹣1）2＝25，
则3x﹣1＝±5，
解得：x1＝2，x2＝﹣；
（2）∵x2﹣2x﹣6＝0，
∴a＝1，b＝﹣2，c＝﹣6，
则△＝4﹣4×1×（﹣6）＝28＞0，
∴x＝＝1±，
即x1＝1+，x2＝1﹣．
19．证明：如图，∵E、F、G、H分别是线段AB、BC、CD、AD的中点，
∴EH、FG分别是△ABD、△BCD的中位线，EF、HG分别是△ACD、△ABC的中位线，
根据三角形的中位线的性质知，EF∥AC，GH∥AC且EF＝AC，GH＝AC
∴四边形EFGH是平行四边形
又∵AC⊥BD，
∴EF⊥FG
∴四边形EFGH是矩形．
20．解：（1）如图，AC，BD即为所求．
（2）如图，∵AE∥PO∥BF，
∴△AEC∽△OPC，△BFD∽△OPD，
∴，，
即，，
解得：PO＝3.3m．
答：路灯的高为3.3m．

21．解：∵24人的费用为24×120＝2880元＜3520元，
∴参加这次春游活动的人数超过24人，
设该班参加这次春游活动的人数为x名．
根据题意，得[120﹣2（x﹣24）]x＝3520，
整理，得x2﹣84x+1760＝0，
解得：x1＝44，x2＝40，
x1＝44时，120﹣2（x﹣24）＝80＜85，不合题意，舍去；
x2＝40时，120﹣2（x﹣24）＝88＞85．
答：该班共有40人参加这次春游活动．
22．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，AB＝BC，
∵BE⊥BF，
∴∠FBE＝90°，
∵∠ABE+∠EBC＝90°，∠CBF+∠EBC＝90°，
∴∠ABE＝∠CBF，
在△AEB和△CFB中，

∴△AEB≌△CFB（SAS），
∴AE＝CF．
（2）解：∵BE⊥BF，
∴∠FBE＝90°，
又∵BE＝BF，
∴∠BEF＝∠EFB＝45°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，
又∵∠ABE＝55°，
∴∠EBG＝90°﹣55°＝35°，
∴∠EGC＝∠EBG+∠BEF＝45°+35°＝80°．

23．解：（1）如图所示：
△A1B1C1，即为所求；
（2）如图所示：A1 （4，8）或（﹣4，﹣8）；B1 （2，2）或（﹣2，﹣2），C1（8，2）或（﹣8，﹣2）；
故答案为：（4，8）或（﹣4，﹣8）；（2，2）或（﹣2，﹣2），（8，2）或（﹣8，﹣2）；
（3）△A1B1C1的面积为：×6×6＝18．
故答案是：18．

24．（1）证明：∵∠PDO＝∠BDP，∠1＝∠2，
∴△DOP∽△DPB，
∴∠DOP＝∠DPB，
（2）证明：∵AD∥BC，
∴∠ADO＝∠1，
∵BD＝DC，
∴∠1＝∠C，
∴∠ADO＝∠C，
又∵∠DOQ＝∠DPC，
∴△DOQ∽△CPD，
（3）存在，
①如图1，当∠BPO＝90°时，
∵BP＝2t，DQ＝t，
∴AQ＝8﹣t
∵此时AQ＝BP
∴8﹣t＝2t
∴t＝；
②如图2，当∠POB＝90°时，
∵△DOQ∽△BOP
∴＝＝＝，
∵AB＝6，AD＝8，
∴BD＝10，
∴DO＝，
∵△DOQ∽△DBA，
∴＝，
∴＝，
∴t＝．
综上所述，当t＝秒或t＝秒时，
△BOP为直角三角形．



25．解：（1）由题意得：BQ＝2t，DP＝3t，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，CD＝AB＝20，∠D＝∠ABC＝60°，
∵PM⊥AD，QP⊥PA，
∴QP∥AD∥BC，
∴四边形BCPQ是平行四边形，
∴BQ＝CP，
∴2t＝20﹣3t，
解得：t＝4（秒）；
（2）不存在，理由如下：
作AE⊥BC于E，延长MP交BC延长线于F，如图2所示：
则∠BAE＝90°﹣∠ABC＝30°，
∴BE＝AB＝10，AE＝BE＝10，
∴平行四边形ABCD的面积＝BC×AE＝30×10＝300，
∵AB∥CD，
∴∠PCF＝∠ABC＝60°，
∵PM⊥AD，AD∥BC，
∴PM⊥BC，
∴∠CPF＝90°﹣60°＝30°，
∴CF＝PC＝（20﹣3t），
∵∠DPM＝90°﹣∠D＝30°，
∴DM＝PD＝t，
∴PM＝DM＝t，
∴△PCM的面积＝PM×CF＝×t×（20﹣3t），
若△PCM的面积是平行四边形ABCD面积的，
则×t×（20﹣3t）＝×300，
整理得：3t2﹣20t+300＝0，
∵△＝（﹣20）2﹣4×3×300＜0，
∴方程无解，
∴不存在t值，使得△PCM的面积是平行四边形ABCD面积的；
（3）存在，理由如下：
延长MP交BC延长线于F，如图3所示：
∵MN∥AB，AB∥CD，
∴MN∥CD，
∵AD∥BC，
∴四边形CDMN是平行四边形，
∴CN＝DM＝t，
由（2）得：MF⊥BC，PM＝t，
CF═（20﹣3t），PF＝CF＝（20﹣3t），
∴FN＝CN+CF＝10，
∵点P在线段MN的垂直平分线上，
∴PM＝PN，
∵PN2＝FN2+PF2，
∴（t）2＝102+[（20﹣3t）]2，
解得：t＝，
∴存在t的值，使得点P在线段MN的垂直平分线上，t＝秒．