2021高考物理教科版一轮复习学案作业：第四章第3讲圆周运动

第3讲　圆周运动

一、匀速圆周运动及描述
1．匀速圆周运动
(1)定义：做圆周运动的物体，若在任意相等的时间内通过的圆弧长相等，就是匀速圆周运动．
(2)特点：加速度大小不变，方向始终指向圆心，是变加速运动．
(3)条件：合外力大小不变、方向始终与速度方向垂直且指向圆心．
2．运动参量

定义、意义
公式、单位
线速度
描述做圆周运动的物体沿圆弧运动快慢的物理量(v)
(1)v＝＝
(2)单位：m/s
角速度
描述物体绕圆心转动快慢的物理量(ω)
(1)ω＝＝
(2)单位：rad/s
周期
物体沿圆周运动一圈的时间(T)
(1)T＝＝，单位：s
(2)f＝，单位：Hz
(3)n＝，单位：r/s
向心加速度
(1)描述速度方向变化快慢的物理量(an)
(2)方向指向圆心
(1)an＝＝rω2
(2)单位：m/s2

自测　(多选)一质点做匀速圆周运动，其线速度大小为4 m/s，转动周期为2 s，则(　　)
A．角速度为0.5 rad/s
B．转速为0.5 r/s
C．轨迹半径为 m
D．加速度大小为4π m/s2
答案　BCD
二、匀速圆周运动的向心力
1．作用效果
向心力产生向心加速度，只改变速度的方向，不改变速度的大小．
2．大小
Fn＝m＝mrω2＝mr＝mωv＝4π2mf2r.
3．方向
始终沿半径方向指向圆心，时刻在改变，即向心力是一个变力．
4．来源
向心力可以由一个力提供，也可以由几个力的合力提供，还可以由一个力的分力提供．
判断正误　(1)物体做匀速圆周运动时，因向心力总是沿半径指向圆心，且大小不变，故向心力是一个恒力．(　×　)
(2)物体做匀速圆周运动时，因向心力指向圆心，且与线速度方向垂直，所以它不能改变线速度的大小．(　√　)
(3)物体做匀速圆周运动时，向心力由物体所受的合外力提供．(　√　)
三、离心运动和近心运动
1．离心运动：做圆周运动的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需向心力的情况下，就做逐渐远离圆心的运动．
2.受力特点(如图1)

图1
(1)当F＝0时，物体沿切线方向飞出；
(2)当0 (3)当F>mrω2时，物体逐渐向圆心靠近，做近心运动．
3．本质：离心运动的本质并不是受到离心力的作用，而是提供的力小于做匀速圆周运动需要的向心力.


1．对公式v＝ωr的理解
当r一定时，v与ω成正比．
当ω一定时，v与r成正比．
当v一定时，ω与r成反比．
2．对an＝＝ω2r的理解
在v一定时，an与r成反比；在ω一定时，an与r成正比．
3．常见的传动方式及特点
(1)皮带传动：如图2甲、乙所示，皮带与两轮之间无相对滑动时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB.

图2
(2)摩擦传动和齿轮传动：如图3甲、乙所示，两轮边缘接触，接触点无打滑现象时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB.

图3
(3)同轴转动：如图4甲、乙所示，绕同一转轴转动的物体，角速度相同，ωA＝ωB，由v＝ωr知v与r成正比．

图4
例1　(多选)(2019·福建漳州市第二次教学质量监测)明代出版的《天工开物》一书中记载：“其湖池不流水，或以牛力转盘，或聚数人踏转．”并附有牛力齿轮翻车的图画如图5所示，翻车通过齿轮传动，将湖水翻入农田．已知A、B齿轮啮合且齿轮之间不打滑，B、C齿轮同轴，若A、B、C三齿轮半径的大小关系为rA>rB>rC，则(　　)

图5
A．齿轮A、B的角速度相等
B．齿轮A的角速度比齿轮C的角速度小
C．齿轮B、C的角速度相等
D．齿轮A边缘的线速度比齿轮C边缘的线速度小
答案　BC
解析　齿轮A与齿轮B是齿轮传动，边缘线速度大小相等，根据公式v＝ωr可知，半径比较大的A的角速度小于B的角速度．而B与C是同轴转动，角速度相等，所以齿轮A的角速度比齿轮C的角速度小，故A错误，B、C正确；B、C角速度相等，齿轮B的半径大，边缘线速度大于C的，又齿轮A与齿轮B边缘线速度大小相等，所以齿轮A边缘的线速度比C边缘的线速度大，故D错误．
变式1　如图6所示，轮O1、O3固定在同一转轴上，轮O1、O2用皮带连接且不打滑．在O1、O2、O3三个轮的边缘各取一点A、B、C，已知三个轮的半径之比r1∶r2∶r3＝2∶1∶1，求：

图6
(1)A、B、C三点的线速度大小之比vA∶vB∶vC；
(2)A、B、C三点的角速度之比ωA∶ωB∶ωC；
(3)A、B、C三点的向心加速度大小之比aA∶aB∶aC.
答案　(1)2∶2∶1　(2)1∶2∶1　(3)2∶4∶1
解析　(1)令vA＝v，由于皮带传动时不打滑，所以vB＝v.因ωA＝ωC，由公式v＝ωr知，当角速度一定时，线速度跟半径成正比，故vC＝v，所以vA∶vB∶vC＝2∶2∶1.
(2)令ωA＝ω，由于轮O1、O3同轴转动，所以ωC＝ω.因vA＝vB，由公式ω＝知，当线速度相等时，角速度跟半径成反比，故ωB＝2ω，所以ωA∶ωB∶ωC＝1∶2∶1.
(3)令A点向心加速度大小为aA＝a，因vA＝vB，由公式a＝知，当v一定时，向心加速度大小跟半径成反比，所以aB＝2a.又因为ωA＝ωC，由公式a＝ω2r知，当角速度一定时，向心加速度大小跟半径成正比，故aC＝a，所以aA∶aB∶aC＝2∶4∶1.




1．向心力来源
向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力．
2．运动模型
运动模型
向心力的来源图示
飞机水平转弯

火车转弯

圆锥摆

飞车走壁

汽车在水平路面转弯

水平转台(光滑)








3.分析思路

例2　(多选)(2019·安徽合肥市第二次质检)如图7所示为运动员在水平道路上转弯的情景，转弯轨迹可看成一段半径为R的圆弧，运动员始终与自行车在同一平面内．转弯时，只有当地面对车的作用力通过车(包括人)的重心时，车才不会倾倒．设自行车和人的总质量为M，轮胎与路面间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g.下列说法正确的是(　　)

图7
A．车受到地面的支持力方向与车所在平面平行
B．转弯时车不发生侧滑的最大速度为
C．转弯时车与地面间的静摩擦力一定为μMg
D．转弯速度越大，车所在平面与地面的夹角越小
答案　BD
解析　车受到的地面的支持力方向不与车所在的平面平行，故A错误；
设自行车受到地面的弹力为N，则有：fm＝μN，
由平衡条件有：N＝Mg，根据牛顿第二定律有：fm＝M，代入数据解得：vm＝，故B正确；对车(包括人)受力分析如图，

地面对自行车的弹力N与摩擦力f的合力过人与车的重心，则：＝，解得f＝，转弯时车与地面间的静摩擦力不一定为μMg，转弯速度越大，车所在平面与地面的夹角越小，C错误，D正确．
变式2　(2019·山东泰安市3月第一轮模拟)如图8，在水平光滑细杆上有一小环，轻绳的一端系在小环上，另一端系着夹子，夹子夹紧一个质量为M的小物块两个侧面，小物块到小环悬点的距离为L，夹子每一侧面与小物块的最大静摩擦力均为F.小环和物块一起向右匀速运动，小环碰到杆上的钉子P后立刻停止，物块向上摆动．整个过程中，物块在夹子中没有滑动，则小环和物块一起向右匀速运动的速度最大为(不计小环和夹子的质量，重力加速度为g)(　　)

图8
A. B.
C. D.
答案　D
解析　当小环碰到钉子瞬间，物块将做圆周运动，则对物块：2F－Mg＝M，解得v＝，故选D.
例3　(多选)(2019·天津市南开区下学期二模)飞机飞行时除受到发动机的推力和空气阻力外，还受到重力和机翼的升力，机翼的升力垂直于机翼所在平面向上，当飞机在空中盘旋时机翼倾斜(如图9所示)，以保证重力和机翼升力的合力提供向心力．设飞机以速率v在水平面内做半径为R的匀速圆周运动时机翼与水平面成θ角，飞行周期为T.则下列说法正确的是(　　)

图9
A．若飞行速率v不变，θ增大，则半径R增大
B．若飞行速率v不变，θ增大，则周期T增大
C．若θ不变，飞行速率v增大，则半径R增大
D．若飞行速率v增大，θ增大，则周期T可能不变
答案　CD
解析　对飞机进行受力分析，如图所示，

根据重力和机翼升力的合力提供向心力，得mgtan θ＝m＝mR，解得：v＝，T＝2π.若飞行速率v不变，θ增大，由v＝知，R减小，则再由T＝2π知T减小，故A、B错误；若θ不变，飞行速率v增大，由v＝知，R增大，故C正确；若飞行速率v增大，θ增大，R的变化不能确定，则周期T可能不变，故D正确．
拓展点　实验：验证向心力的影响因素

例4　(2019·福建泉州市5月第二次质检)某同学做验证向心力与线速度关系的实验．装置如图10所示，一轻质细线上端固定在力传感器上，下端悬挂一小钢球．钢球静止时刚好位于光电门中央．主要实验步骤如下：

图10
①用游标卡尺测出钢球直径d；
②将钢球悬挂静止不动，此时力传感器示数为F1，用米尺量出线长L;
③将钢球拉到适当的高度处静止释放，光电门计时器测出钢球的遮光时间为t，力传感器示数的最大值为F2；
已知当地的重力加速度大小为g，请用上述测得的物理量表示：
(1)钢球经过光电门时的线速度表达式v＝________，向心力表达式F向＝m＝________；
(2)钢球经过光电门时所受合力的表达式F合＝________；
(3)若在实验误差允许的范围内F向＝F合，则验证了向心力与线速度的关系．该实验可能的误差有：________________________________________________________________________.
(写出一条即可)
答案　(1)　　(2)F2－F1　(3)摆线的长度测量有误差
解析　(1)钢球的直径为d，遮光时间为t，所以钢球通过光电门的速度：v＝，根据题意知，钢球做圆周运动的半径为：R＝L＋，钢球质量：m＝，则向心力表达式：F向＝m＝.
(2)钢球经过光电门时只受重力和细线的拉力，由分析可知，钢球通过光电门时，细线的拉力最大，大小为F2，故所受合力为F合＝F2－F1.
(3)根据向心力表达式知，可能在测量摆线长度时存在误差．

1．运动特点
(1)竖直面内的圆周运动一般是变速圆周运动．
(2)只有重力做功的竖直面内的变速圆周运动机械能守恒．
(3)竖直面内的圆周运动问题，涉及知识面比较广，既有临界问题，又有能量守恒的问题，要注意物体运动到圆周的最高点的速度．
(4)一般情况下，竖直面内的圆周运动问题只涉及最高点和最低点的两种情形．
2．常见模型
物理情景
最高点无支撑
最高点有支撑
实例
球与绳连接、水流星、沿内轨道运动的“过山车”等
球与杆连接、球在光滑管道中运动等
图示


受力特征
除重力外，物体受到的弹力方向：向下或等于零
除重力外，物体受到的弹力方向：向下、等于零或向上
受力示意图


力学方程
mg＋F弹＝m
mg±F弹＝m
临界特征
F弹＝0
mg＝m
即vmin＝
v＝0
即F向＝0
F弹＝mg
过最高点的条件
在最高点的速度v≥
v≥0
模型归纳
轻绳模型
轻杆模型

模型1　球—绳模型

例5　(2019·福建龙岩市期末质量检查)如图11甲所示，轻绳一端固定在O点，另一端固定一小球(可看成质点)，让小球在竖直平面内做圆周运动．改变小球通过最高点时的速度大小v，测得相应的轻绳弹力大小F，得到F－v2图像如图乙所示，已知图线的延长线与纵轴交点坐标为(0，－b)，斜率为k.不计空气阻力，重力加速度为g，则下列说法正确的是(　　)

图11
A．该小球的质量为bg
B．小球运动的轨迹半径为
C．图线与横轴的交点表示小球所受的合外力为零
D．当v2＝a时，小球的向心加速度为g
答案　B
解析　小球在最高点时受到的拉力为F，则有：
F＋mg＝，
解得：F＝m－mg
结合题图乙可知：mg＝b，即m＝，斜率为k＝＝
解得：R＝＝，故A错误，B正确；
图线与横轴的交点表示小球所受的拉力为零，即合外力等于重力时的情况，故C错误；根据向心加速度公式可知a′＝＝＝＝2g，故D错误．

模型2　球—杆模型

例6　(2020·四川绵阳市诊断)如图12所示，轻杆长3L，在杆两端分别固定质量均为m的球A和B，光滑水平转轴穿过杆上距球A为L处的O点，外界给系统一定能量后，杆和球在竖直平面内转动，球B运动到最高点时，杆对球B恰好无作用力．忽略空气阻力，重力加速度为g，则球B在最高点时(　　)

图12
A．球B的速度为零
B．球A的速度大小为
C．水平转轴对杆的作用力为1.5mg
D．水平转轴对杆的作用力为2.5mg
答案　C
解析　球B运动到最高点时，杆对球B恰好无作用力，即重力恰好提供向心力，则有mg＝m，解得vB＝，故A错误；由于A、B两球的角速度相等，则球A的速度大小vA＝，故B错误；B球在最高点时，对杆无弹力，此时A球受到的重力和拉力的合力提供向心力，有F－mg＝m，解得：F＝1.5mg，根据牛顿第三定律可知，C正确，D错误．
变式3　一轻杆一端固定质量为m的小球，以另一端O为圆心，使小球在竖直面内做半径为R的圆周运动，如图13所示，重力加速度为g，则下列说法正确的是(　　)

图13
A．小球过最高点时，杆所受到的弹力可以等于零
B．小球过最高点的最小速度是
C．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而增大
D．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而减小
答案　A
解析　当小球在最高点所受的弹力为零时，有mg＝m，解得v＝，即当速度v＝时，轻杆所受的弹力为零，所以A正确．小球通过最高点的最小速度为零，所以B错误．小球在最高点，若v<，则有：mg－F＝m，轻杆的作用力随着速度的增大先减小后反向增大，若v>，则有：mg＋F＝m，轻杆的作用力随着速度增大而增大，所以C、D错误．

1．与摩擦力有关的临界极值问题
物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力．
(1)如果只是摩擦力提供向心力，则最大静摩擦力Fm＝，静摩擦力的方向一定指向圆心．
(2)如果除摩擦力以外还有其他力，如绳两端连接物体随水平面转动，其中一个物体存在一个恰不向内滑动的临界条件和一个恰不向外滑动的临界条件，分别为静摩擦力达到最大且静摩擦力的方向沿半径背离圆心和沿半径指向圆心．
2．与弹力有关的临界极值问题
(1)压力、支持力的临界条件是物体间的弹力恰好为零．
(2)绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且其上无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力．
例7　(多选)如图14所示，两个可视为质点的、相同的木块A和B放在转盘上，两者用长为L的细绳连接，木块与转盘的最大静摩擦力均为各自重力的K倍，A放在距离转轴L处，整个装置能绕通过转盘中心的转轴O1O2转动，开始时，绳恰好伸直但无弹力，现让该装置从静止开始转动，使角速度缓慢增大，以下说法正确的是(　　)

图14
A．当ω>时，A、B相对于转盘会滑动
B．当ω>，绳子一定有弹力
C．ω在<ω<范围内增大时，B所受摩擦力变大
D．ω在0<ω<范围内增大时，A所受摩擦力一直变大
答案　ABD
解析　当A、B所受摩擦力均达到最大值时，A、B相对转盘即将滑动，则有Kmg＋Kmg＝mω2L＋mω2·2L，解得：ω＝，A项正确；当B所受静摩擦力达到最大值后，绳子开始有弹力，即有：Kmg＝m·2L·ω2，解得ω＝，可知当ω>时，绳子有弹力，B项正确；当ω>时，B已达到最大静摩擦力，则ω在<ω<范围内增大时，B受到的摩擦力不变，C项错误；ω在0<ω<范围内，A相对转盘是静止的，A所受摩擦力为静摩擦力，所以由f－T＝mLω2可知，当ω增大时，静摩擦力也增大，D项正确．
变式4　(多选)质量为m的小球由轻绳a和b分别系于一轻质细杆的A点和B点，如图15所示，绳a与水平方向成θ角，绳b在水平方向且长为l，当轻杆绕轴AB以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，重力加速度为g，则下列说法正确的是(　　)

图15
A．a绳的张力不可能为零
B．a绳的张力随角速度的增大而增大
C．当角速度ω>，b绳将出现弹力
D．若b绳突然被剪断，则a绳的弹力一定发生变化
答案　AC


1．(2020·河北邢台市调研)如图1所示为公路自行车赛中运动员在水平路面上急转弯的情景，运动员在通过弯道时如果控制不当会发生侧滑而摔离正常比赛路线，将运动员与自行车看做一个整体，下列论述正确的是(　　)

图1
A．运动员转弯所需向心力由地面对车轮的支持力与重力的合力提供
B．运动员转弯所需向心力由地面对车轮的摩擦力提供
C．发生侧滑是因为运动员受到的合力方向背离圆心
D．发生侧滑是因为运动员受到的合力大于所需的向心力
答案　B
解析　向心力为沿半径方向上的合力．运动员转弯时，受力分析如图所示，

可知地面对车轮的摩擦力提供所需的向心力，故A错误，B正确；当f<，摩擦力不足以提供所需向心力时，就会离心发生侧滑，故C、D错误．
2.(多选)(2020·辽宁丹东市质检)在如图2所示的齿轮传动中，三个齿轮的半径之比为2∶3∶6，当齿轮转动的时候，关于小齿轮边缘的A点和大齿轮边缘的B点，(　　)

图2
A．A点和B点的线速度大小之比为1∶1
B．A点和B点的角速度之比为1∶1
C．A点和B点的角速度之比为3∶1
D．以上三个选项只有一个是正确的
答案　AC
解析　题图中三个齿轮边缘线速度相等，则A点和B点的线速度大小之比为1∶1，由v＝ωr可知，线速度一定时，角速度与半径成反比，则A点和B点角速度之比为3∶1，故A、C正确，B、D错误．
3.(多选)在修筑铁路时，弯道处的外轨会略高于内轨．如图3所示，当火车以规定的行驶速度转弯时，内、外轨均不会受到轮缘的挤压，设此时的速度大小为v，重力加速度为g，两轨所在面的倾角为θ，则(　　)

图3
A．该弯道的半径r＝
B．当火车质量改变时，规定的行驶速度大小不变
C．当火车速率大于v时，内轨将受到轮缘的挤压
D．当火车速率大于v时，外轨将受到轮缘的挤压
答案　ABD
解析　火车转弯时不侧向挤压车轮轮缘，靠重力和支持力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律有：mgtan θ＝m，解得：r＝，故A正确；根据牛顿第二定律有：mgtan θ＝m，解得：v＝，可知火车规定的行驶速度与质量无关，故B正确；当火车速率大于v时，重力和支持力的合力不足以提供向心力，此时外轨对火车有侧压力，轮缘挤压外轨，故C错误，D正确．
4．(2019·辽宁沈阳市第一次质检)我国高铁技术发展迅猛，目前处于世界领先水平，已知某路段为一半径为5 600米的弯道，设计时速为216 km/h(此时车轮轮缘与轨道间无挤压)，已知我国的高铁轨距约为1 400 mm，且角度较小时可近似认为tan θ＝sin θ，重力加速度g等于
10 m/s2，则此弯道内、外轨高度差应为(　　)
A．8 cm B．9 cm C．10 cm D．11 cm
答案　B
解析　由题可知：半径R＝5 600 m，时速为v＝216 km/h＝60 m/s；
根据牛顿第二定律有：mgtan θ＝m
解得：tan θ＝
由题意得tan θ＝sin θ＝
而L＝1 400 mm
联立得：h＝90 mm＝9 cm，故B正确，A、C、D错误．
5.(多选)(2019·四川南充市第一次高考适应性考试)如图4所示，A、B两个物体放在水平旋转的圆盘上，A的质量是m，B的质量为2m，B离轴距离为R，A离轴距离为2R，在转盘转速增加的过程中，两物体始终相对盘静止，则(　　)

图4
A．A与B的线速度大小之比为∶1
B．A与B的角速度之比为1∶1
C．A与B的向心加速度大小之比为1∶1
D．摩擦力对物体做正功
答案　BD
解析　A、B同轴转动，角速度相等，即ωA∶ωB＝1∶1，由v＝rω得：vA∶vB＝rA∶rB＝2∶1，故A错误，B正确；根据a＝rω2知，aA∶aB＝rA∶rB＝2∶1，故C错误；由于只有摩擦力对物体做功，由动能定理得：Wf＝ΔEk，转盘转速增加则动能增加，所以摩擦力对物体做正功，故D正确．
6．(2019·四川遂宁市三诊)如图5所示，图(a)中甲汽车在水平路面上转弯行驶，图(b)中乙汽车在倾斜路面上转弯行驶．关于两辆汽车的受力情况，以下说法正确的是(　　)

图5
A．两车都受到路面竖直向上的支持力作用
B．两车都一定受平行路面指向弯道内侧的摩擦力
C．甲车可能不受平行路面指向弯道内侧的摩擦力
D．乙车可能受平行路面指向弯道外侧的摩擦力
答案　D
解析　水平路面上的汽车在竖直方向上受竖直向上的支持力和竖直向下的重力，倾斜路面上汽车受到的支持力与倾斜路面垂直，故A错误．汽车转弯时的运动可看成圆周运动，向心力方向指向弯道内侧，令倾斜路面的倾角为θ，当乙车的速度满足m＝mgtan θ，即v＝，乙车恰好没有向路面内外两侧滑动的趋势，即此时乙车不受摩擦力作用；乙车在倾斜路面转弯，当速度大于时，重力与支持力的合力不足以提供向心力，这时乙车有向外运动的趋势，所以乙车受到路面的摩擦力指向弯道内侧；当速度小于时，重力与支持力的合力大于所需向心力，乙车有向里运动的趋势，此时乙车受到平行路面指向弯道外侧的摩擦力作用，故B错误，D正确．甲车转弯时，由静摩擦力提供做圆周运动所需的向心力，故甲车不可能不受平行于路面指向弯道内侧的摩擦力，故C错误．
7.(多选)(2019·四川成都七中5月测试)天花板下悬挂的轻质光滑小圆环P可绕过悬挂点的竖直轴无摩擦地旋转．一根轻绳穿过P，两端分别连接质量为m1和m2的小球A、B(m1≠m2)．设两球同时做如图6所示的圆锥摆运动，且在任意时刻两球均在同一水平面内，则(　　)

图6
A．两球运动的周期相等
B．两球的向心加速度大小相等
C．球A、B到P的距离之比等于m2∶m1
D．球A、B到P的距离之比等于m1∶m2
答案　AC
解析　对其中一个小球受力分析，其受到重力和绳的拉力T′，绳的拉力在竖直方向的分力与重力平衡，设轻绳与竖直方向的夹角为θ，则有T′cos θ＝mg，拉力在水平方向上的分力提供向心力，设该小球到P的距离为l，则有T′sin θ＝mgtan θ＝mlsin θ，解得周期为T＝2π＝2π，因为任意时刻两球均在同一水平面内，故两球运动的周期相等，选项A正确；连接两球的绳的张力T′相等，由于向心力为F向＝T′sin θ＝mω2lsin θ，故m与l成反比，即＝，又小球的向心加速度a＝ω2htan θ＝()2htan θ，故向心加速度大小不相等，选项C正确，B、D错误．
8．(2019·山东滨州市上学期期末)利用如图7实验装置可验证做匀速圆周运动的物体所受合外力与所需向心力的“供”“需”关系，启动小电动机带动小球做圆锥摆运动，不计一切阻力，移动水平圆盘，当盘与球恰好相切时关闭电动机，让球停止运动，悬线处于伸直状态．利用弹簧秤水平径向向外拉小球，使小球恰好离开圆盘且处于静止状态时，测出水平弹力的大小F.

图7
(1)为算出小球做匀速圆周运动时所需向心力，下列物理量还应该测出的有________．
A．用秒表测出小球运动周期T
B．用刻度尺测出小球做匀速圆周运动半径r
C．用刻度尺测出小球到线的悬点的竖直高度h
D．用天平测出小球质量m
(2)小球做匀速圆周运动时，所受重力与线拉力的合力大小________弹簧秤测出F大小．(选填“大于”“等于”或“小于”)
(3)当所测物理量满足________________关系式时，则做匀速圆周运动的物体所受合外力与所需向心力的“供”“需”平衡．
答案　(1)ABD　(2)等于　(3)mr＝F
解析　(1)根据向心力公式F向＝mr分析知，为算出小球做匀速圆周运动时所需向心力，需要测出小球做匀速圆周运动的周期T、半径r和小球质量m，故A、B、D正确，C错误．
(2)据题，小球静止时，F等于悬线拉力的水平分力，即有F＝mgtan θ，θ是悬线与竖直方向的夹角，小球做匀速圆周运动时，由重力与悬线拉力的合力提供向心力，重力与悬线拉力的合力大小F合＝mgtan θ，则F合＝F.
(3)当F向＝F合，即mr＝F时，做匀速圆周运动的物体所受合外力与所需向心力的“供”“需”平衡．

9．如图8甲所示，小球用不可伸长的轻绳连接后绕固定点O在竖直面内做圆周运动，小球经过最高点时的速度大小为v，此时绳子的拉力大小为T，拉力T与速度的平方v2的关系如图乙所示，图像中的数据a和b包括重力加速度g都为已知量，以下说法正确的是(　　)

图8
A．数据a与小球的质量有关
B．数据b与圆周轨道半径有关
C．比值只与小球的质量有关，与圆周轨道半径无关
D．利用数据a、b和g能够求出小球的质量和圆周轨道半径
答案　D
解析　在最高点对小球受力分析，由牛顿第二定律有T＋mg＝m，可得图线的函数表达式为T＝m－mg，题图乙中横轴截距为a，则有0＝m－mg，得a＝gR，A错误；图线过点(2a，b)，则b＝m－mg，可得b＝mg，B错误；＝，C错误；由b＝mg得m＝，由a＝gR得R＝，则D正确．
10.(多选)如图9所示，置于竖直面内的光滑金属圆环半径为r，质量为m的带孔小球穿于环上，同时有一长为r的细绳一端系于圆环最高点，另一端系小球，当圆环以角速度ω(ω≠0)绕竖直直径转动时(　　)

图9
A．细绳对小球的拉力可能为零
B．细绳和金属圆环对小球的作用力大小可能相等
C．细绳对小球拉力与小球的重力大小不可能相等
D．当ω＝时，金属圆环对小球的作用力为零
答案　CD
解析　圆环光滑，小球受到重力、环对球的弹力和绳子的拉力，根据几何关系可知，此时细绳与竖直方向的夹角为60°，当圆环旋转时，小球绕竖直轴做圆周运动，则有Tcos 60°＋Ncos 60°＝mg，Tsin 60°－Nsin 60°＝mω2rsin 60°，解得T＝mg＋mω2r，N＝mg－mω2r, 当ω＝ 时，金属圆环对小球的作用力N＝0，故C、D正确，A、B错误．
11.(多选)(2019·广东汕头市调研)如图10所示，两个质量均为m的小球A、B套在半径为R的圆环上，圆环可绕竖直方向的直径旋转，两小球随圆环一起转动且相对圆环静止．已知OA与竖直方向的夹角θ＝53°，OA与OB垂直，小球B与圆环间恰好没有摩擦力，重力加速度为g，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6.下列说法正确的是(　　)

图10
A．圆环旋转角速度的大小为
B．圆环旋转角速度的大小为
C．小球A与圆环间摩擦力的大小为mg
D．小球A与圆环间摩擦力的大小为mg
答案　AD
解析　圆环旋转的角速度与小球B旋转的角速度相同．小球B受到的合外力提供向心力，根据平行四边形定则可得F＝＝mg，由F＝mω2r，r＝Rcos θ，联立解得ω＝ ，故A正确，B错误；同理可得，对小球A进行分析，小球A受到的摩擦力大小为f，方向沿圆弧切线向上，根据牛顿第二定律，在竖直方向有N2cos θ＋fsin θ＝mg，在水平方向有N2sin θ－fcos θ＝mω2r′，其中r′＝Rsin θ，联立解得f＝mg，故C错误，D正确．

12．(多选)摩擦传动是传动装置中的一个重要模型，如图11所示的两个水平放置的轮盘靠摩擦力传动，其中O、O′分别为两轮盘的轴心，已知两个轮盘的半径比r甲∶r乙＝3∶1，且在正常工作时两轮盘不打滑．今在两轮盘上分别放置两个同种材料制成的完全相同的滑块A、B，两滑块与轮盘间的动摩擦因数相同，两滑块距离轴心O、O′的间距RA＝2RB.若轮盘乙由静止开始缓慢地转动起来，且转速逐渐增加，则下列叙述正确的是(　　)

图11
A．滑块A和B在与轮盘相对静止时，角速度之比为ω甲∶ω乙＝1∶3
B．滑块A和B在与轮盘相对静止时，向心加速度大小的比值为aA∶aB＝2∶9
C．转速增加后滑块B先发生滑动
D．转速增加后两滑块一起发生滑动
答案　ABC
解析　由题意可知两轮盘边缘的线速度大小相等，由v＝ωr，r甲∶r乙＝3∶1，可得ω甲∶ω乙＝1∶3，所以滑块相对轮盘滑动前，A、B的角速度之比为1∶3，故A正确．滑块相对轮盘开始滑动前，根据向心加速度公式：a＝Rω2，又RA∶RB＝2∶1，ωA：ωB＝1∶3，所以A、B的向心加速度大小之比为aA∶aB＝2∶9，故B正确．设滑块A、B的质量均为m，滑块的最大静摩擦力分别为fA＝μmg，fB＝μmg，则最大静摩擦力之比为fA∶fB＝1∶1；转动中所受的静摩擦力之比为fA′∶fB′＝maA∶maB＝2∶9，由上可得滑块B先达到最大静摩擦力而先开始滑动，故C正确，D错误．