2021高考物理（选择性考试）人教版一轮学案：专题三　天体运动的四类热点问题


专题三　天体运动的四类热点问题
专题解读
1．本专题是万有引力定律在天体运动中的特殊运用，同步卫星是以地球为中心相对地球静止的卫星，而双星或多星模型可能没有中心天体．近年来高考多以选择题形式在高考出现．
2．通过本专题的学习能加深万有引力定律的灵活应用，加深对力与运动关系的理解．
3．本专题主要用到的知识有：牛顿运动定律、圆周运动和万有引力定律．



(1)赤道轨道：卫星的轨道在赤道平面内，同步卫星就是其中的一种．
(2)极地轨道：卫星的轨道过南、北两极，即在垂直于赤道的平面内，如极地气象卫星．
(3)其他轨道：除以上两种轨道外的卫星轨道．
所有卫星的轨道平面一定通过地球的球心．

1．(多选)可以发射一颗这样的人造地球卫星，使其圆轨道(　　)
A．与地球表面上某一纬线(非赤道)是共面同心圆
B．与地球表面上某一经线所决定的圆是共面同心圆
C．与地球表面上的赤道线是共面同心圆，且卫星相对地球表面是静止的
D．与地球表面上的赤道线是共面同心圆，但卫星相对地球表面是运动的
解析：人造地球卫星运行时，由于地球对卫星的引力提供它做圆周运动的向心力，而这个力的方向必定指向圆心，即指向地心，也就是说人造地球卫星所在轨道圆的圆心一定要和地球的中心重合，不可能是地轴上(除地心外)的某一点，故A错误．由于地球同时绕着地轴在自转，所以卫星的轨道平面也不可能和经线所决定的平面共面，所以B错误．相对地球表面静止的卫星就是地球的同步卫星，它必须在赤道平面内，且距地面有确定的高度，这个高度约为三万六千千米，而低于或高于这个轨道的卫星也可以在赤道平面内运动．不过由于它们公转的周期和地球自转周期不同，就会相对于地面运动，C、D正确．
答案：CD

同步卫星是其公转与地球自转具有相同的周期，相对地面静止的卫星，同步卫星具有以下“七个一定”的特点．
(1)轨道平面一定：轨道平面与赤道平面共面．
(2)周期一定：与地球自转周期相同，即T＝24 h．
(3)角速度一定：与地球自转的角速度相同．
(4)高度一定：由G＝m(R＋h)得地球同步卫星离地面的高度h＝－R≈3.6×107 m.
(5)速率一定：v＝≈3.1×103 m/s.
(6)向心加速度一定：由G＝man得an＝＝gh＝0.23 m/s2，即同步卫星的向心加速度等于轨道处的重力加速度．
(7)绕行方向一定：运行方向与地球自转方向一致．

2．(多选)北斗卫星导航系统是我国自行研制开发的区域性三维卫星定位与通信系统(CNSS)，建立后的北斗卫星导航系统包括5颗同步卫星和30颗一般轨道卫星．关于这些卫星，以下说法正确的是(　　)
A．5颗同步卫星的轨道半径都相同
B．5颗同步卫星的运行轨道必定在同一平面内
C．导航系统所有卫星的运行速度一定大于第一宇宙速度
D．导航系统所有卫星中，运行轨道半径越大的周期越小
解析：所有同步卫星的轨道都位于赤道平面，轨道半径和运行周期都相同，选项A、B正确；卫星绕地球做匀速圆周运动，有G＝m，v＝，故卫星运行轨道半径越大，运行速度越小，只有在地球表面附近运行的卫星速度最大，称为第一宇宙速度，其他卫星运行速度都小于第一宇宙速度，选项C错误；由G＝mr得T2＝，则轨道半径r越大，周期越大，选项D错误．
答案：AB

(1)当卫星的速度突然增大时，G＜m，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变大．当卫星进入新的轨道稳定运行时，由v＝可知其运行速度比原轨道时减小，但重力势能、机械能均增加．
(2)当卫星的速度突然减小时，G＞m，即万有引力大于所需要的向心力，卫星将做近心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变小．当卫星进入新的轨道稳定运行时，由v ＝可知其运行速度比原轨道时增大，但重力势能、机械能均减小．

3.“嫦娥三号”探测器由“长征三号乙”运载火箭从西昌卫星发射中心发射，首次实现月球软着陆和月面巡视勘察．如图所示，假设“嫦娥三号”在环月圆轨道和椭圆轨道上运动时，只受到月球的万有引力，则(　　)
A．若已知“嫦娥三号”环月圆轨道的半径、运动周期和引力常量，则可以算出月球的密度
B．“嫦娥三号”由环月圆轨道变轨进入环月椭圆轨道时，应让发动机点火使其加速
C．“嫦娥三号”在环月椭圆轨道上P点的速度大于Q点的速度
D．“嫦娥三号”在环月圆轨道上的运行速率比月球的第一宇宙速度小
解析：由G＝mr，可得月球的质量M＝，由于月球的半径未知，无法求得月球的体积，故无法计算月球的密度，A错误；“嫦娥三号”在环月圆轨道上P点减速，使万有引力大于运行所需向心力，做近心运动，才能进入环月椭圆轨道，B错误；“嫦娥三号”在环月椭圆轨道上P点向Q点运动过程中，距离月球越来越近，月球对其引力做正功，故速度增大，即P点的速度小于Q点的速度，C错误；卫星离月球表面越高其速度越小，第一宇宙速度是星球表面附近卫星的环绕速度，故“嫦娥三号”在环月圆轨道上的运行速率比月球的第一宇宙速度小，D正确．
答案：D

考点一 赤道上的物体、近地卫星、同步卫星
1.解决同步卫星问题的“四点注意”
(1)基本关系：要抓住G＝ma＝m＝mrω2＝mr.
(2)重要手段：构建物理模型，绘制草图辅助分析．
(3)物理规律．
①不快不慢：具有特定的运行线速度、角速度和周期．
②不高不低：具有特定的位置高度和轨道半径．
③不偏不倚：同步卫星的运行轨道平面必须处于地球赤道平面上，只能静止在赤道上方的特定的点上．
(4)重要条件．
①地球的公转周期为1年，其自转周期为1天(24小时)，地球表面半径约为6.4×103 km，表面重力加速度g约为9.8 m/s2.
②月球的公转周期约27.3天，在一般估算中常取27天．
③人造地球卫星的运行半径最小为r＝6.4×103 km，运行周期最小为T＝84.8 min，运行速度最大为v＝7.9 km/s.
2．两个向心加速度

项目
卫星绕地球运行的向心加速度
物体随地球自转的向心加速度
产生原因
由万有引力产生
由万有引力的一个分力(另一分力为重力)产生
方向
指向地心
垂直且指向地轴
大小
a＝(地面附近a近似等于g)
a＝rω2，r为地面上某点到地轴的距离，ω为地球自转的角速度
特点
随卫星到地心的距离的增大而减小
从赤道到两极逐渐减小
3.两种周期
(1)自转周期是天体绕自身某轴线转动一周所需的时间，取决于天体自身转动的快慢．
(2)公转周期是运行天体绕中心天体做圆周运动一周所需的时间，T＝2π，取决于中心天体的质量和运行天体到中心天体的距离．
　有三颗质量相同的人造地球卫星1、2、3，1是放置在赤道附近还未发射的卫星，2是靠近地球表面做圆周运动的卫星，3是在高空的一颗地球同步卫星．比较1、2、3三颗人造卫星的运动周期T、线速度v、角速度ω和向心力F，下列判断正确的是(　　)
A．T1＜T2＜T3　　　　　　B．ω1＝ω3＜ω2
C．v1＝v3＜v2 D．F1＞F2＞F3
[思维点拨]　卫星1和卫星3有相同的角速度和周期，分成一组；卫星2和卫星3有相同的中心天体，分成一组．利用各量间的关系式和牛顿第二定律结合向心力公式进行求解和分析．
解析：三颗卫星的半径关系为r1＝r2＜r3.将卫星1和卫星3作为一组，根据同步卫星的特点可知ω1＝ω3，T1＝T3，根据公式v＝rω和a＝rω2可知v1＜v3，a1＜a3；将卫星2和卫星3作为一组，由＝m＝mrω2＝m·r得v2＞v3，T2＜T3，ω2＞ω3.综上可知T1＝T3＞T2，ω1＝ω3＜ω2，v2＞v3＞v1，故B选项正确，A、C选项错误．对于卫星1、3，向心力F＝mrω2，则F1＜F3；对于卫星2、3，向心力F＝，则F2＞F3，所以F2＞F3＞F1，D选项错误．
答案：B





卫星绕地球转动与物体随地球自转的比较

项目
卫星绕地球的转动
物体随地球自转的转动
向心力
地球对卫星的引力
地球对物体的引力和地面支持力的合力
向心力
方向
指向地心
垂直指向地轴
向心
加速度
a1＝G
a2＝ω2R＝≈
0．034 m/s2


考点二 卫星的变轨问题
1.两类变轨

两类变轨
离心运动
近心运动
示意图


变轨起因
卫星速度突然增大
卫星速度突然减小
万有引力与向心力的
大小关系
G＜m
G＞m
2.理解椭圆双切轨道
如图所示，椭圆轨道Ⅱ与圆周轨道Ⅰ、Ⅲ相切于A、B两点，卫星通过A、B点相继在三个轨道上运行，叫作椭圆双切轨道．
(1)速度有v1＞v2＞v3＞v4.
分析：在椭圆Ⅱ上的切点A处有v1＞v2.
圆周Ⅰ和圆周Ⅲ比较有v2＞v3.
在椭圆Ⅱ上的切点B处有v3＞v4.(v1是在椭圆Ⅱ上经A点的速度，v2是圆周Ⅰ的速度)
(2)沿椭圆Ⅱ由A至B，加速度逐渐变小．
(3)能量特点．

变轨类型
引力做功情况
Ek
Ep
E机
圆周Ⅰ
不做功
大
小
小
圆周Ⅲ
不做功
小
大
大
椭圆Ⅱ
A→B
负
减小
增大
中
B→A
正
增大
减小
(4)瞬时变轨特点．
在A点，由圆周Ⅰ变至椭圆Ⅱ时，发动机向后瞬时喷气、推力做正功，动能增加、势能不变、机械能增加．
在B点，由椭圆Ⅱ变至圆周Ⅲ时，发动机向后瞬时喷气、推力做正功，动能增加、势能不变、机械能增加．
反之也有相应的规律．
(5)周期有TⅠ＜TⅡ＜TⅢ.
分析：圆周Ⅰ、Ⅲ有TⅠ＝2π ＜TⅢ＝2π .
由几何关系知椭圆半长轴为，由开普勒第三定律知椭圆轨道Ⅱ有TⅡ＝2π，计算知TⅡ介于TⅢ、TⅠ之间．
　2018年12月8日，“嫦娥四号”发射成功．如图所示，假设月球半径为R，月球表面的重力加速度为g0，“嫦娥四号”在距月球表面高度为3R的圆形轨道Ⅰ上运动，到达轨道的A点点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达轨道的近月点B再次点火进入近月轨道Ⅲ绕月球做圆周运动，则(　　)

A．“嫦娥四号”在B点处点火后，动能增加
B．由已知条件不能求出“嫦娥四号”在轨道Ⅱ上的运行周期
C．只有万有引力作用情况下，“嫦娥四号”在轨道Ⅱ上通过B点的加速度大于在轨道Ⅲ上通过B点的加速度
D．“嫦娥四号”在轨道Ⅲ上绕月球运行一周所需的时间为2π
[思维点拨]　由低轨道到高轨道要点火加速度；变轨中相切点的加速度相等；根据万有引力提供向心力，可求出“嫦娥四号”在轨道Ⅲ上绕月球运行的周期；根据开普勒定律可求出“嫦娥四号”在轨道Ⅱ上的运行周期．
解析：在椭圆轨道近地点变轨成为圆轨道，要实现变轨应给“嫦娥四号”点火减速，减小所需要的向心力，故点火后动能减小，A错误．设“嫦娥四号”在近月轨道Ⅲ绕月运行一周所需时间为T3，则mg0＝mR，解得T3＝2π.根据几何关系可知轨道Ⅱ的半长轴a，由开普勒第三定律＝k，以及轨道Ⅲ的周期，可求出轨道Ⅱ上的运行周期，B错误，D正确．只有在万有引力作用下，“嫦娥四号”在轨道Ⅱ上通过B点的加速度与在Ⅲ轨道通过B点加速度相同，故C错误．
答案：D


卫星在轨期间改变运行轨道的过程称为变轨
从动力学角度分析——卫星由低空轨道变轨到高空轨道，需要火箭点火，向着运动的反方向喷出气体使卫星加速，则卫星做圆周运动所需的向心力增加，但是卫星受到的万有引力提供的向心力不变，因此卫星将会做离心运动，其运行轨道将提升，速度将会减小．由于变轨前后瞬间卫星(或探测器)到中心天体的距离不变，所受万有引力(合外力)大小不变，所以变轨前后瞬间卫星虽属不同轨道，但其加速度不变．
从能量角度分析——人造卫星在变轨(由低轨道升至高轨道)的过程中，重力势能增加值远远大于动能减少值．即在变轨过程中，发动机消耗的能量E主要是为了增加人造卫星的重力势能．据能量守恒关系，有E＋ΔEk＝ΔEp，也就是说人造卫星调整到高轨道是以动能的损失和发动机消耗能量为代价来增加其重力势能．

考点三 双星或多星问题
1.双星模型
(1)定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统，如图所示．

(2)特点．
①各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即
＝m1ωr1，＝m2ωr2.
②两颗星的周期及角速度都相同，即
T1＝T2，ω1＝ω2.
③两颗星的半径与它们之间的距离关系为：r1＋r2＝L.
④两颗星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，
即＝.
⑤双星的运动周期为：
T＝2π.
⑥双星的总质量为：
m1＋m2＝.
2．多星模型
(1)定义：所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同．
(2)三星模型．
①三颗星位于同一直线上，两颗环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行(如图甲所示)．
②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图乙所示)．

(3)四星模型．
①其中一种是四颗质量相等的恒星位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动(如图丙所示)．
②另一种是三颗恒星始终位于正三角形的三个顶点上，另一颗位于中心O，外围三颗星绕O做匀速圆周运动(如图丁所示)．
3．分析思路

　质量分别为m和M的两个星球A和B在万有引力作用下都绕O点做匀速圆周运动，星球A和B两者中心之间距离为L.已知A、B的中心和O三点始终共线，A和B分别在O的两侧，引力常数为G.
(1)求两星球做圆周运动的周期；
(2)在地月系统中，若忽略其他星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A和B，月球绕其轨道中心运行的周期记为T1.但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期记为T2.已知地球和月球的质量分别为5.98×1024 kg和7.35×1022 kg.求T2与T1两者平方之比(结果保留三位小数)．
[思维点拨]　双星相互作用的是万有引力在各自受到万有引力作用下绕圆心做半径不同的圆周运动，但角速度周期是相同的．
解析：(1)两星球围绕同一点O做匀速圆周运动，其角速度一样，周期也一样，其所需向心力由两者间的万有引力提供，由牛顿第二定律，得
对于M：G＝Mr1，
对于m：G＝mr2，
其中r1＋r2＝L，
由以上三式，可得
T＝2π.
(2)若认为地球和月球都围绕中心连线某点O做匀速圆周运动，由(1)可知其两球运行周期为：
T1＝2π.
若认为月球围绕地心做匀速圆周运动，由万有引力定律和牛顿第二定律，得
G＝mL，
解得T2＝，故＝＝1.012.
答案：(1)2π　(2)1.012

解答双星问题应注意“两等”“两不等”
1．双星问题的“两等”：
(1)它们的角速度相等．
(2)双星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供，即它们受到的向心力大小总是相等的．
2．“两不等”：
(1)双星做匀速圆周运动的圆心是它们连线上的一点，所以双星做匀速圆周运动的半径与双星间的距离是不相等的，它们的轨道半径之和才等于它们间的距离．
(2)由m1ω2r1＝m2ω2r2知由于m1与m2一般不相等，故r1与r2一般也不相等．


考点四 天体的追及相遇问题
“天体相遇”，指两天体相距最近．若两环绕天体的运转轨道在同一平面内，则两环绕天体与中心天体在同一直线上，且位于中心天体的同侧(或异侧)时相距最近(或最远)．类似于在田径场赛道上的循环长跑比赛，跑得快的每隔一段时间多跑一圈追上并超过跑得慢的．解决这类问题有两种常用方法：

1．角度关系
设天体1(离中心近些)与天体2某时刻相距最近，如果经过时间t，两天体与中心连线半径转过的角度之差(或和)等于2π的整数倍，则两天体又相距最近，即ω1t－ω2t＝2nπ(同向)或ω1t＋ω2t＝2nπ(n＝1，2，3，…)(反向)如果经过时间t′，两天体与中心连线半径转过的角度之差(或和)等于π的奇数倍，则两天体又相距最远，即ω1t′－ω2t′＝(2n－1)π(n＝1，2，3，…)(同向)或ω1t＋ω2t′＝(2n－1)π(n＝1，2，3，…)(反向)．
2．圈数关系
最近：－＝n(同向)，＋＝n(n＝1，2，3…)(反向)．
最远：－＝(同向)，＋＝(n＝1，2，3，…)(反向)．
　两颗卫星在同一轨道平面内绕地球做匀速圆周运动．地球半径为R，a卫星离地面的高度等于R，b卫星离地面的高度等于3R.则
(1)a、b两卫星周期之比Ta∶Tb是多少？
(2)若某时刻两卫星正好同时通过地面同一点的正上方，则a经多长时间两卫星相距最远？
[思维点拨]　根据万有引力提供向心力的周期表达形式，求得a、b两卫星的周期之比；根据天体中的追及相遇问题的角度关系或圈 数关系求得相距最远的时间．
解析：(1)根据＝mr，得T＝，
则Ta＝2π，Tb＝2π，
所以＝.
(2)设经过时间t两卫星相距最远，则
－＝(2n－1)(n＝1，2，3，…)，
所以t＝(2n－1)Ta(n＝1，2，3，…)．
答案：(1)　(2)t＝(2n－1)Ta(n＝1，2，3，…)

1.(2019·山西应县一中月考)有a、b、c、d四颗地球卫星，a还未发射，在地球赤道上随地球表面一起转动，b处于地面附近的近地轨道上正常运动，c是地球同步卫星，d是高空探测卫星，各卫星排列位置如图所示，则有(　　)

A．a的向心加速度等于重力加速度g
B．b在相同时间内转过的弧长最短
C．c在4小时内转过的圆心角是
D．d的运行周期有可能是20小时
答案：C
2．(多选)(2019·苏、锡、常、镇四市调研)如图所示，我国自主研发的北斗卫星导航系统由35颗卫星组成，包括分布于a类型轨道的5颗同步轨道卫星、分布于b类型轨道的3颗倾斜轨道卫星(与同步卫星轨道半径相同，轨道倾角55°)和分布于c类型轨道的27颗中轨道卫星，中轨道卫星在3个互成120°的轨道面上做圆周运动．预计2020年全部建成．下列说法正确的是(　　)

A．a类型轨道上的卫星相对于地面静止且处平衡状态
B．a类型轨道上的卫星运行速率等于b类型卫星的速率
C．b类型轨道上的卫星也与地球保持相对静止
D．三类卫星相比，c类卫星的向心加速度最大
答案：BD
3．(2019·沈阳一模)“嫦娥三号”的飞行轨道示意图如图所示．假设“嫦娥三号”在环月段圆轨道和椭圆轨道上运动时，只受到月球的万有引力，则(　　)

A．若已知“嫦娥三号”环月段圆轨道的半径、运动周期和引力常量，则可算出月球的密度
B．“嫦娥三号”由环月段圆轨道变轨进入环月段椭圆轨道时，应让发动机点火使其加速
C．“嫦娥三号”在环月段椭圆轨道上P点的速度大于Q点的速度
D．“嫦娥三号”在动力下降段，处于超重状态
答案：D
4.(多选)(2019·安徽池州第二次质检)如图所示，在发射地球同步卫星的过程中，卫星首先进入椭圆轨道Ⅰ，然后在Q点通过改变卫星速度，让卫星进入地球同步轨道Ⅱ，则(　　)
A．卫星在轨道Ⅰ上运行经过Q点的加速度等于在轨道Ⅱ上运行经过Q点的加速度
B．卫星在同步轨道Ⅱ上的运行速度大于7.9 km/s
C．在轨道Ⅰ上，卫星在P点机械能大于在Q点的机械能
D．卫星在Q点通过加速实现由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ
答案：AD
5．2016年2月11日，美国科学家宣布探测到引力波．双星的运动是产生引力波的来源之一．假设宇宙中有一双星系统由a、b两颗星体组成，这两颗星绕它们连线的某一点在万有引力作用下做匀速圆周运动，测得a星的周期为T，a、b两颗星的距离为l，a、b两颗星的轨道半径之差为Δr(a星的轨道半径大于b星的)，则(　　)
A．b星的周期为T
B．a星的线速度大小为
C．a、b两颗星的半径之比为
D．a、b两颗星的质量之比为
解析：由双星系统的运动规律可知，双星的周期相等，均为T，则A错误；由ra＋rb＝l，ra－rb＝Δr，得ra＝(l＋Δr)，rb＝(l－Δr)，则a星的线速度大小va＝＝，B正确；＝，则C错误；双星运动中满足＝＝，则D错误．
答案：B
6.(多选)宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中有一种三星系统如图所示，三颗质量均为m的星位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为R，忽略其他星体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心O做匀速圆周运动，万有引力常量为G，则(　　)
A．每颗星做圆周运动的线速度为
B．每颗星做圆周运动的角速度为
C．每颗星做圆周运动的周期为2π
D．每颗星做圆周运动的加速度与三星的质量无关
解析：由图可知，每颗星做匀速圆周运动的半径r＝＝R.由牛顿第二定律得·2cos 30°＝m＝mω2r＝mr＝ma，解得v＝，ω＝，T＝2π，a＝，故A、B、C均正确，D错误．
答案：ABC
7.(多选)某行星和地球绕太阳公转的轨道均可视为圆．每过N年，该行星会运行到日地连线的延长线上(相距最近)，如图所示．该行星与地球的公转半径之比为a，公转周期之比为b，则(　　)
A．a＝　　　　　　　　B．b＝
C．b＝ D．a＝
答案：BD
8．(多选)太阳系各行星几乎在同一平面内沿同—方向绕太阳做圆周运动．当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，天文学称为“行星冲日”．据报道，2014年各行星冲日时间分别是1月6日木星冲日；4月9日火星冲日；5月11日土星冲日；8月29日海王星冲日；10月8日天王星冲日．已知地球及各地外行星绕太阳运动的轨道半径如下表所示．则下列判断正确的是(　　)

项目
地球
火星
木星
土星
天王星
海王星
轨道半径
(AU)
1.0
1.5
5.2
9.5
19
30
A.各地外行星每年都会出现冲日现象
B．在2015年内一定会出现木星冲日
C．天王星相邻两次冲日的时间间隔为土星的一半
D．地外行星中，海王星相邻两次冲日的时间间隔最短
答案：BD