2019版高考数学（理）一轮精选教师用书人教通用：第4章1第1讲　任意角和弧度制及任意角的三角函数




知识点
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任意角的概念与弧度制、任意角的三角函数
了解任意角的概念.
了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化.
理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.
同角三角函数的基本关系式与诱导公式
理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，＝tan x.
能利用单位圆中的三角函数线推导出±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.
两角和与差的正弦、余弦及正切公式
会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.
能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.
能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.
简单的三角恒等变换
能运用公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).
三角函数的图象与性质
能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性.
理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x轴的交点等)，理解正切函数在区间内的单调性.
函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用
了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出y＝Asin(ωx＋φ)的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响.
了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题.
正弦定理和余弦定理
掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.
解三角形应用举例
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.
第1讲　任意角和弧度制及任意角的三角函数


1．任意角的概念
(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．
(2)角的分类

按旋转方向
正角
按逆时针方向旋转而成的角
负角
按顺时针方向旋转而成的角
零角
射线没有旋转
按终边位置
前提：角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合
象限角
角的终边在第几象限，这个角就是第几象限角
其他
角的终边落在坐标轴上
(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．
2．弧度制
(1)定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．弧度记作rad.
(2)公式

角α的弧度数公式
|α|＝
角度与弧度的换算
1°＝rad，1 rad＝°≈57°18′
弧长公式
l＝|α|·r
扇形面积公式
S＝l·r＝|α|·r2
3.任意角的三角函数

三角函数
正 弦
余 弦
正 切
定 义
设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么
y叫做α的正弦，记作sin α
x叫做α的余弦，记作cos α
叫做α的正切，记作tan α
各象限符号
Ⅰ
正
正
正
Ⅱ
正
负
负
Ⅲ
负
负
正
Ⅳ
负
正
负
口诀
一全正，二正弦，三正切，四余弦




三角函数线



有向线段MP为正弦线，有向线段OM为余弦线，有向线段AT为正切线

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角．(　　)
(2)角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关．(　　)
(3)不相等的角终边一定不相同．(　　)
(4)终边相同的角的同一三角函数值相等．(　　)
(5)若α∈，则tan α＞sin α.(　　)
(6)若α为第一象限角，则sin α＋cos α＞1.(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√　(5)√　(6)√
(教材习题改编)若θ满足sin θ＜0，cos θ＞0，则θ的终边在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选D.由sin θ＜0，θ的终边可能位于第三象限或第四象限，也可能与y轴的非正半轴重合，cos θ＞0，θ的终边可能位于第一象限，也可能位于第四象限，也可能与x轴的非负半轴重合，故θ的终边在第四象限．
若α＝1 560°，角θ与α终边相同，且－360°＜θ＜360°，则θ＝________．
解析：因为α＝1 560°＝4×360°＋120°，
所以与α终边相同的角为360°×k＋120°，k∈Z，
令k＝－1或k＝0可得θ＝－240°或θ＝120°.
答案：120°或－240°
已知扇形的圆心角为60°，其弧长为2π，则此扇形的面积为________．
解析：设此扇形的半径为r，
由题意得r＝2π，所以r＝6，
所以此扇形的面积为×2π×6＝6π.
答案：6π


　　　　　　象限角及终边相同的角
[典例引领]
(1)若角α是第二象限角，则是(　　)
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角
(2)终边在直线y＝x上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________．
【解析】　(1)因为α是第二象限角，
所以＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z，
所以＋kπ＜＜＋kπ，k∈Z.
当k为偶数时，是第一象限角；
当k为奇数时，是第三象限角．
(2)如图，在坐标系中画出直线y＝x，可以发现它与x轴的夹角是，在[0，2π)内，终边在直线y＝x上的角有两个：，π；在[－2π，0)内满足条件的角有两个：－π，－π，故满足条件的角α构成的集合为.

【答案】　(1)C　(2)

在本例(1)的条件下，判断2α为第几象限角？
解：因为α是第二象限角，所以90°＋k·360°＜α＜180°＋k·360°(k∈Z)，则180°＋2k·360°＜2α＜360°＋2k·360°(k∈Z)，所以2α可能是第三象限角、第四象限角或终边在y轴非正半轴上的角．

(1)表示区间角集合的三个步骤

(2)求或nθ(n∈N*)所在象限(位置)的方法
①将θ的范围用不等式(含有k)表示．
②两边同除以n或乘以n.
③对k进行讨论，得到或nθ(n∈N*)所在的象限(位置)．　
[通关练习]
1．在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________．
解析：所有与45°有相同终边的角可表示为：
β＝45°＋k×360°(k∈Z)，
则令－720°≤45°＋k×360°cos x成立的x的取值范围是(2kπ＋，2kπ＋)，k∈Z.
答案：(2kπ＋，2kπ＋)，k∈Z
5．若角θ的终边过点P(－4a，3a)(a≠0)．
(1)求sin θ＋cos θ的值；
(2)试判断cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号．
解：(1)因为角θ的终边过点P(－4a，3a)(a≠0)，
所以x＝－4a，y＝3a，r＝5|a|，
当a＞0时，r＝5a，sin θ＋cos θ＝－.
当a＜0时，r＝－5a，sin θ＋cos θ＝.
(2)当a＞0时，sin θ＝∈，
cos θ＝－∈，
则cos(sin θ)·sin(cos θ)
＝cos ·sin＜0；
当a＜0时，sin θ＝－∈，
cos θ＝∈，
则cos(sin θ)·sin(cos θ)
＝cos·sin ＞0.
综上，当a＞0时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为负；当a＜0时，cos(sin θ)·sin (cos θ)的符号为正．
6．如图，在平面直角坐标系xOy中，角α的始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A点，它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B，始边不动，终边在运动．

(1)若点B的横坐标为－，求tan α的值；
(2)若△AOB为等边三角形，写出与角α终边相同的角β的集合；
(3)若α∈，请写出弓形AB的面积S与α的函数关系式．
解：(1)由题意可得B，
根据三角函数的定义得tan α＝＝－.
(2)若△AOB为等边三角形，则∠AOB＝，
故与角α终边相同的角β的集合为
.
(3)若α∈，
则S扇形＝αr2＝α，
而S△AOB＝×1×1×sin α＝sin α，
故弓形的面积
S＝S扇形－S△AOB＝α－sin α，α∈.