2019版高考数学（理）一轮精选教师用书人教通用：第4章2第2讲　同角三角函数的基本关系与诱导公式

第2讲　同角三角函数的基本关系与诱导公式

1．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1．
(2)商数关系：tan α＝．
[提醒]　基本关系式的变形
sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α，sin α＝tan αcos α，cos α＝，(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.
2．六组诱导公式

组数
一
二
三
四
五
六
角
α＋2kπ(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
－α
＋α
正弦
sin α
－sin__α
－sin α
sin α
cos__α
cos α
余弦
cos α
－cos α
cos__α
－cos α
sin α
－sin__α
正切
tan α
tan α
－tan α
－tan__α


口诀
函数名不变
符号看象限
函数名改变
符号看象限
简记口诀：把角统一表示为±α(k∈Z)的形式，奇变偶不变，符号看象限．

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对任意的角α，β，都有sin2α＋cos2β＝1.(　　)
(2)若α∈R，则tan α＝恒成立．(　　)
(3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．(　　)
(4)若cos(nπ－θ)＝(n∈Z)，则cos θ＝.(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
已知α是第二象限角，sin α＝，则cos α＝(　　)
A．－　　 B．－
C. D.
解析：选A.因为α是第二象限角，所以cos α＜0，可排除选项C，D，又sin2α＋cos2α＝1，所以排除选项B.
若sin θcos θ＝，则tan θ＋的值是(　　)
A．－2 B．2
C．±2 D.
解析：选B.tan θ＋＝＋＝＝2.
sin 2 490°＝________；cos＝________．
解析：sin 2 490°＝sin(7×360°－30°)
＝－sin 30°＝－.
cos＝cos＝cos(π＋)
＝－cos ＝－.
答案：－　－
化简·sin(α－π)·cos(2π－α)的结果为________．
解析：原式＝·(－sin α)·cos(－α)
＝·(－sin α)·cos α
＝·(－sin α)·cos α＝－sin2α.
答案：－sin2α


　　　　　　同角三角函数的基本关系式(高频考点)
同角三角函数的基本关系式的应用很广泛，也比较灵活．高考中常以选择题、填空题的形式出现．高考对同角三角函数基本关系式的考查主要有以下三个命题角度：
(1)知弦求弦；
(2)知弦求切；
(3)知切求弦．
[典例引领]
角度一　知弦求弦
(1)若sin(π－α)＝，且≤α≤π，则sin 2α的值为(　　)
A．－　　 B．－
C. D.
(2)已知sin θ＋cos θ＝，θ∈(0，)，则sin θ－cos θ的值为(　　)
A. B.
C．－ D．－
【解析】　(1)因为sin(π－α)＝sin α＝，≤α≤π，所以cos α＝－，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－.
(2)(sin θ＋cos θ)2＝，所以1＋2sin θcos θ＝，所以2sin θcos θ＝，由(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θ·cos θ＝1－＝，可得sin θ－cos θ＝±.又因为θ∈(0，)，sin θ