2019版高考数学（理）一轮精选教师用书人教通用：第4章4第4讲　简单的三角恒等变换

第4讲　简单的三角恒等变换

　　　　　三角函数式的化简

 [典例引领]

化简：(1)(0<θ<π)；

(2)·.

【解】　(1)原式＝

＝

＝.

因为0<θ<π，所以0<<，所以cos >0.

所以原式＝－cos θ.

(2)原式＝·

＝·

＝·＝.

三角函数式的化简要遵循“三看”原则

[通关练习]

1．(2018·长沙模拟)化简：＝________．

解析：＝＝

＝4sin α.

答案：4sin α

2．化简：.

解：原式＝

＝

＝

＝cos 2x.

　　　　　　三角函数式的求值(高频考点)

三角函数式的求值在高考中主要以选择题形式出现，有时以解答题某一步出现，试题难度较小．高考对三角函数求值的考查有以下三个命题角度：

(1)给角求值；

(2)给值求值；

(3)给值求角．

[典例引领]

角度一　给角求值

的值是________．

【解析】　＝

＝＝＝2.

【答案】　2

角度二　给值求值

已知α∈，且2sin2α－sin αcos α－3cos2 α＝0，求的值．

【解】　因为α∈，且2sin2α－sin αcos α－3cos2α＝0，则(2sin α－3cos α)(sin α＋cos α)＝0，

所以2sin α＝3cos α，又sin2α＋cos2α＝1，

所以cos α＝，sin α＝，

所以

＝＝.

角度三　给值求角

已知tan α，tan β是方程x2＋3x＋4＝0的两根，且α，β∈，则α＋β＝(　　)

A.　　　　　　　　　　　 B.或－

C．－或 D．－

【解析】　由题意得tan α＋tan β＝－3<0，tan αtan β＝4>0，所以tan(α＋β)＝＝，且tan α<0，tan β<0，又由α，β∈得α，β∈，所以α＋β∈(－π，0)，所以α＋β＝－.

【答案】　D

三角函数求值的3种情况

 [通关练习]

1．计算：＝(　　)

A. B．－

C. D．－

解析：选D.原式＝－·＝－tan＝－×＝－.

2．已知sin α＝且α为第二象限角，则tan＝(　　)

A．－ B．－

C．－ D．－

解析：选D.由题意得cos α＝－，则sin 2α＝－，cos 2α＝2cos2α－1＝，所以tan 2α＝－，所以tan＝＝＝－.

3．(2018·南充模拟)已知α∈，β∈，且cos α＝，cos(α＋β)＝－，则β＝________．

解析：因为α∈，β∈，且cos α＝，cos＝－，

所以sin α＝＝，

sin(α＋β)＝＝，

则sin β＝sin[(α＋β)－α]

＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α

＝×－×＝，因为β∈，所以β＝.

答案：

　　　　　　三角恒等变换的简单应用

 [典例引领]

如图，现要在一块半径为1 m，圆心角为的扇形白铁片AOB上剪出一个平行四边形MNPQ，使点P在弧AB上，点Q在OA上，点M，N在OB上，设∠BOP＝θ，平行四边形MNPQ的面积为S.

(1)求S关于θ的函数关系式；

(2)求S的最大值及相应的θ角．

【解】　(1)分别过P，Q作PD⊥OB于点D，QE⊥OB于点E，则四边形QEDP为矩形．

由扇形半径为1 m，得PD＝sin θ，OD＝cos θ.

在Rt△OEQ中，

OE＝QE＝PD，

MN＝QP＝DE＝OD－OE＝cos θ－sin θ，

S＝MN·PD＝·sin θ

＝sin θcos θ－sin2θ，θ∈.

(2)S＝sin 2θ－(1－cos 2θ)

＝sin 2θ＋cos 2θ－＝sin－，

因为θ∈，

所以2θ＋∈，sin∈.

当θ＝时，Smax＝(m2)．

利用三角恒等变换解决实际问题的思路

(1)结合具体图形引进角为参数，利用三角函数的有关公式进行化简，解决最优化问题．

(2)解决三角函数应用问题和解决一般应用性问题一样，先建模，再讨论变量的范围，最后作出结论并回答问题．

[提醒]　注意恰当选择自变量，并利用解直角三角形等知识表示有关线段．

如图，有一块以点O为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD开辟为绿地，使其一边AD落在半圆的直径上，另两点B，C落在半圆的圆周上．已知半圆的半径长为20 m，如何选择关于点O对称的点A，D的位置，可以使矩形ABCD的面积最大，最大值是多少？

解：连接OB，设∠AOB＝θ，

则AB＝OBsin θ＝20sin θ，OA＝OBcos θ＝20cos θ，且θ∈.

因为A，D关于原点对称，

所以AD＝2OA＝40cos θ.

设矩形ABCD的面积为S，则

S＝AD·AB＝40cos θ·20sin θ

＝400sin 2θ.因为θ∈，

所以当sin 2θ＝1，

即θ＝时，Smax＝400(m2)．

此时AO＝DO＝10(m)．

故当A、D距离圆心O为10 m时，矩形ABCD的面积最大，其最大面积是400 m2.

三角恒等变换三大原则

(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”．

(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”“升幂与降幂”等．

(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有“常值代换”“正用、逆用公式”“通分与约分”“分解与组合”“配方与平方”等．

易错防范

在求角的某个三角函数值时，应注意根据条件选择恰当的函数，尽量做到所选函数在确定角的范围内为一对一函数．

(1)已知正切函数值，选正切函数；

(2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦函数皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦函数较好；若角的范围为，选正弦函数较好．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．已知sin 2α＝，则cos2＝(　　)

A.　 B．－

C. D．－

解析：选C.cos2＝＝＝＝，故选C.

2．已知f(x)＝2tan x－，则f的值为(　　)

A．4 B.

C．4 D．8

解析：选D.因为f(x)＝2＝2×＝2×＝，

所以f＝＝8.

3．(2018·湖北新联考模拟)＝(　　)

A. B.

C. D．1

解析：选A.＝＝＝＝.故选A.

4．已知α，β均为锐角，(1＋tanα)(1＋tan β)＝2，则α＋β为(　　)

A. B.

C.   D.

解析：选B.由(1＋tan α)(1＋tan β)＝2得

tan α＋tan β＝1－tan αtan β，

所以tan(α＋β)＝＝＝1.

因为0<α，β<，所以0<α＋β<π，所以α＋β＝.

5．sin220°＋cos280°＋sin 20°cos 80°的值为(　　)

A. B.

C. D．1

解析：选A.sin220°＋cos280°＋sin 20°·cos 80°

＝(1－cos 40°)＋(1＋cos 160°)＋sin 20°cos(60°＋20°)

＝1－cos 40°＋(cos 120°·cos 40°－sin 120°·sin 40°)＋sin 20°(cos 60°cos 20°－sin 60°sin 20°)

＝1－cos 40°－cos 40°－sin 40°＋sin 40°－sin220°

＝1－cos 40°－(1－cos 40°)＝.

6.－＝________．

解析：原式＝

＝＝tan 30°＝.

答案：

7．已知cos 2θ＝，则sin4θ＋cos4θ＝________．

解析：法一：因为cos 2θ＝，

所以2cos2θ－1＝，1－2sin2θ＝，

因为cos2θ＝，sin2θ＝，

所以sin4θ＋cos4θ＝.

法二：sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－sin22θ

＝1－(1－cos22θ)＝1－×＝.

答案：

8．已知＝，tan(α－β)＝，则tan β＝________．

解析：因为＝，所以＝，＝1，所以tan α＝1，又因为tan(α－β)＝，

所以tan β＝tan[α－(α－β)]＝＝＝.

答案：

9．化简：.

解：

＝＝

＝＝＝

＝＝tan α.

10．已知tan α＝－，cos β＝，α∈，β∈，求tan(α＋β)的值，并求出α＋β的值．

解：由cos β＝，β∈，

得sin β＝，tan β＝2.

所以tan(α＋β)＝

＝＝1.

因为α∈，β∈，

所以<α＋β<，

所以α＋β＝.

1．若sin 2α＝，sin(β－α)＝，且α∈，β∈，则α＋β的值是(　　)

A. B.

C.或   D.或

解析：选A.因为sin 2α＝，α∈，所以cos 2α＝－且α∈，又因为sin(β－α)＝，β∈，　

所以cos(β－α)＝－，因此cos(α＋β)＝cos[(β－α)＋2α]＝cos(β－α)·cos 2α－sin(β－α)sin 2α＝－×－×＝，又α＋β∈，所以α＋β＝，故选A.

2．(2018·山西省晋中名校高三联合测试)对于集合{a1，a2，…，an}和常数a0，定义：ω＝

为集合{a1，a2，…，an}相对a0的“正弦方差”，则集合相对a0的“正弦方差”为(　　)

A. B.

C. D．与a0有关的一个值

解析：选A.集合相对a0的“正弦方差”

ω＝

＝

＝

＝

＝

＝.

3．(2018·云南省第一次统一检测)计算

＝________(用数字作答)．

解析：＝＝＝＝.

答案：

4．(2018·济南模拟)设α∈，β∈，且5sin α＋5cos α＝8，sin β＋cos β＝2，则cos(α＋β)的值为________．　

解析：由5sin α＋5cos α＝8，得sin＝，

因为α∈，α＋∈，

所以cos＝.

又β∈，β＋∈，

由sin β＋cos β＝2，得

sin＝.

所以cos＝－.

所以cos(α＋β)＝sin

＝sin

＝sincos＋cossin

＝－.

答案：－

5．已知函数f(x)＝Acos(＋)，x∈R，且f＝.

(1)求A的值；

(2)设α，β∈，f＝－，f＝，求cos(α＋β)的值．

解：(1)因为f＝Acos＝Acos＝A＝，

所以A＝2.

(2)由f＝2cos(α＋＋)＝2cos＝－2sin α＝－，

得sin α＝，又α∈，

所以cos α＝.

由f＝2cos(β－＋)

＝2cos β＝，

得cos β＝，又β∈，

所以sin β＝，

所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β

＝×－×＝－.

6．广告公司为某游乐场设计某项设施的宣传画，根据该设施的外观，设计成的平面图由半径为2 m的扇形AOB和三角区域BCO构成，其中C，O，A在一条直线上，∠ACB＝，记该设施平面图的面积为S(x)m2，∠AOB＝x rad，其中<x<π.

(1)写出S(x)关于x的函数关系式．

(2)如何设计∠AOB，使得S(x)有最大值？

解：(1)因为扇形AOB的半径为2 m，∠AOB＝x rad，

所以S扇形＝x·22＝2x，

过点B作边AC的垂线，垂足为点D，如图所示：

则∠BOD＝π－x，

所以BD＝2sin(π－x)＝2sin x，OD＝2cos(π－x)＝－2cos x，

因为∠ACB＝，所以CD＝BD＝2sin x，

所以S△BOC＝CO·BD＝(2sin x－2cos x)×2sin x＝2sin2x－2sin xcos x＝1－cos 2x－sin 2x，

所以S(x)＝1－cos 2x－sin 2x＋2x.

(2)根据(1)，得到S(x)＝1－cos 2x－sin 2x＋2x，

所以S′(x)＝2sin 2x－2cos 2x＋2，令S′(x)＝0，

所以2sin＝－2，

所以sin＝－，

所以2x－＝，所以x＝，

根据实际意义知，当x＝时，该函数取得最大值，

故设计∠AOB＝时，S(x)有最大值．