2019版高考数学（理）一轮精选教师用书人教通用：第4章6第6讲　函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象及三角函数模型的简单应用

第6讲　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用


1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念

y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时
振幅
周期
频率
相位
初相
A
T＝
f＝＝
ωx＋φ
φ
2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图
用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：
x
－
－

－

ωx＋φ
0

π

2π
y＝Asin(ωx＋φ)
0
A
0
－A
0
3.三角函数图象变换的两种方法(ω>0)


判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)把y＝sin x的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，所得图象对应的函数解析式为y＝sin x.(　　)
(2)将y＝sin 2x的图象向右平移个单位长度，得到y＝sin的图象．(　　)
(3)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0)的最大值为A，最小值为－A.(　　)
(4)如果y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.(　　)
(5)若函数y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则φ＝2kπ＋(k∈Z)．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)×
函数y＝cos x|tan x|的图象为(　　)

解析：选C.因为|tan x|≥0，
所以当x∈时，cos x≥0，y≥0，
当x∈时，cos x≤0，y≤0.由图可知，故选C.
(2016·高考四川卷)为了得到函数y＝sin的图象，只需把函数y＝sin 2x的图象上所有的点(　　)
A．向左平行移动个单位长度
B．向右平行移动个单位长度
C．向左平行移动个单位长度
D．向右平行移动个单位长度
解析：选D.因为y＝sin＝sin，所以只需把函数y＝sin 2x的图象上所有的点向右平行移动个单位长度即可，故选D.
已知函数f(x)＝2sin的图象经过点(0，1)，则该函数的振幅为____________，周期T为____________，频率为________________________，初相φ为____________．
解析：振幅A＝2，T＝＝6，f＝，因为图象过点(0，1)，所以1＝2sin φ，
所以sin φ＝，又|φ|0)的图象如图所示，则ω＝________．

解析：由题图可知，＝－＝，
即T＝，所以＝，故ω＝.
答案：


　　　　　　五点法作图及图象变换
[典例引领]
(2018·济南高三模拟)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的最小正周期是π，且当x＝时，f(x)取得最大值2.
(1)求f(x)的解析式；
(2)作出f(x)在[0，π]上的图象(要列表)．
【解】　(1)因为函数f(x)的最小正周期是π，所以ω＝2.又因为x＝时，f(x)取得最大值2.
所以A＝2，
同时2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z，
φ＝2kπ＋，k∈Z，因为－0，所以m的最小值为.

(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种作法
①五点法：用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，π，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象．
②图象变换法：由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象，有两种主要途径“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．
(2)三角函数图象的左右平移时应注意的三点
①弄清楚平移方向，平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象．
②注意平移前后两个函数的名称一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数．
③由y＝Asin ωx的图象得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象时，需平移的单位数应为而不是|φ|.
[提醒]　y＝Asin(ωx＋φ)的图象横向伸缩规律，可联系周期计算公式T＝进行记忆；纵向伸缩规律，可联系函数的最值进行记忆．　
[通关练习]
1．(2017·高考全国卷Ⅰ)已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin，则下面结论正确的是(　　)
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
解析：选D.易知C1：y＝cos x＝sin，把曲线C1上的各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝sin的图象，再把所得函数的图象向左平移个单位长度，可得函数y＝sin
＝sin的图象，即曲线C2，故选D.
2．某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：

ωx＋φ
0

π

2π
x





Asin(ωx＋φ)
0
5

－5
0
请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式．
解：根据表中已知数据，得A＝5，ω＝2，φ＝－.数据补全如表：

ωx＋φ
0

π

2π
x




π
Asin(ωx＋φ)
0
5
0
－5
0
且函数解析式为f(x)＝5sin.

　　　　　　由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的
解析式
[典例引领]
(2018·兰州市诊断考试)函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，如果x1＋x2＝，则f(x1)＋f(x2)＝(　　)

A．　　　　　　　　　　 B．
C．0 D．－
【解析】　由图知，T＝π，所以ω＝2，所以f(x)＝sin(2x＋φ)，因为在函数f(x)的图象上，所以sin＝0，即＋φ＝kπ，k∈Z，又|φ|0，|φ|0，ω>0，00)的单调性来研究，由－＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z)得单调增区间；由＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z)得单调减区间．
(4)对称性：利用y＝sin x的对称中心为(kπ，0)(k∈Z)求解，令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)得其对称中心．
利用y＝sin x的对称轴为x＝kπ＋(k∈Z)求解，令ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)得其对称轴．
[通关练习]
1．(2018·云南省第一次统一检测)函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，的部分图象如图所示，则f(x)的单调递增区间为(　　)

A．(－1＋4kπ，1＋4kπ)，k∈Z
B．(－3＋8kπ，1＋8kπ)，k∈Z
C．(－1＋4k，1＋4k)，k∈Z
D．(－3＋8k，1＋8k)，k∈Z
解析：选D.由题图，知T＝4×(3－1)＝8，所以ω＝＝，所以f(x)＝sin.把(1，1)代入，得sin＝1，即＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，又|φ|