2019版高考数学（理）一轮精选教师用书人教通用：第9章10第10讲　圆锥曲线中的范围、最值问题

第10讲　圆锥曲线中的范围、最值问题


　　　　　　范围问题
[典例引领]
(2018·云南第一次统一检测)已知椭圆E的中心在原点，焦点F1，F2在y轴上，离心率等于，P是椭圆E上的点．以线段PF1为直径的圆经过F2，且9·＝1.
(1)求椭圆E的方程；
(2)作直线l与椭圆E交于两个不同的点M，N.如果线段MN被直线2x＋1＝0平分，求直线l的倾斜角的取值范围．
【解】　(1)依题意，设椭圆E的方程为＋＝1(a>b>0)，半焦距为c.
因为椭圆E的离心率等于，
所以c＝a，b2＝a2－c2＝.
因为以线段PF1为直径的圆经过F2，
所以PF2⊥F1F2.
所以|PF2|＝.
因为9·＝1，
所以9||2＝＝1.
由，得，
所以椭圆E的方程为＋x2＝1.
(2)因为直线x＝－与x轴垂直，且由已知得直线l与直线x＝－相交，
所以直线l不可能与x轴垂直，
所以设直线l的方程为y＝kx＋m.
由，得(k2＋9)x2＋2kmx＋(m2－9)＝0.
因为直线l与椭圆E交于两个不同的点M，N，
所以Δ＝4k2m2－4(k2＋9)(m2－9)>0，
即m2－k2－9或kb>0)的左、右顶点分别为A，B，且长轴长为8，T为椭圆上任意一点，直线TA，TB的斜率之积为－.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设O为坐标原点，过点M(0，2)的动直线与椭圆C交于P，Q两点，求·＋·的取值范围．
解：(1)设T(x，y)，由题意知A(－4，0)，B(4，0)，设直线TA的斜率为k1，直线TB的斜率为k2，
则k1＝，k2＝.
由k1k2＝－，得·＝－，整理得＋＝1.
故椭圆C的方程为＋＝1.
(2)当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为y＝kx＋2，点P，Q的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线PQ与椭圆方程联立，得，消去y，得(4k2＋3)x2＋16kx－32＝0.
所以x1＋x2＝－，x1x2＝－.
从而，·＋·＝x1x2＋y1y2＋[x1x2＋(y1－2)(y2－2)]＝2(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝＝－20＋.
所以－20b>0)的离心率与双曲线x2－y2＝1的离心率互为倒数，且椭圆的长轴长为4.
(1)求椭圆M的方程；
(2)若直线y＝x＋m交椭圆M于A，B两点，P(1，)为椭圆M上一点，求△PAB面积的最大值．
解：(1)由题可知，双曲线的离心率为，则椭圆的离心率e＝＝，由2a＝4，＝，b2＝a2－c2，得a＝2，c＝，b＝，故椭圆M的方程为＋＝1.
(2)不妨设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程组，得4x2＋2mx＋m2－4＝0，
由Δ＝(2m)2－16(m2－4)>0，得－20)的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线＋＝1与椭圆E有且仅有一个交点M.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设直线＋＝1与y轴交于P，过点P的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B若λ|PM|2＝|PA|·|PB|，求实数λ的取值范围．
解：(1)由题意，得a＝2c，b＝c，则椭圆E为＋＝1.
由，得x2－2x＋4－3c2＝0.
因为直线＋＝1与椭圆E有且仅有一个交点M，
所以Δ＝4－4(4－3c2)＝0⇒c2＝1，
所以椭圆E的方程为＋＝1.
(2)由(1)得M(1，)，
因为直线＋＝1与y轴交于P(0，2)，
所以|PM|2＝，
当直线l与x轴垂直时，
|PA|·|PB|＝(2＋)×(2－)＝1，
所以λ|PM|2＝|PA|·|PB|⇒λ＝，
当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝kx＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由⇒(3＋4k2)x2＋16kx＋4＝0，
依题意得，x1x2＝，且Δ＝48(4k2－1)>0，
所以|PA|·|PB|＝(1＋k2)x1x2＝(1＋k2)·＝1＋＝λ，所以λ＝(1＋)，
因为k2>，所以0)的离心率为，椭圆C截直线y＝1所得线段的长度为2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)动直线l：y＝kx＋m(m≠0)交椭圆C于A，B两点，交y轴于点M，点N是M关于O的对称点，⊙N的半径为|NO|.设D为AB的中点，DE，DF与⊙N分别相切于点E，F，求∠EDF的最小值．
解：(1)由椭圆的离心率为，得a2＝2(a2－b2)．
又当y＝1时，x2＝a2－，得a2－＝2，
所以a2＝4，b2＝2，
因此椭圆方程为＋＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
联立方程
得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－4＝0，
由Δ>0得m20，
从而y＝t＋在[3，＋∞)上单调递增，
因此t＋≥，
等号当且仅当t＝3时成立，此时k＝0，
所以≤1＋3＝4，
由(*)得－