2019版高考数学（理）创新大一轮人教B全国通用版讲义：第九章平面解析几何第9节第2课时

第2课时　定点、定值、范围、最值问题

考点一　定点问题
【例1】 (2018·临汾一中月考)已知椭圆C：＋y2＝1(a>0)，过椭圆C的右顶点和上顶点的直线与圆x2＋y2＝相切.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设M是椭圆C的上顶点，过点M分别作直线MA，MB交椭圆C于A，B两点，设这两条直线的斜率分别为k1，k2，且k1＋k2＝2，证明：直线AB过定点.
(1)解　∵直线过点(a，0)和(0，1)，∴直线的方程为x＋ay－a＝0，∵直线与圆x2＋y2＝相切，∴＝，解得a2＝2，∴椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)证明　当直线AB的斜率不存在时，设A(x0，y0)，则B(x0，－y0)，由k1＋k2＝2得＋＝2，
解得x0＝－1.
当直线AB的斜率存在时，设AB的方程为y＝kx＋m(m≠1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由消去y，整理得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，得x1＋x2＝，x1·x2＝，
由k1＋k2＝2⇒＋＝2⇒
＝2，
即(2－2k)x1x2＝(m－1)(x1＋x2)⇒(2－2k)(2m2－2)＝(m－1)(－4km)，
即(1－k)(m2－1)＝－km(m－1)，
由m≠1，得(1－k)(m＋1)＝－km⇒k＝m＋1，
即y＝kx＋m＝(m＋1)x＋m⇒m(x＋1)＝y－x，
故直线AB过定点(－1，－1).
综上，直线AB过定点(－1，－1).
规律方法　圆锥曲线中定点问题的两种解法
(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.
(2)特殊到一般法，根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.
【训练1】 (2018·西安模拟)设F1，F2分别为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆上的点T(2，)到点F1，F2的距离之和等于4.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线y＝kx(k≠0)与椭圆C交于E，F两点，A为椭圆C的左顶点，直线AE，AF分别与y轴交于点M，N.问：以MN为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由.
解　(1)由椭圆上的点T(2，)到点F1，F2的距离之和是4，
可得2a＝4，a＝2.
又T(2，)在椭圆上，因此＋＝1，所以b＝2.
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)因为椭圆C的左顶点为A，所以点A的坐标为(－2，0).
因为直线y＝kx(k≠0)与椭圆＋＝1交于E，F两点，
设点E(x0，y0)(不妨设x0>0)，则点F(－x0，－y0).
由消去y，得x2＝，
所以x0＝，则y0＝，
所以直线AE的方程为y＝(x＋2).
因为直线AE，AF分别与y轴交于点M，N，
令x＝0，得y＝，即点M.
同理可得点N.
所以|MN|＝＝.
设MN的中点为P，则点P的坐标为.
则以MN为直径的圆的方程为x2＋＝，
即x2＋y2＋y＝4，
令y＝0，得x2＝4，即x＝2或x＝－2.
故以MN为直径的圆经过两定点P1(2，0)，P2(－2，0).
考点二　定值问题
【例2】 (2018·长春模拟)已知抛物线E：x2＝2py(p>0)的焦点为F，以抛物线E上点P(2，y0)为圆心的圆与直线y＝相交于M，N两点且||＝||＝||.
(1)求抛物线E的方程；
(2)设直线l与抛物线E相交于A，B两点，线段AB的中点为D.与直线l平行的直线与抛物线E切于点C.若点A，B到直线CD的距离之和为4，求证：△ABC的面积为定值.
(1)解　由抛物线的定义得|PF|＝y0＋，点P到直线y＝的距离为y0－，
∵圆P与直线y＝相交于M，N两点，且||＝||，
∴＝，即cos∠PMN＝，∴∠PMN＝30°，
∴点P到直线y＝的距离为||，
即||＝2，
∵||＝||，
∴y0－＝，得y0＝p，
将点(2，p)代入抛物线方程，得p＝2，
∴抛物线E的方程为x2＝4y.
(2)证明　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l的方程为y＝kx＋b，代入抛物线方程，得x2－4kx－4b＝0，则x1＋x2＝4k，x1x2＝－4b，
则点D(2k，2k2＋b).
设与直线l平行且与抛物线E相切的直线方程为y＝kx＋m，代入抛物线方程，得x2－4kx－4m＝0，由Δ＝16k2＋16m＝0，
得m＝－k2，点C的横坐标为2k，则C(2k，k2)，
∴直线CD与x轴垂直，则点A，B到直线CD的距离之和为|x1－x2|，即|x1－x2|＝4，∴＝4，
则16k2＋16b＝32，即b＝2－k2，
∴|CD|＝|2k2＋b－k2|＝2，
∴S△ABC＝|CD|·|x1－x2|＝×2×4＝4，即△ABC的面积为定值.
规律方法　圆锥曲线中定值问题的特点及两大解法
(1)特点：待证几何量不受动点或动线的影响而有固定的值.
(2)两大解法：
①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
②引起变量法：其解题流程为
→
　↓
→
　↓
→
【训练2】 (2016·北京卷)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，A(a，0)，B(0，b)，O(0，0)，△OAB的面积为1.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N.求证：|AN|·|BM|为定值.
(1)解　由已知＝，ab＝1.
又a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝1，c＝.
所以椭圆方程为＋y2＝1.
(2)证明　由(1)知，A(2，0)，B(0，1).
设椭圆上一点P(x0，y0)，则＋y＝1.
当x0≠0时，直线PA方程为y＝(x－2)，
令x＝0得yM＝.
从而|BM|＝|1－yM|＝.
直线PB方程为y＝x＋1.
令y＝0得xN＝.
∴|AN|＝|2－xN|＝.
∴|AN|·|BM|＝·
＝·
＝
＝＝4.
当x0＝0时，y0＝－1，|BM|＝2，|AN|＝2，
所以|AN|·|BM|＝4.故|AN|·|BM|为定值.
考点三　范围与最值问题
【例3】 (2018·武汉模拟)已知点F为椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线＋＝1与椭圆E有且仅有一个交点M.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设直线＋＝1与y轴交于P，过点P的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，若λ|PM|2＝|PA|·|PB|，求实数λ的取值范围.
解　(1)由题意，得a＝2c，b＝c，则椭圆E为＋＝1.
由得x2－2x＋4－3c2＝0.
∵直线＋＝1与椭圆E有且仅有一个交点M，
∴Δ＝4－4(4－3c2)＝0⇒c2＝1，a＝2，b＝，
∴椭圆E的方程为＋＝1.
(2)由(1)得M，

∵直线＋＝1与y轴交于P(0，2)，∴|PM|2＝，
当直线l与x轴垂直时，
|PA|·|PB|＝(2＋)×(2－)＝1，
∴λ|PM|2＝|PA|·|PB|⇒λ＝.
当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝kx＋2，
A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由⇒(3＋4k2)x2＋16kx＋4＝0，
依题意得，x1x2＝，且Δ＝48(4k2－1)>0，
∴|PA|·|PB|＝(1＋k2)x1x2＝(1＋k2)·＝1＋＝λ，
∴λ＝，∵k2>，∴