2019版高考数学（理）创新大一轮人教B全国通用版讲义：第十章统计与统计案例第1节


第1节　随机抽样
最新考纲　1.理解随机抽样的必要性和重要性；2.会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样方法.会用随机抽样的基本方法解决一些简单的实际问题.

知 识 梳 理
1.简单随机抽样
(1)定义：从元素个数为N的总体中不放回地抽取容量为n的样本，如果每一次抽取时总体中的各个个体有相同的可能性被抽到，这种抽样方法叫做简单随机抽样.
(2)最常用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数法.
(3)应用范围：总体中的个体数较少.
2.系统抽样
(1)定义：当总体数量很大时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体得到所需要的样本，这种抽样方法叫做系统抽样.
(2)系统抽样的操作步骤
第一步编号：先将总体的N个个体编号；
第二步分段：确定分段间隔k，对编号进行分段，当(n是样本容量)是整数时，取k＝；
第三步确定首个个体：在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号s(s≤k)；
第四步获取样本：按照一定的规则抽取样本，通常是将s加上间隔k得到第2个个体编号(s＋k)，再加k得到第3个个体编号(s＋2k)，依次进行下去，直到获取整个样本.
(3)应用范围：总体中的个体数较多.
3.分层抽样
(1)定义：在抽样时，将总体中各个个体按某种特征分成若干个互不重叠的几部分，每一部分叫做层，在各层中按层在总体中所占比例进行简单随机抽样或系统抽样，这种抽样方法叫做分层抽样.
(2)应用范围：当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样.
[常用结论与微点提醒]
1.三种抽样方法的共同点都是等概率抽样，即抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，体现了这三种抽样方法的客观性和公平性.若样本容量为n，总体容量为N，每个个体被抽到的概率是.
2.系统抽样抽取的个体编号从小到大成等差数列.
诊 断 自 测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)简单随机抽样每个个体被抽到的机会不一样，与先后有关.(　　)
(2)系统抽样在起始部分抽样时采用简单随机抽样.(　　)
(3)分层抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关.(　　)
(4)要从1 002个学生中用系统抽样的方法选取一个容量为20的样本，需要剔除2个学生，这样对被剔除者不公平.(　　)
答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
2.(教材习题改编)在“世界读书日”前夕，为了了解某地5 000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析.在这个问题中，5 000名居民的阅读时间的全体是(　　)
A.总体 B.个体
C.样本的容量 D.从总体中抽取的一个样本
解析　由题目条件知，5 000名居民的阅读时间的全体是总体；其中1名居民的阅读时间是个体；从5 000名居民某天的阅读时间中抽取的200名居民的阅读时间是从总体中抽取的一个样本，样本容量是200.
答案　A
3.某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是(　　)
A.抽签法 B.系统抽样法
C.分层抽样法 D.随机数法
解析　因为总体由有明显差异的几部分构成，所以用分层抽样法.故选C.
答案　C
4.从2 017名学生中选取50名学生参加全国数学竞赛，若采用以下方法选取：先用简单随机抽样法从2 017名学生中剔除17名学生，剩下的2 000名学生再按系统抽样的方法抽取，则每名学生入选的概率(　　)
A.不全相等 B.均不相等
C.都相等，且为 D.都相等，且为
解析　从N个个体中抽取M个个体，则每个个体被抽到的概率都等于.
答案　C
5.从300名学生(其中男生180人，女生120人)中按性别用分层抽样的方法抽取50人参加比赛，则应该抽取男生人数为________.
解析　因为男生与女生的比例为180∶120＝3∶2，所以应该抽取男生人数为50×＝30.
答案　30

考点一　简单随机抽样及其应用
【例1】 (1)下列抽取样本的方式属于简单随机抽样的个数为(　　)
①从无限多个个体中抽取100个个体作为样本.
②盒子里共有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验.在抽样操作时，从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里.
③从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验.
④某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛.
A.0 B.1 C.2 D.3
(2)总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为(　　)

A.08 B.07 C.02 D.01
解析　(1)①不是简单随机抽样，因为被抽取样本的总体的个数是无限的，而不是有限的；②不是简单随机抽样.因为它是有放回抽样；③不是简单随机抽样.因为这是“一次性”抽取，而不是“逐个”抽取；④不是简单随机抽样.因为不是等可能抽样.故选A.
(2)从第1行第5列和第6列组成的数65开始由左到右依次选出的数为08，02，14，07，01，所以第5个个体编号为01.
答案　(1)A　(2)D
规律方法　1.简单随机抽样是从含有N(有限)个个体的总体中，逐个不放回地抽取样本，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等.
2.一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是制签是否方便；二是号签是否易搅匀，一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法.而随机数表法适用于总体中个体数较多的情形：随机数表法的操作要点：编号，选起始数，读数，获取样本.
【训练1】 (1)下面的抽样方法是简单随机抽样的是(　　)
A.在某年明信片销售活动中，规定每100万张为一个开奖组，通过随机抽取的方式确定号码的后四位为2709的为三等奖
B.某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上，每隔30分钟抽一包产品，称其重量是否合格
C.某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取2人、14人、4人了解对学校机构改革的意见
D.用抽签方法从10件产品中选取3件进行质量检验
(2)利用简单随机抽样，从n个个体中抽取一个容量为10的样本.若第二次抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为(　　)
A. B. C. D.
解析　(1)选项A，B是系统抽样，C项是分层抽样，D是简单随机抽样.
(2)依题意，得＝，解之得n＝28.
故每个个体在抽样过程中被抽到的概率P＝＝.
答案　(1)D　(2)C
考点二　系统抽样及其应用
【例2】 (1)(2018·安徽皖北联考)某学校采用系统抽样方法，从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生做视力检查.现将800名学生从1到800进行编号.已知从33～48这16个数中抽到的数是39，则在第1小组1～16中随机抽到的数是(　　)
A.5 B.7 C.11 D.13
(2)(2018·长沙雅礼中学质检)在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示：

若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139，151]上的运动员人数是________.
解析　(1)把800名学生分成50组，每组16人，各小组抽到的数构成一个公差为16的等差数列，39在第3组.
所以第1组抽到的数为39－32＝7.
(2)依题意，可将编号为1～35号的35个数据分成7组，每组有5个数据，从每组中抽取一人.
成绩在区间[139，151]上共有20个数据，分在4个小组内，每组抽取1人，共抽取4人.
答案　(1)B　(2)4
规律方法　1.如果总体容量N能被样本容量n整除，则抽样间隔为k＝，否则，可随机地从总体中剔除余数，然后按系统抽样的方法抽样，特别注意，每个个体被抽到的机会均是.
2.系统抽样中依次抽取的样本对应的号码就是一个等差数列，首项就是第1组所抽取样本的号码，公差为间隔数，根据等差数列的通项公式就可以确定每一组内所要抽取的样本号码.
【训练2】 (1)(2018·郑州模拟)为规范学校办学，某省教育厅督察组对某所高中进行了抽样调查.抽到的班级一共有52名学生，现将该班学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知7号、33号、46号同学在样本中，那么样本中还有一位同学的编号应是(　　)
A.13 B.19 C.20 D.51
(2)(2018·湖北重点中学适应模拟)某校高三年级共有30个班，学校心理咨询室为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到30，现用系统抽样的方法抽取5个班进行调查，若抽到的编号之和为75，则抽到的最小的编号为________.
解析　(1)由系统抽样的原理知，抽样的间隔为52÷4＝13，故抽取的样本的编号分别为7，7＋13，7＋13×2，7＋13×3，即7号，20号，33号，46号.
∴样本中还有一位同学的编号为20.
(2)系统抽样的抽取间隔为＝6.设抽到的最小编号为x，
则x＋(6＋x)＋(12＋x)＋(18＋x)＋(24＋x)＝75，所以x＝3.
答案　(1)C　(2)3
考点三　分层抽样及其应用
【例3】 (1)(2017·江苏卷)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________件.
(2)某学校三个兴趣小组的学生人数分布如下表(每名同学只参加一个小组)(单位：人).

篮球组
书画组
乐器组
高一
45
30
a
高二
15
10
20
学校要对这三个小组的活动效果进行抽样调查，按小组分层抽样的方法，从参加这三个兴趣小组的学生中抽取30人，结果篮球组被抽出12人，则a的值为________.
解析　(1)因为样本容量n＝60，样本总体N＝200＋400＋300＋100＝1 000，所以抽取比例为＝＝.
因此应从丙种型号的产品中抽取300×＝18(件).
(2)由分层抽样得＝，解得a＝30.
答案　(1)18　(2)30
规律方法　1.分层抽样中分多少层，如何分层要视具体情况而定，总的原则是：层内样本的差异要小，两层之间的样本差异要大，且互不重叠.
2.进行分层抽样的相关计算时，常用到的两个关系
(1)＝；
(2)总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比.
【训练3】 (1)(2015·北京卷)某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本中的老年教师人数为(　　)
类别
人数
老年教师
900
中年教师
1 800
青年教师
1 600
合计
4 300
A.90 B.100 C.180 D.300
(2)(2018·唐山调研)甲、乙两套设备生产的同类型产品共4 800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测.若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为________件.
解析　(1)设该样本中的老年教师人数为x，由题意及分层抽样的特点得＝，故x＝180.
(2)由题设，抽样比为＝.
设甲设备生产的产品为x件，则＝50，∴x＝3 000.
故乙设备生产的产品总数为4 800－3 000＝1 800.
答案　(1)C　(2)1 800

基础巩固题组
(建议用时：25分钟)
一、选择题
1.为了了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是(　　)
A.简单随机抽样 B.按性别分层抽样
C.按学段分层抽样 D.系统抽样
解析　不同的学段在视力状况上有所差异，所以应该按照学段分层抽样.
答案　C
2.(2018·呼和浩特质检)为了解1 000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为(　　)
A.50 B.40 C.25 D.20
解析　根据系统抽样的特点分段间隔为＝25.
答案　C
3.下列抽样试验中，适合用抽签法的为(　　)
A.从某厂生产的5 000件产品中抽取600件进行质量检验
B.从某厂生产的两箱(每箱18件)产品中抽取6件进行质量检验
C.从甲、乙两厂生产的两箱(每箱18件)产品中抽取6件进行质量检验
D.从某厂生产的5 000件产品中抽取10件进行质量检验
解析　因为A，D中总体的个体数较大，不适合用抽签法；C中甲、乙两厂生产的产品质量可能差别较大，因此未达到搅拌均匀的条件，也不适合用抽签法；B中总体容量和样本容量都较小，且同厂生产的产品可视为搅拌均匀了.
答案　B
4.(一题多解)(2018·青岛测试)某中学有高中生3 500人，初中生1 500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为(　　)
A.100 B.150 C.200 D.250
解析　法一　由题意可得＝，解得n＝100.
法二　由题意，抽样比为＝，总体容量为3 500＋1 500＝5 000，故n＝
5 000×＝100.
答案　A
5.在一个容量为N的总体中抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3，则(　　)
A.p1＝p2＜p3 B.p2＝p3＜p1
C.p1＝p3＜p2 D.p1＝p2＝p3
解析　由随机抽样的知识知，三种抽样中，每个个体被抽到的概率都相等，故选D.
答案　D
6.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1 534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为(　　)
A.134石 B.169石
C.338石 D.1 365石
解析　由随机抽样的含义，该批米内夹谷约为×1 534≈169(石).
答案　B
7.将参加英语口语测试的1 000名学生编号为000，001，002，…，999，从中抽取一个容量为50的样本，按系统抽样的方法分为50组，如果第一组编号为000，001，002，…，019，且第一组随机抽取的编号为015，则抽取的第35个编号为(　　)
A.700 B.669
C.695 D.676
解析　由题意可知，第一组随机抽取的编号l＝15，
分段间隔数k＝＝＝20，由题意知抽出的这些号码是以15为首项，20为公差的等差数列，则抽取的第35个编号为15＋(35－1)×20＝695.
答案　C
8.交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查.假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人.若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12，21，25，43，则这四个社区驾驶员的总人数N为(　　)
A.101 B.808
C.1 212 D.2 012
解析　甲社区每个个体被抽到的概率为＝，样本容量为12＋21＋25＋43＝101，所以四个社区中驾驶员的总人数N＝＝808.
答案　B
二、填空题
9.某校高一年级有900名学生，其中女生400名.按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为________.
解析　设男生抽取x人，则有＝，解得x＝25.
答案　25
10.(2018·武汉调研)从编号为0，1，2，…，79的80件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量是5的样本，若编号为28的产品在样本中，则该样本中产品的最大编号为________.
解析　由系统抽样知，抽样间隔k＝＝16，
因为样本中含编号为28的产品，
则与之相邻的产品编号为12和44.
故所取出的5个编号依次为12，28，44，60，76，即最大编号为76.
答案　76
11.在距离央视春晚直播不到20天的时候，某媒体报道，由六小龄童和郭富城合演的《猴戏》节目被毙，为此，某网站针对“是否支持该节目上春晚”对网民进行调查，得到如下数据：

网民态度
支持
反对
无所谓
人数(单位：人)
8 000
6 000
10 000
若采用分层抽样的方法从中抽取48人进行座谈，则持“支持”态度的网民抽取的人数为________.
解析　持“支持”态度的网民抽取的人数为48×＝48×＝16.
答案　16
12.从编号为001，002，…，500的500个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中编号最小的两个编号分别为007，032，则样本中最大的编号应该为________.
解析　根据系统抽样的定义可知样本的编号成等差数列，令a1＝7，a2＝32，d＝25，所以7＋25(n－1)≤500，所以n≤20，最大编号为7＋25×19＝482.
答案　482
能力提升题组
(建议用时：10分钟)
13.福利彩票“双色球”中红色球的号码由编号为01，02，…，33的33个个体组成，某彩民利用下面的随机数表选取6组数作为6个红色球的编号，选取方法是从随机数表第1行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个红色球的编号为(　　)

A.23 B.09 C.02 D.17
解析　从随机数表第1行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出的6个红色球的编号依次为21，32，09，16，17，02，故选出的第6个红色球的编号为02.
答案　C
14.某工厂的三个车间在12月份共生产了3 600双皮靴，在出厂前要检查这批产品的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽取，若从第一、二、三车间抽取的产品数分别为a，b，c，且a，b，c构成等差数列，则第二车间生产的产品数为(　　)
A.800 B.1 000
C.1 200 D.1 500
解析　因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c.
所以＝b.所以第二车间抽取的产品数占抽样产品总数的.根据分层抽样的性质，可知第二车间生产的产品数占总数的，即为×3 600＝1 200.
答案　C
15.采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1，450]的人做问卷A，编号落入区间[451，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C.则抽到的人中，做问卷B的人数为________.
解析　由系统抽样的特点，知抽取号码的间隔为＝30，抽取的号码依次为9，39，69，…，939.落入区间[451，750]的有459，489，…，729，这些数构成首项为459，公差为30的等差数列，设有n项，显然有729＝459＋(n－1)×30，解得n＝10.所以做问卷B的有10人.
答案　10
16.一个总体中有90个个体，随机编号0，1，2，…，89，依从小到大的编号顺序平均分成9个小组，组号依次为1，2，3，…，9.现用系统抽样方法抽取一个容量为9的样本，规定：如果在第1组随机抽取的号码为m，那么在第k组中抽取的号码个位数字与m＋k的个位数字相同，若m＝8，则在第8组中抽取的号码是________.
解析　由题意知m＝8，k＝8，则m＋k＝16，也就是第8组抽取的号码个位数字为6，十位数字为8－1＝7，故抽取的号码为76.
答案　76