2021年高考数学一轮精选练习：20《三角函数的图象与性质》(含解析)

2021年高考数学一轮精选练习：20《三角函数的图象与性质》一         、选择题1.在函数①y=cos|2x|，②y=|cosx|，③y=cos，④y=tan中，最小正周期为π的所有函数为(　 　)A.①②③       B.①③④         C.②④          D.①③ 2.关于函数y=tan，下列说法正确的是(　 )A.是奇函数B.在区间上单调递减C.为其图象的一个对称中心D.最小正周期为π 3.若是函数f(x)=sinωx＋cosωx图象的一个对称中心，则ω的一个取值是(　　)A.2         B.4       C.6          D.8 4.已知x0=是函数f(x)=sin(2x＋φ)的一个极大值点，则f(x)的一个单调递减区间是(　 　)A.      B.    C.      D. 5.已知函数f(x)=2sin(2x＋φ)的图象过点(0，)，则f(x)图象的一个对称中心是(　   )A.     B.       C.       D. 6.定义运算：a*b=例如1](　  　)A.    B.[－1,1]     C.      D. 7.已知函数f(x)=2cos(ωx＋φ)＋1，其图象与直线y=3相邻两个交点的距离为，若f(x)＞1对任意x∈恒成立，则φ的取值范围是(　　)A.       B.    C.     D. 8.已知函数f(x)=sin(2x＋φ)，其中φ为实数，若f(x)≤对任意x∈R恒成立，且f＞0，则f(x)的单调递减区间是(　C　)A.(k∈Z)          B.(k∈Z)C.(k∈Z)      D.(k∈Z) 9.设ω∈N*且ω≤15，则使函数y=sinωx在区间上不单调的ω的个数是(　　)A.6         B.7          C.8           D.9 二         、填空题10.若函数f(x)=cos(0＜φ＜π)是奇函数，则φ=        . 11.已知关于x的方程2sin＋1－a=0在区间上存在两个根，则实数a的取值范围是          . 12.设函数f(x)=3sin，若存在这样的实数x1，x2，对任意的x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x1－x2|的最小值为         . 13.若函数f(x)=Acos2(ωx＋φ)＋1最大值为3，f(x)图象与y轴的交点坐标为(0,2)，其相邻两条对称轴间距离为2，则f(1)＋f(2)＋…＋f(2 018)=     .  三         、解答题14.已知函数f(x)=sin(ωx＋φ)的图象关于直线x=对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值；(2)若f=，求cos的值.           15.已知f(x)=sin.(1)求函数f(x)图象的对称轴方程；(2)求f(x)的单调递增区间；(3)当x∈时，求函数f(x)的最大值和最小值.           16.已知函数f(x)=2sin2－cos2x－1，x∈R.(1)求f(x)的最小正周期；(2)若h(x)=f(x＋t)的图象关于点对称，且t∈(0，π)，求t的值；(3)当x∈时，不等式|f(x)－m|＜3恒成立，求实数m的取值范围.            
答案解析1.答案为：A；解析：①y=cos|2x|=cos2x，最小正周期为π；②由图象知y=|cosx|的最小正周期为π；③y=cos的最小正周期T==π；④y=tan的最小正周期T=. 2.答案为：C；解析：函数y=tan是非奇非偶函数，A错误；在区间上单调递增，B错误；最小正周期为，D错误.∵当x=时，tan=0，∴为其图象的一个对称中心. 3.答案为：C;解析：因为f(x)=sinωx＋cosωx=sin，由题意，知f=sin=0，所以＋=kπ(k∈Z)，即ω=8k－2(k∈Z)，当k=1时，ω=6. 4.答案为：B；解析：因为x0=是函数f(x)=sin(2x＋φ)的一个极大值点，所以sin=1，解得φ=2kπ－，k∈Z.不妨取φ=－，此时f(x)=sin，令2kπ＋＜2x－＜2kπ＋(k∈Z)，得kπ＋＜x＜kπ＋π(k∈Z).取k=0，得函数f(x)的一个单调递减区间为.5.答案为：B；解析：函数f(x)=2sin(2x＋φ)的图象过点(0，)，则f(0)=2sinφ=，∴sinφ=，又|φ|＜，∴φ=，则f(x)=2sin，令2x＋=kπ(k∈Z)，则x=－(k∈Z)，当k=0时，x=－，∴是函数f(x)的图象的一个对称中心. 6.答案为：D；解析：根据三角函数的周期性，我们只看两函数在一个最小正周期内的情况即可.设x∈[0,2π]，当≤x≤时，sinx≥cosx，f(x)=cosx，f(x)∈，当0≤x＜或＜x≤2π时，cosx＞sinx，f(x)=sinx，f(x)∈∪[－1,0].综上知f(x)的值域为. 7.答案为：B；解析：由题意可得函数f(x)=2cos(ωx＋φ)＋1的最大值为3.∵f(x)的图象与直线y=3相邻两个交点的距离为，∴f(x)的周期T=，∴=，解得ω=3，∴f(x)=2cos(3x＋φ)＋1.∵f(x)＞1对任意x∈恒成立，∴2cos(3x＋φ)＋1＞1，即cos(3x＋φ)＞0，对任意x∈恒成立，∴－＋φ≥2kπ－且＋φ≤2kπ＋，k∈Z，解得φ≥2kπ－且φ≤2kπ，k∈Z，即2kπ－≤φ≤2kπ，k∈Z.结合|φ|＜可得当k=0时，φ的取值范围为. 8.答案为：C；解析：由题意可得函数f(x)=sin(2x＋φ)的图象关于直线x=对称，故有2×＋φ=kπ＋，k∈Z，即φ=kπ，k∈Z.又f=sin＞0，所以φ=2nπ，n∈Z，所以f(x)=sin(2x＋2nπ)=sin2x.令2kπ＋≤2x≤2kπ＋，k∈Z，求得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，故函数f(x)的单调递减区间为，k∈Z，故选C. 9.答案为：C；解析：由ωx=＋kπ(k∈Z)得函数y=sinωx的图象的对称轴为x=＋(k∈Z).∵函数y=sinωx在区间上不单调，∴＜＋＜(k∈Z)，解得1.5＋3k＜ω＜2＋4k(k∈Z).由题意ω∈N*且ω≤15，∴当k=0时，1.5＜ω＜2，此时ω没有正整数可取；当k=1时，4.5＜ω＜6，此时ω可以取5；当k=2时，7.5＜ω＜10，此时ω可以取8,9；当k=3时，10.5＜ω＜14，此时ω可以取11,12,13；当k=4时，13.5＜ω＜18，此时ω可以取14,15.故满足题意的ω有8个，分别为5,8,9,11,12,13,14,15.故选C. 10.答案为：；解析：因为f(x)为奇函数，所以φ－=＋kπ(k∈Z)，φ=＋kπ，k∈Z.又因为0＜φ＜π，故φ=. 11.答案为：[2,3)；解析：sin=在上存在两个根，设x＋=t，则t∈，∴y=sint，t∈的图象与直线y=有两个交点，∴≤＜1，∴2≤a＜3. 12.答案为：2；解析：f(x)=3sin的周期T=2π×=4，f(x1)，f(x2)应分别为函数f(x)的最小值和最大值，故|x1－x2|的最小值为=2. 13.答案为：4035；解析：∵函数f(x)=Acos2(ωx＋φ)＋1=A·＋1=cos(2ωx＋2φ)＋1＋的最大值为3，∴＋1＋=3，∴A=2.根据函数图象相邻两条对称轴间的距离为2，可得函数的最小正周期为4，即=4，∴ω=.再根据f(x)的图象与y轴的交点坐标为(0,2)，可得cos2φ＋1＋1=2，∴cos2φ=0，又0＜φ＜，∴2φ=，φ=.故函数f(x)的解析式为f(x)=cos＋2=－sinx＋2，∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2 017)＋f(2 018)=－＋2×2 018=504×0－sin－sinπ＋4 036=－1＋4 036=4 035.  一         、解答题14.解：(1)f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f(x)的最小正周期T=π，从而ω==2.又因为f(x)的图象关于直线x=对称，所以2·＋φ=kπ＋，k=0，±1，±2，….由－≤φ＜得k=0，所以φ=－=－.(2)由(1)得f=sin=，所以sin=.由＜α＜得0＜α－＜，所以cos===.因此cos=sinα=sin=sincos＋cossin=×＋×=. 15.解：(1)f(x)=sin，令2x＋=kπ＋，k∈Z，得x=＋，k∈Z.所以函数f(x)图象的对称轴方程是x=＋，k∈Z.(2)令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.故f(x)的单调递增区间为，k∈Z.(3)当x∈时，≤2x＋≤，所以－1≤sin≤，所以－≤f(x)≤1，所以当x∈时，函数f(x)的最大值为1，最小值为－. 16.解：(1)因为f(x)=－cos－cos2x=sin2x－cos2x=2=2sin，故f(x)的最小正周期为π.(2)由(1)知h(x)=2sin.令2×＋2t－=kπ(k∈Z)，得t=＋(k∈Z)，又t∈(0，π)，故t=或.(3)当x∈时，2x－∈，所以f(x)∈[1,2].又|f(x)－m|＜3，即f(x)－3＜m＜f(x)＋3，所以2－3＜m＜1＋3，即－1＜m＜4.故实数m的取值范围是(－1,4).