2021年高考数学一轮精选练习：18《任意角和弧度制及任意角的三角函数》(含解析)

2021年高考数学一轮精选练习：

18《任意角和弧度制及任意角的三角函数》

一         、选择题

1.给出下列四个命题：

①－是第二象限角；

②是第三象限角；

③－400°是第四象限角；

④－315°是第一象限角.

其中正确的命题有(　 　)

A.1个         B.2个          C.3个         D.4个

2.点P从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点坐标为(　 　)

A.       B.

C.      D.

3.已知角α的始边与x轴的正半轴重合，顶点在坐标原点，角α终边上的一点P到原点的距离为，若α=，则点P的坐标为(　 　)

A.(1，)        B.(，1)    C.(，)       D.(1,1)

4.若sinαtanα＜0，且＜0，则角α是(　 　)

A.第一象限角     B.第二象限角     C.第三象限角     D.第四象限角

5.已知sinα＞sinβ，那么下列命题成立的是(　 　)

A.若α，β是第一象限的角，则cosα＞cosβ

B.若α，β是第二象限的角，则tanα＞tanβ

C.若α，β是第三象限的角，则cosα＞cosβ

D.若α，β是第四象限的角，则tanα＞tanβ

6.一个扇形的弧长与面积的数值都是6，这个扇形中心角的弧度数是(　 　)

A.1          B.2         C.3          D.4

7.角α的终边与直线y=3x重合，且sinα＜0，又P(m，n)是角α终边上一点，

且|OP|=(O为坐标原点)，则m－n等于(　 　)

A.2        B.－2         C.4        D.－4

8.角α的顶点在坐标原点O，始边在y轴的正半轴上，终边与单位圆交于第三象限内的点P，且tanα=－；角β的顶点在坐标原点O，始边在x轴的正半轴上，终边与单位圆交于第二象限内的点Q，且tanβ=－2.对于下列结论：

①P；②|PQ|2=；③cos∠POQ=－；④△POQ的面积为.

其中正确结论的编号是(　 　)

A.①②③       B.①②④        C.②③④       D.①③④

二         、填空题

9.已知圆O与直线l相切于点A，点P，Q同时从A点出发，P沿着直线l向右，Q沿着圆周按逆时针以相同的速度运动，当Q运动到点A时，点P也停止运动，连接OQ，OP(如图)，则阴影部分面积S1，S2的大小关系是          .

10.已知角α的终边经过点P(－x，－6)，且cosα=－，则＋=       .

11.一扇形是从一个圆中剪下的一部分，半径等于圆半径的，面积等于圆面积的，则扇形的弧长与圆周长之比为        .

12.在平面直角坐标系xOy中，角θ的终边经过点P(x,1)(x≥1)，则cosθ＋sinθ的取值范围是         .

13.设A，B，C为△ABC的三个内角，则下列关系式中恒成立的是       (填写序号).

①cos(A＋B)=cosC；②cos=sin；③sin(2A＋B＋C)=－sinA.

14.若角α的终边落在直线y=x上，角β的终边与单位圆交于点，且sinα·cosβ＜0，则cosα·sinβ=          .

15.如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P的位置在(0,0)，圆在x轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于C(2,1)时，的坐标为     .

16.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中“方田”章给出了计算弧田面积时所用的经验公式，即弧田面积=×(弦×矢＋矢2).弧田(如图)由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为，半径为6米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积大约是      平方米.(结果保留整数，≈1.73)

答案解析

1.答案为：C；

解析：－是第三象限角，故①错误.=π＋，从而是第三象限角，②正确.

－400°=－360°－40°，从而③正确.－315°=－360°＋45°，从而④正确.

2.答案为：A；

解析：点P旋转的弧度数也为，

由三角函数定义可知Q点的坐标(x，y)满足x=cos=－，y=sin=.

3.答案为：D；

解析：设P(x，y)，则sinα==sin，∴y=1.

又cosα==cos，∴x=1，∴P(1,1).

4.答案为：C；

解析：由sinαtanα＜0可知sinα，tanα异号，则α为第二象限角或第三象限角.

由＜0可知cosα，tanα异号，则α为第三象限角或第四象限角.

综上可知，α为第三象限角.

5.答案为：C；

解析：如图，当α在第四象限时，作出α，β的正弦线M1P1，M2P2和正切线AT1，AT2，

观察知当sinα＞sinβ时，tanα＞tanβ.

6.答案为：C；

解析：设扇形的中心角的弧度数为θ，半径为R，由题意，

得所以θ=3，即该扇形中心角的弧度数是3.故选C.

7.答案为：A；

解析：因为角α的终边与直线y=3x重合，且sinα＜0，所以角α的终边在第三象限.

又P(m，n)是角α终边上一点，故m＜0，n＜0，又|OP|=，

所以所以故m－n=2.故选A.

8.答案为：B；

解析：因为tanα=－，α为钝角，所以sinα=，cosα=－，

又因为P，所以P，所以①正确；

同理，Q，所以|PQ|2=，所以②正确；

由余弦定理得cos∠POQ=－，所以③错误；

sin∠POQ=，所以S△POQ=×1×1×=，所以④正确，故选B.

9.答案为：S1=S2；

解析：设运动速度为m，运动时间为t，圆O的半径为r，则弧AQ=AP=tm，

根据切线的性质知OA⊥AP，∴S1=tm·r－S扇形AOB，S2=tm·r－S扇形AOB，

∴S1=S2恒成立.

10.答案为：－.

解析：∵角α的终边经过点P(－x，－6)，且cosα=－，

∴cosα==－，解得x=或x=－(舍去)，

∴P，∴sinα=－，∴tanα==，

则＋=－＋=－.

11.答案为：；

解析：设圆的半径为r，则扇形的半径为，记扇形的圆心角为α，

则=，∴α=.∴扇形的弧长与圆周长之比为==.

12.答案为：(1， ]；

解析：角θ的终边经过点P(x,1)(x≥1)，

∴r=，cosθ==，sinθ==，

∴cosθ＋sinθ=＋===

==.

∵x＋≥2，当且仅当x=1时取等号，∴1＜cosθ＋sinθ≤.

故cosθ＋sinθ的取值范围是(1， ].

13.答案为：②③；

解析：因为A，B，C是△ABC的内角，

所以A＋B＋C=π，=.所以cos(A＋B)=cos(π－C)=－cosC，

cos=cos=sin，sin(2A＋B＋C)=sin(A＋π)=－sinA.故②③恒成立.

14.答案为：±.

解析：由角β的终边与单位圆交于点，得cosβ=，

又由sinα·cosβ＜0知sinα＜0，

因为角α的终边落在直线y=x上，所以角α只能是第三象限角.

记P为角α的终边与单位圆的交点，设P(x，y)(x＜0，y＜0)，

则|OP|=1(O为坐标原点)，即x2＋y2=1，

又由y=x得x=－，y=－，所以cosα=x=－.

因为点在单位圆上，所以2＋m2=1，得m=±，

所以sinβ=±.所以cosα·sinβ=±.

15.答案为：(2－sin2,1－cos2)；

解析：如图所示，

过圆心C作x轴的垂线，垂足为A，过P作x轴的垂线与过C作y轴的垂线交于点B.

因为圆心移动的距离为2，所以劣弧=2，即圆心角∠PCA=2，

则∠PCB=2－，所以PB=sin=－cos2，CB=cos=sin2，

设点P(xP，yP)，所以xP=2－CB=2－sin2，yP=1＋PB=1－cos2，

所以=(2－sin2,1－cos2).

16.答案为：20；

解析：如图，由题意可得∠AOB=，OA=6，

所以在Rt△AOD中，∠AOD=，∠DAO=，OD=AO=×6=3，可得CD=6－3=3.

由AD=AO·sin=6×=3，可得AB=2AD=2×3=6.

所以弧田面积S=(弦×矢＋矢2)=×(6×3＋32)=9＋4.5≈20(平方米).