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2021年高考数学一轮精选练习：31《等差数列及其前n项和》(含解析)
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31《等差数列及其前n项和》
一 、选择题
1.在等差数列{an}中，a1=1，a2＋a6=10，则a7=( )
A.9 B.10 C.11 D.12
2.在等差数列{an}中，a3，a15是方程x2－6x＋5=0的根，则S17的值是( )
A.41 B.51 C.61 D.68
3.已知在等差数列{an}中，a1=1，a3=2a＋1，a5=3a＋2，若Sn=a1＋a2＋…＋an，且Sk=66，则k的值为( )
A.9 B.11 C.10 D.12
4.在等差数列{an}中，已知a3＋a8＞0，且S9＜0，则S1、S2、…、S9中最小的是( )
A.S5 B.S6 C.S7 D.S8
5.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”(“钱”是古代一种质量单位)，在这个问题中，甲得 钱( )
A. B. C. D.
6.在各项均为正数的等差数列{an}中，其前n项和为Sn，当n∈N*，n≥2时，有Sn=(a－a)，则S20－2S10=( A )
A.50 B.－50 C.100 D.－100
7.已知函数f(x)的图象关于直线x=－1对称，且f(x)在(－1，＋∞)上单调，若数列{an}是公差不为0的等差数列，且f(a50)=f(a51)，则数列{an}的前100项的和为( )
A.－200 B.－100 C.－50 D.0
8.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3=9，a2a4=21，数列{bn}满足＋＋…＋=1－(n∈N*)，若bn＜，则n的最小值为( )
A.6 B.7 C.8 D.9
9.已知数列{an}是等差数列，前n项和为Sn，满足a1＋5a3=S8，给出下列结论：
①a10=0；②S10最小；③S7=S12；④S20=0.
其中一定正确的结论是( )
A.①② B.①③④ C.①③ D.①②④
10.若数列{an}满足－=1，且a1=5，则数列{an}的前200项中，能被5整除的项数为( )
A.90 B.80 C.60 D.40
二 、填空题
11.设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知前6项和为36，最后6项的和为180，Sn=324(n＞6)，则数列{an}的项数为 .
12.设数列{an}的通项公式为an=2n－10(n∈N*)，则|a1|＋|a2|＋…＋|a15|= .
13.设等差数列{an}满足a1=1，an＞0(n∈N*)，其前n项和为Sn，若数列{}也为等差数列，则的最大值是 .
三 、解答题
14.已知等差数列{an}的公差d＞0，前n项和为Sn，且a2·a3=45，S4=28.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn=(c为非零常数)，且数列{bn}也是等差数列，求c的值.
15.各项均不为0的数列{an}满足=an＋2an，且a3=2a8=.
(1)证明：数列是等差数列，并求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}的通项公式为bn=，求数列{bn}的前n项和Sn.
16.已知数列{an}满足，an＋1＋an=4n－3(n∈N*).
(1)若数列{an}是等差数列，求a1的值；
(2)当a1=2时，求数列{an}的前n项和Sn.
答案解析
1.答案为：A；
解析：∵在等差数列{an}中，a1=1，a2＋a6=10，
∴解得a1=1，d=，∴a7=a1＋6d=1＋8=9.故选A.
2.答案为：B；
解析：由题可得a3＋a15=6，所以a1＋a17=a3＋a15=6.
所以S17==×6=51.
3.答案为：B；
解析：∵在等差数列中，第一项、第三项、第五项分别为1,2a＋1,3a＋2，
∴2(2a＋1)=1＋3a＋2，解得a=1，∴公差d===1，
∴Sk=k×1＋×1=66，解得k=11或k=－12(舍).故选B.
4.答案为：A；
解析：在等差数列{an}中，∵a3＋a8＞0，S9＜0，
∴a5＋a6=a3＋a8＞0，S9==9a5＜0，
∴a5＜0，a6＞0，∴S1、S2、…、S9中最小的是S5，故选A.
5.答案为：C；
解析：甲、乙、丙、丁、戊五人所得钱数依次设为成等差数列的a1，a2，a3，a4，a5，
设公差为d，由题意知a1＋a2=a3＋a4＋a5=，即解得
故甲得钱，故选C.
6.答案为：A；
解析：设等差数列{an}的公差为d，则当n=3时，S3=(a－a)，
即3a1＋3d=(a1＋2d)2－a，整理得a1＋d=2d(a1＋d)，可得d=，
所以S20－2S10=20a1＋×－20a1－10×9×=50，故选A.
7.答案为：B；
解析：因为函数f(x)的图象关于直线x=－1对称，又函数f(x)在(－1，＋∞)上单调，
所以f(x)在(－∞，－1)上也单调，且数列{an}是公差不为0的等差数列.
又f(a50)=f(a51)，所以a50＋a51=－2，所以S100==50(a50＋a51)=－100.
8.答案为：C；
解析：设等差数列{an}的公差为d.
∵S3=a1＋a2＋a3=3a2=9，a2a4=21，∴a2=3，a4=7，d=2，an=2n－1.
设Tn=＋＋…＋=＋＋…＋=1－，
则Tn＋1=＋＋…＋＋=1－，
两式作差得Tn＋1－Tn==－=，所以bn＋1=，则bn=.
当bn＜，即＜时，得n的最小值为8，故选C.
9.答案为：C；
解析：∵a1＋5a3=S8，∴a1＋5a1＋10d=8a1＋28d，∴a1=－9d，
∴an=a1＋(n－1)d=(n－10)d，∴a10=0，故①一定正确，
∴Sn=na1＋=－9nd＋=(n2－19n)，
∴S7=S12，故③一定正确，显然②S10最小与④S20=0不一定正确，故选C.
10.答案为：B；
解析：数列{an}满足－=1，即－=1，又=1，
∴数列是以1为首项，1为公差的等差数列，∴=n，∴an=2n2＋3n，
列表如下：
项 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
an的个位数 | 5 | 4 | 7 | 4 | 5 | 0 | 9 | 2 | 9 | 0 |
∴每10项中有4项能被5整除，
∴数列{an}的前200项中，能被5整除的项数为80，故选B.
一 、填空题
11.答案为：18；
解析：由题意知a1＋a2＋…＋a6=36，①
an＋an－1＋an－2＋…＋an－5=180，②
①＋②得(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋…＋(a6＋an－5)=6(a1＋an)=216，
∴a1＋an=36，又Sn==324，∴18n=324，∴n=18.
12.答案为：130；
解析：由an=2n－10(n∈N*)知{an}是以－8为首项，2为公差的等差数列，
又由an=2n－10≥0，得n≥5，∴当n≤5时，an≤0，当n＞5时，an＞0，
∴|a1|＋|a2|＋…＋|a15|=－(a1＋a2＋a3＋a4)＋(a5＋a6＋…＋a15)=20＋110=130.
13.答案为：121；
解析：设数列{an}的公差为d，由题意得2=＋，
因为a1=1，所以2=＋，化简可得d=2a1=2，
所以an=1＋(n－1)×2=2n－1，Sn=n＋×2=n2，
所以==2=2=2.
又为单调递减数列，所以≤=112=121.
二 、解答题
14.解：(1)∵S4=28，∴=28，
∴a1＋a4=14，则a2＋a3=14，
又a2·a3=45，公差d＞0，
∴a2＜a3，a2=5，a3=9，
∴解得∴an=4n－3.
(2)由(1)知Sn=2n2－n，∴bn==，
∴b1=，b2=，b3=.
又{bn}是等差数列，∴b1＋b3=2b2，
即2×=＋，解得c=－(c=0舍去).
15.解：(1)证明：依题意，an＋1an＋an＋2an＋1=2an＋2an，两边同时除以anan＋1an＋2，
可得＋=，故数列是等差数列，设数列的公差为d.
因为a3=2a8=，所以=5，=10，所以－=5=5d，即d=1，
故=＋(n－3)d=5＋(n－3)×1=n＋2，故an=.
(2)由(1)可知bn==·=，
故Sn==.
16.解：(1)法一：∵数列{an}是等差数列，
∴an=a1＋(n－1)d，an＋1=a1＋nd.
由an＋1＋an=4n－3，
得a1＋nd＋a1＋(n－1)d=4n－3，
∴2dn＋(2a1－d)=4n－3，
即2d=4,2a1－d=－3，解得d=2，a1=－.
法二：在等差数列{an}中，
由an＋1＋an=4n－3，
得an＋2＋an＋1=4(n＋1)－3=4n＋1，
∴2d=an＋2－an=4n＋1－(4n－3)=4，∴d=2.
又∵a1＋a2=2a1＋d=2a1＋2=1，∴a1=－.
(2)由题意知，①当n为奇数时，
Sn=a1＋a2＋a3＋…＋an
=a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(an－1＋an)
=2＋4[2＋4＋…＋(n－1)]－3×=.
②当n为偶数时，Sn=a1＋a2＋a3＋…＋an
=(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(an－1＋an)=1＋9＋…＋(4n－7)=.
综上，Sn=
