2021年高考数学一轮精选练习：43《空间向量的运算及应用》(含解析)

2021年高考数学一轮精选练习：

43《空间向量的运算及应用》

一         、选择题

1.已知a=(－2,1,3)，b=(－1,2,1)，若a⊥(a－λb)，则实数λ的值为(　 　)

A.－2        B.－        C.          D.2

2.若A，B，C不共线，对于空间任意一点O都有=＋＋，则P，A，B，C四点(　 　)

A.不共面      B.共面       C.共线        D.不共线

3.A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足·=0，·=0，·=0，M为BC的中点，则△AMD是(　 　)

A.钝角三角形          B.锐角三角形

C.直角三角形          D.不确定

4.如图，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在线段MN上，且分MN所成的比为2，现用基向量，，表示向量，设=x＋y＋z，则x，y，z的值分别是(　 　)

A.x=，y=，z=          B.x=，y=，z=

C.x=，y=，z=          D.x=，y=，z=

5.已知空间向量a，b满足|a|=|b|=1，且a，b的夹角为，O为空间直角坐标系的原点，点A，B满足=2a＋b，=3a－b，则△OAB的面积为(　 　)

A.          B.         C.         D.

6.如图，在空间四边形OABC中，OA=8，AB=6，AC=4，BC=5，∠OAC=45°，∠OAB=60°，则OA与BC所成角的余弦值为(　 　)

A.       B.        C.         D.

7.若a=(1，λ，2)，b=(2，－1,2)，且a与b的夹角的余弦值为，则λ=(　　)

A.2           B.－2        C.－2或          D.2或－

8.a=(2x,1,3)，b=(1，－2y,9)，如果a与b为共线向量，则(　　)

A.x=1，y=1      B.x=，y=－     C.x=，y=－      D.x=－，y=

9.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F满足=3，=3，则BE与DF所成角正弦值为(  )             

A.                          B.                         C.                            D.

10.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，点M在AC1上，且=，N为B1B的中点，则||为(　 　)

A.a        B.a         C.a         D.a

二         、填空题

11.已知2a＋b=(0，－5,10)，c=(1，－2，－2)，a·c=4，|b|=12，则以b，c为方向向量的两直线的夹角为    　.

12.已知O点为空间直角坐标系的原点，向量=(1,2,3)，=(2,1,2)，=(1,1,2)，且点Q在直线OP上运动，当·取得最小值时，的坐标是　    　.

13.已知V为矩形ABCD所在平面外一点，且VA=VB=VC=VD，=，=，=.则VA与平面PMN的位置关系是　     　.

三         、解答题

14.如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是平行四边形，E，F，G分别是A1D1，D1D，D1C1的中点.

(1)试用向量，，表示；

(2)用向量方法证明平面EFG∥平面AB1C.

15.如图，已知直三棱柱ABC-A1B1C1，在底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M，N分别是A1B1，A1A的中点.

(1)求的模；

(2)求cos〈，〉的值；

(3)求证：A1B⊥C1M.

答案解析

1.答案为：D；

解析：由题意知a·(a－λb)=0，即a2－λa·b=0，所以14－7λ=0，解得λ=2.

2.答案为：B；

解析：由已知可得－=－＋＋，

即－=－＋＋－，

可得=－(－)＋(－)=－＋=(＋)，

所以，，共面但不共线，故P，A，B，C四点共面.

3.答案为：C；

解析：∵M为BC的中点，∴=(＋).

∴·=(＋)·=·＋·=0.

∴AM⊥AD，即△AMD为直角三角形.

4.答案为：D；

解析：设=a，=b，=c，∵G分MN的所成比为2，∴=，

∴=＋=＋(－)=a＋

=a＋b＋c－a=a＋b＋c，即x=，y=，z=.

5.答案为：B；

解析：||===，

同理||=，则cos∠AOB===，

从而有sin∠AOB=，∴△OAB的面积S=×××=，故选B.

6.答案为：A；

解析：因为=－，所以·=·－·

=||||cos〈，〉－||||cos〈，〉

=8×4×cos135°－8×6×cos120°=－16＋24.

所以cos〈，〉===.

即OA与BC所成角的余弦值为.

7.答案为：C；

解析：因为a·b=1×2＋λ×(－1)＋2×2=6－λ，

又因为a·b=|a||b|·cos〈a，b〉=··= ，

所以 =6－λ.解得λ=－2或.

8.答案为：C；

解析：∵a=(2x,1,3)与b=(1，－2y,9)共线，故有==，∴x=，y=－.

9.A.

10.答案为：A；

解析：以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，

则A(a,0,0)，C1(0，a，a)， N.

设M(x，y，z)，因为点M在AC1上，且=，

则(x－a，y，z)=(－x，a－y，a－z)，得x=a，y=，z=，即M，

所以||==a.

一         、填空题

11.答案为：60°；

解析：由题意，得(2a＋b)·c=0＋10－20=－10，即2a·c＋b·c=－10.

又∵a·c=4，∴b·c=－18，∴cos〈b，c〉===－，

又∵〈b，c〉∈[0°，180°]，

∴〈b，c〉=120°，∴两直线的夹角为60°.

12.答案为：；

解析：∵点Q在直线OP上，∴设点Q(λ，λ，2λ)，

则=(1－λ，2－λ，3－2λ)，=(2－λ，1－λ，2－2λ)，

·=(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3－2λ)(2－2λ)

=6λ2－16λ＋10=62－.

即当λ=时，·取得最小值－.此时=.

13.答案为：VA∥平面PMN；

解析：如图，设=a，=b，=c，

则=a＋c－b，

由题意知=b－c，=－=a－b＋c.

因此=＋，∴，，共面.

又∵VA⊄平面PMN，∴VA∥平面PMN.

二         、解答题

14.解：(1)设=a，=b，=c.

由图得=＋＋=c＋b＋=a＋b＋c=＋＋.

(2)证明：由题图，得=＋=a＋b，=＋=b＋a=，

∵EG与AC无公共点，∴EG∥AC，

∵EG⊄平面AB1C，AC⊂平面AB1C，∴EG∥平面AB1C.

又∵=＋=a＋c，=＋=c＋a=，

∵FG与AB1无公共点，∴FG∥AB1，

∵FG⊄平面AB1C，AB1⊂平面AB1C，

∴FG∥平面AB1C，

又∵FG∩EG=G，FG，EG⊂平面EFG，

∴平面EFG∥平面AB1C.

15.解：(1)如图，以点C作为坐标原点O，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系.

由题意得B(0,1,0)，N(1,0,1)，

所以||==.

(2)由题意得A1(1,0,2)，B(0,1,0)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)，

所以=(1，－1,2)，=(0,1,2)，·=3，||=，||=，

所以cos〈，〉==.

(3)证明：由题意得C1(0,0,2)，M，

=(－1,1，－2)，=，所以·=－＋＋0=0，

所以⊥，即A1B⊥C1M.