2021年高考数学一轮精选练习：39《空间几何体的表面积与体积》(含解析)

2021年高考数学一轮精选练习：

39《空间几何体的表面积与体积》

一         、选择题

1.如图，小方格是边长为1的正方形，一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(　 　)

A.4π＋96            B.(2＋6)π＋96

C.(4＋4)π＋64        D.(4＋4)π＋96

2.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，俯视图中的两条曲线均为圆弧，则该几何体的体积为(　 　)

A.64－      B.64－8π     C.64－      D.64－

3.已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为(　 　)

A.36π          B.64π         C.144π         D.256π

4.已知三棱锥A-BCD中，△ABD与△BCD是边长为2的等边三角形且二面角A-BD-C为直二面角，则三棱锥A-BCD的外接球的表面积为(　 　)

A.        B.5π       C.6π         D.

5.一个多面体的直观图和三视图如图所示，点M是AB上的动点，记四面体EFMC的体积为V1，多面体ADF-BCE的体积为V2，则=(　 　)

A.           B.         C.            D.

6.某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为

(　 　)

A.        B.     C.       D.

7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为(　 　)

A.90π      B.63π             C.42π         D.36π

8.已知三棱锥O-ABC的顶点A，B，C都在半径为2的球面上，O是球心，∠AOB=120°，当△AOC与△BOC的面积之和最大时，三棱锥O-ABC的体积为(　 　)

A.         B.          C.           D.

9.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈；上袤二丈，无广；高一丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊柱的楔体，下底面宽3丈，长4丈；上棱长2丈，高一丈，问它的体积是多少？”已知1丈为10尺，现将该楔体的三视图给出，其中网格纸上小正方形的边长为1丈，则该楔体的体积为(　  　)

A.5 000立方尺         B.5 500立方尺

C.6 000立方尺         D.6 500立方尺

10.如图所示，在平面四边形ABCD中，AB=AD=CD=1，BD=，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体ABCD，使平面ABD⊥平面BCD，若四面体ABCD的顶点在同一个球面上，则该球的体积为(　 　)

A.　       B.3π         C.          D.2π

二         、填空题

11.某组合体的三视图如图所示，则该组合体的体积为        .

12.已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为30°.若△SAB的面积为8，则该圆锥的体积为　    　.

13.在三棱锥S-ABC中，△ABC是边长为3的等边三角形，SA=，SB=2，二面角S-AB-C的大小为120°，则此三棱锥的外接球的表面积为　     　.

14.如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D，E，F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥.当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm3)的最大值为　   　.

三         、解答题

15.如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC=AD，

∠BAD=∠ABC=90°.

(1)证明：直线BC∥平面PAD；

(2)若△PCD的面积为2，求四棱锥P-ABCD的体积.

16.如图，△ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，DC⊥平面ABC，AB=2，EB=.

(1)求证：DE⊥平面ACD；

(2)设AC=x，V(x)表示三棱锥B-ACE的体积，求函数V(x)的解析式及最大值.

答案解析

1.答案为：D；

解析：由三视图知，该几何体为一个圆锥和一个正方体的组合体，正方体的棱长为4，

圆锥的高为4，底面半径为2，所以该几何体的表面积

S=6×42＋π×22＋π×2×=(4＋4)π＋96.

2.答案为：C；

解析：由三视图可知该几何体是由棱长为4的正方体截去个圆锥和个圆柱所得到的，

且圆锥的底面半径为2，高为4，圆柱的底面半径为2，高为4，

所以该几何体的体积为43－=64－.故选C.

3.答案为：C；

解析：∵S△OAB是定值，且VO-ABC=VC-OAB，

∴当OC⊥平面OAB时，VC-OAB最大，即VO-ABC最大.

设球O的半径为R，则(VO-ABC)max=×R2×R=R3=36，

∴R=6，∴球O的表面积S=4πR2=4π×62=144π.

4.答案为：D；

解析：如图，取BD中点M，连接AM，CM，取△ABD，△CBD的中心即AM，

CM的三等分点P，Q，过P作平面ABD的垂线，过Q作平面CBD的垂线，

两垂线相交于点O，则点O为外接球的球心，如图，其中OQ=，CQ=，

连接OC，则外接球的半径R=OC=，表面积为4πR2=，故选D.

5.答案为：B；

解析：由三视图可知多面体ADF-BCE是直三棱柱，其底面是等腰直角三角形(直角边长为a)，且四边形DFEC与四边形ABCD都是正方形，它们的边长均为a.

∵M是AB上的动点，且易知AB∥平面DFEC，

∴点M到平面DFEC的距离等于点B到平面DFEC的距离，距离为a，

∴V1=VE-FMC=VM-EFC=·a·a·a=，又V2=a·a·a=，故==.

6.答案为：A；

解析：原工件是一个底面半径为1，高为2的圆锥，依题意加工后的新工件是圆锥的内接长方体，且落在圆锥底面上的面是正方形，设正方形的边长为a，长方体的高为h，则0＜a＜，0＜h＜2.于是=，h=2－a.令f(a)=V长方体=a2h=2a2－a3，

∴f′(a)=4a－3a2，当f′(a)=0时，a=.易知f(a)max=f=.

∴材料利用率==，故选A.

7.答案为：B；

解析：由三视图可知两个同样的几何体可以拼成一个底面直径为6，高为14的圆柱，

所以该几何体的体积V=×32×π×14=63π，故选B.

8.答案为：B；

解析：设球O的半径为R，因为S△AOC＋S△BOC=R2(sin∠AOC＋sin∠BOC)，

所以当∠AOC=∠BOC=90°时，S△AOC＋S△BOC取得最大值，此时OA⊥OC，

OB⊥OC，又OB∩OA=O，OA，OB⊂平面AOB，

所以OC⊥平面AOB，所以V三棱锥O-ABC=V三棱锥C-OAB

=OC·OA·OBsin∠AOB=R3sin∠AOB=，故选B.

9.答案为：A；

解析：该楔体的直观图如图中的几何体ABCDEF.

取AB的中点G，CD的中点H，

连接FG，GH，HF，则该几何体的体积为四棱锥F-GBCH与三棱柱ADE-GHF的体积之和.

又可以将三棱柱ADE-GHF割补成高为EF，底面积为S=×3×1=平方丈的一个直棱柱，

故该楔体的体积V=×2＋×2×3×1=5立方丈=5 000立方尺.

10.答案为：A；

解析：如图，取BD的中点为E，BC的中点为O，

连接AE，OD，EO，AO.

因为AB=AD，所以AE⊥BD.

由于平面ABD⊥平面BCD，所以AE⊥平面BCD.

因为AB=AD=CD=1，BD=，所以AE=，EO=.所以OA=.

在Rt△BDC中，OB=OC=OD=BC=，

所以四面体ABCD的外接球的球心为O，半径为.

所以该球的体积V=π×3=.

一         、填空题

11.答案为：＋.

解析：如图所示，该组合体由一个四棱锥和四分之一个球组成，球的半径为1，

四棱锥的高为球的半径，四棱锥的底面为等腰梯形，上底为2，下底为1，

高为，所以该组合体的体积V=××(2＋1)××1＋×π×13=＋.

12.答案为：8π；

解析：设圆锥底面半径为r，母线长为l，高为h，

因为母线SA与底面所成的角为30°，所以l=r.

由△SAB的面积为8得l2=8，即×r2=8，所以r2=12，h=r=2.

所以圆锥的体积为πr2h=π×12×2=8π.

13.答案为：21π；

解析：根据题意得SA2＋AB2=SB2，即SA⊥AB.

取AB的中点为D，SB的中点为M，

连接CD、MD，得∠CDM为二面角S-AB-C的平面角，∴∠MDC=120°.

如图，设三角形ABC的外心为O1，

则O1在CD上，连接BO1，则CO1==BO1，DO1=.设外接球半径为R，

易知球心为过M垂直面ABS的垂线与过O1垂直面ABC的垂线的交点O.

在四边形MDO1O中，

∵二面角S-AB-C的平面角∠MDC=120°，

且MO⊥MD，O1O⊥DO1，MD=O1D=，

∴∠ODO1=60°，OO1=O1Dtan60°=，

连接OB，∴R2=OB2=OO＋O1B2=＋3=，

∴球的表面积S=4πR2=21π.

14.答案为：4；

解析：解法一：由题意可知，折起后所得三棱锥为正三棱锥，

设△ABC的边长为a(a>0)cm，

则△ABC的面积为a2 cm2，点O到△ABC三边的距离都为a cm，

△DBC的高为cm，

则正三棱锥的高为 =  cm，

∴25－a>0，∴0<a<5，

∴所得三棱锥的体积V=×a2× =×  cm3.

令t=25a4－a5，则t′=100a3－a4，

由t′=0，得a=4(满足0＜a＜5)，

易知此时所得三棱锥的体积最大，为4 cm3.

二         、解答题

15.解：(1)证明：在平面ABCD内，

因为∠BAD=∠ABC=90°，所以BC∥AD.

又BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，

故BC∥平面PAD.

(2)取AD的中点M，连接PM，CM.

由AB=BC=AD及BC∥AD，∠ABC=90°得四边形ABCM为正方形，则CM⊥AD.

因为侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，

所以PM⊥AD，PM⊥底面ABCD.

因为CM⊂底面ABCD，所以PM⊥CM.

设BC=x，则CM=x，CD=x，PM=x，PC=PD=2x.

取CD的中点N，连接PN，则PN⊥CD，所以PN=x.

因为△PCD的面积为2，所以×x×x=2，

解得x=－2(舍去)或x=2.于是AB=BC=2，AD=4，PM=2.

所以四棱锥P-ABCD的体积V=××2=4.

16.解：(1)证明：∵四边形DCBE为平行四边形，

∴CD∥BE，BC∥DE.

∵DC⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，

∴DC⊥BC.

∵AB是圆O的直径，

∴BC⊥AC，且DC∩AC=C，DC，AC⊂平面ADC，

∴BC⊥平面ADC.

∵DE∥BC，∴DE⊥平面ADC.

(2)∵DC⊥平面ABC，∴BE⊥平面ABC.

在Rt△ABE中，AB=2，EB=.

在Rt△ABC中，

∵AC=x，∴BC=(0＜x＜2)，

∴S△ABC=AC·BC=x·，

∴V(x)=V三棱锥E-ABC=x·(0＜x＜2).

∵x2(4－x2)≤2=4，当且仅当x2=4－x2，

即x=时取等号，∴当x=时，体积有最大值.