2021年高考数学一轮精选练习：48《圆的方程》(含解析)

2021年高考数学一轮精选练习：48《圆的方程》一         、选择题1.若a∈，则方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1=0表示的圆的个数为(   )A.0         B.1           C.2         D.3 2.若圆x2＋y2＋2ax－b2=0的半径为2，则点(a，b)到原点的距离为(　 　)A.1         B.2        C.         D.4 3.已知圆C与直线x－y=0及x－y－4=0都相切，圆心在直线x＋y=0上，则圆C的标准方程为(　 　)A.(x＋1)2＋(y－1)2=2       B.(x－1)2＋(y＋1)2=2C.(x－1)2＋(y－1)2=2       D.(x＋1)2＋(y＋1)2=2 4.在平面直角坐标系xOy中，以点(0,1)为圆心且与直线x－by＋2b＋1=0相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为(　 　)A.x2＋(y－1)2=4            B.x2＋(y－1)2=2C.x2＋(y－1)2=8            D.x2＋(y－1)2=16 5.若对圆(x－1)2＋(y－1)2=1上任意一点P(x，y)，|3x－4y＋a|＋|3x－4y－9|的取值与x，y无关，则实数a的取值范围是(　 　)A.(－∞，－4]                  B.[－4,6]C.(－∞，－4]∪[6，＋∞)       D.[6，＋∞) 6.圆x2＋y2＋2x－6y＋1=0关于直线ax－by＋3=0(a＞0，b＞0)对称，则＋最小值是(　　)A.2         B.          C.4           D.7.已知点P(t，t)，t∈R，点M是圆x2＋(y－1)2=上的动点，点N是圆(x－2)2＋y2=上的动点，则|PN|－|PM|的最大值是(　  )A.－1        B.2           C.3          D. 8.已知两点A(0，－3)，B(4,0)，若点P是圆C：x2＋y2－2y=0上的动点，则△ABP的面积的最小值为(　 　)A.6          B.5.5        C.8           D.10.5 二         、填空题9.若圆C：x2＋2=n的圆心为椭圆M：x2＋my2=1的一个焦点，且圆C经过M的另一个焦点，则圆C的标准方程为　     　. 10.已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2=1，设点P是圆C上的动点.记d=|PB|2＋|PA|2，其中A(0,1)，B(0，－1)，则d的最大值为　    　. 11.已知圆C的圆心在直线x＋y=0上，圆C与直线x－y=0相切，且在直线x－y－3=0上截得的弦长为，则圆C的方程为　      　. 12.设点P是函数y=－图象上的任意一点，点Q坐标为(2a，a－3)(a∈R)，则|PQ|的最小值为　　    . 13.如图，在等腰△ABC中，已知|AB|=|AC|，B(－1,0)，AC边的中点为D(2,0)，则点C的轨迹所包围的图形的面积为　  　. 三         、解答题14.在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为2，在y轴上截得线段长为2.(1)求圆心P的轨迹方程；(2)若P点到直线y=x的距离为，求圆P的方程.            15.已知M为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45=0上任意一点，且点Q(－2,3).(1)求|MQ|的最大值和最小值；(2)若M(m，n)，求的最大值和最小值.              16.已知抛物线C：y2=2x，过点(2,0)的直线l交C于A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆.(1)证明：坐标原点O在圆M上；(2)设圆M过点P(4，－2)，求直线l与圆M的方程.            
答案解析1.答案为：B；解析：方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1=0表示圆的条件为a2＋4a2－4(2a2＋a－1)＞0，即3a2＋4a－4＜0，解得－2＜a＜.又a∈，∴仅当a=0时，方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1=0表示圆，故选B. 2.答案为：B；解析：由半径r===2，得=2.∴点(a，b)到原点的距离d==2，故选B. 3.答案为：B；解析：由题意设圆心坐标为(a，－a)，则有=，即|a|=|a－2|，解得a=1.故圆心坐标为(1，－1)，半径r==，所以圆C的标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2=2，故选B. 4.答案为：B；解析：直线x－by＋2b＋1=0过定点P(－1,2)，如图.∴圆与直线x－by＋2b＋1=0相切于点P时，圆的半径最大，为，此时圆的标准方程为x2＋(y－1)2=2，故选B. 5.答案为：D；解析：设z=|3x－4y＋a|＋|3x－4y－9|=5，故|3x－4y＋a|＋|3x－4y－9|可看作点P到直线m：3x－4y＋a=0与直线l：3x－4y－9=0距离之和的5倍，∵取值与x，y无关，∴这个距离之和与P无关，如图所示，可知直线m向上平移时，P点到直线m，l间的距离之和均为m，l间的距离，即此时与x，y的值无关，当直线m与圆相切时，=1，化简得|a－1|=5，解得a=6或a=－4(舍去)，∴a≥6，故选D. 6.答案为：D；解析：由圆x2＋y2＋2x－6y＋1=0知，其标准方程为(x＋1)2＋(y－3)2=9，∵圆x2＋y2＋2x－6y＋1=0关于直线ax－by＋3=0(a＞0，b＞0)对称，∴该直线经过圆心(－1,3)，即－a－3b＋3=0，∴a＋3b=3(a＞0，b＞0)，∴＋=(a＋3b)=≥=，当且仅当=，即a=b时取等号，故选D. 7.答案为：B；解析：易知圆x2＋(y－1)2=的圆心为A(0,1)，圆(x－2)2＋y2=的圆心为B(2,0)，P(t，t)在直线y=x上，A(0,1)关于直线y=x的对称点为A′(1,0)，则|PN|－|PM|≤|PB|＋－=|PB|－|PA|＋1=|PB|－|PA′|＋1≤|A′B|＋1=2，故选B. 8.答案为：B；解析：x2＋y2－2y=0可化为x2＋(y－1)2=1，则圆C为以(0,1)为圆心，1为半径的圆.如图，过圆心C向直线AB作垂线交圆于点P，连接BP，AP，这时△ABP的面积最小，直线AB的方程为＋=1，即3x－4y－12=0，圆心C到直线AB的距离d=，又|AB|==5，∴△ABP的面积的最小值为×5×=.  一         、填空题9.答案为：x2＋(y＋1)2=4；解析：∵圆C的圆心为，∴ =，m=.又圆C经过M的另一个焦点，则圆C经过点(0,1)，从而n=4.故圆C的标准方程为x2＋(y＋1)2=4. 10.答案为：74；解析：设P(x0，y0)，d=|PB|2＋|PA|2=x＋(y0＋1)2＋x＋(y0－1)2=2(x＋y)＋2.x＋y为圆上任一点到原点距离的平方，∴(x＋y)max=(5＋1)2=36，∴dmax=74. 11.答案为：(x－1)2＋(y＋1)2=2；解析：解法一：∵所求圆的圆心在直线x＋y=0上，∴设所求圆的圆心为(a，－a).又∵所求圆与直线x－y=0相切，∴半径r==|a|.又所求圆在直线x－y－3=0上截得的弦长为，圆心(a，－a)到直线x－y－3=0的距离d=，∴d2＋2=r2，即＋=2a2，解得a=1.∴圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2=2. 12.答案为：－2；解析：函数y=－的图象表示圆(x－1)2＋y2=4在x轴及下方的部分，令点Q的坐标为(x，y)，则得y=－3，即x－2y－6=0，作出图象如图所示，由于圆心(1,0)到直线x－2y－6=0的距离d==＞2，所以直线x－2y－6=0与圆(x－1)2＋y2=4相离，因此|PQ|的最小值是－2. 13.答案为：4π；解析：由已知|AB|=2|AD|，设点A(x，y)，则(x＋1)2＋y2=4[(x－2)2＋y2]，所以点A的轨迹方程为(x－3)2＋y2=4(y≠0)，设C(x′，y′)，由AC边的中点为D(2,0)知A(4－x′，－y′)，所以C的轨迹方程为(4－x′－3)2＋(－y′)2=4，即(x－1)2＋y2=4(y≠0)，所以点C的轨迹所包围的图形面积为4π.  二         、解答题14.解：(1)设P(x，y)，圆P的半径为r.由题设y2＋2=r2，x2＋3=r2，从而y2＋2=x2＋3.故P点的轨迹方程为y2－x2=1.(2)设P(x0，y0).由已知得=.又P点在双曲线y2－x2=1上，从而得由得此时，圆P的半径r=.由得此时，圆P的半径r=.故圆P的方程为x2＋(y－1)2=3或x2＋(y＋1)2=3. 15.解：(1)由圆C：x2＋y2－4x－14y＋45=0，可得(x－2)2＋(y－7)2=8，所以圆心C的坐标为(2,7)，半径r=2.又|QC|==4＞2.所以点Q在圆C外，所以|MQ|max=4＋2=6，|MQ|min=4－2=2.(2)可知表示直线MQ的斜率，设=k，则直线MQ的方程为y－3=k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3=0，因为直线MQ与圆C有交点，所以≤2，可得2－≤k≤2＋，所以的最大值为2＋，最小值为2－. 16.解：(1)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，l：x=my＋2.由可得y2－2my－4=0，则y1y2=－4.又x1=，x2=，故x1x2==4.因此OA的斜率与OB的斜率之积为·==－1，所以OA⊥OB.故坐标原点O在圆M上.(2)由(1)可得y1＋y2=2m，x1＋x2=m(y1＋y2)＋4=2m2＋4.故圆心M的坐标为(m2＋2，m)，圆M的半径r=.由于圆M过点P(4，－2)，因此·=0，故(x1－4)(x2－4)＋(y1＋2)(y2＋2)=0，即x1x2－4(x1＋x2)＋y1y2＋2(y1＋y2)＋20=0.由(1)可得y1y2=－4，x1x2=4.所以2m2－m－1=0，解得m=1或m=－.当m=1时，直线l的方程为x－y－2=0，圆心M的坐标为(3,1)，圆M的半径为，圆M的方程为(x－3)2＋(y－1)2=10.当m=－时，直线l的方程为2x＋y－4=0，圆心M的坐标为，圆M的半径为，圆M的方程为2＋2=.