初中数学人教版九年级上册24.4 弧长及扇形的面积一课一练

这是一份初中数学人教版九年级上册24.4 弧长及扇形的面积一课一练，共10页。

一、选择题（本大题共10道小题）


1. 半径为6，圆心角为120°的扇形的面积是( )


A. 3π


B. 6π


C. 9π


D. 12π





2. 如图，▱ABCD中，∠B=70°，BC=6.以AD为直径的☉O交CD于点E，则的长为( )





A.πB.πC.πD.π





3. 如图半径为1的⊙O与正五边形ABCDE相切于点A，C，则劣弧AC的长度为( )





图A.eq \f(3,5)π B.eq \f(4,5)π C.eq \f(3,4)π D.eq \f(2,3)π





4. 如图所示的扇形纸片半径为5 cm，用它围成一个圆锥的侧面，该圆锥的高是4 cm，则该圆锥的底面周长是( )


A. 3π cm B. 4π cm C. 5π cm D. 6π cm








5. 如图某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁丝框ABCD变形为以点A为圆心，AB长为半径的扇形(忽略铁丝的粗细)，则所得扇形ADB的面积为( )





A．6 B．7 C．8 D．9





6. 2019·天水模拟 一个圆锥的轴截面是一个正三角形，则圆锥侧面展开图形的圆心角是( )


A．60° B．90° C．120° D．180°





7. 2019·宁波 如图所示，在矩形纸片ABCD中，AD＝6 cm，把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形BAF和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则AB的长为( )





A．3.5 cm B．4 cm C．4.5 cm D．5 cm





8. 如图在扇形OAB中，∠AOB＝150°，AC＝AO＝6，D为AC的中点，当弦AC沿eq \(AB,\s\up8(︵))运动时，点D所经过的路径长为( )





图A．3π B.eq \r(,3)π C.eq \f(3,2) eq \r(,3)π D．4π





9. 2018·黑龙江 如图在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝4，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转40°得到△ADE，点B经过的路径为弧BD，则图阴影部分的面积为( )





图A.eq \f(14,3)π－6 B.eq \f(25,9)π


C.eq \f(33,8)π－3 D.eq \r(33)＋π





10. 2017·衢州 运用图变化的方法研究下列问题：如图AB是⊙O的直径，CD，EF是⊙O的弦，且AB∥CD∥EF，AB＝10，CD＝6，EF＝8，则图阴影部分的面积是( )





图A.eq \f(25,2)π B．10π


C．24＋4π D．24＋5π





二、填空题（本大题共6道小题）


11. 如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC的夹角为120°，AB长为30厘米，则eq \(BC,\s\up8(︵))的长为________厘米(结果保留π)．








12. 如图，△ABC是⊙O的内接正三角形，⊙O的半径为3，则图中阴影部分的面积是________．








13. 如图，把一个圆锥沿母线OA剪开，展开后得到扇形OAC.已知圆锥的高h为12 cm，OA＝13 cm，则扇形OAC中eq \(AC,\s\up8(︵))的长是________ cm.(结果保留π)








14. 如图，圆锥的母线长OA＝6，底面圆的半径为eq \f(3,2)，一只小虫在圆锥底面的点A处绕圆锥侧面一周又回到点A处，则小虫所走的最短路程为________．(结果保留根号)








15. 如图在边长为3的正方形ABCD中，以点A为圆心，2为半径作圆弧EF，以点D为圆心，3为半径作圆弧AC.若图阴影部分的面积分别为S1，S2，则S1－S2＝________．








16. 如图，在圆柱体内挖去一个与它不等高的圆锥，锥顶O到AD的距离为1，∠OCD＝30°，OC＝4，则挖去圆锥后剩余部分的表面积是________．








三、解答题（本大题共4道小题）


17. 如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC相交于点D，E，BD＝CD，过点D作⊙O的切线交边AC于点F.


(1)求证：DF⊥AC；


(2)若⊙O的半径为5，∠CDF＝30°，求eq \(BD,\s\up8(︵))的长．(结果保留π)




















18. 如图，蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成，现想用毛毡搭建底面积为9π m2，高为6 m，外围高为2 m的蒙古包，求至少需要多少平方米的毛毡．(结果保留π)




















19. 如图，△ABC是正三角形，曲线CDEFG…叫做“正三角形的渐开线”，曲线的各部分为圆弧．


(1)图已经有4段圆弧，请接着画出第5段圆弧GH.


(2)设△ABC的边长为a，则第1段弧的长是________，第5段弧的长是________，前5段弧长的和(即曲线CDEFGH的长)是________．


(3)类似地，有“正方形的渐开线”“正五边形的渐开线”……边长为a的正方形的渐开线的前5段弧长的和是________．


(4)猜想：①边长为a的正n边形的前5段弧长的和是________；


②边长为a的正n边形的前m段弧长的和是________．




















20. 如图，已知等腰直角三角形ABC，∠ACB＝90°，D是斜边AB的中点，且AC＝BC＝16分米，以点B为圆心，BD长为半径画弧，交BC于点F，以点C为圆心，CD长为半径画弧，与AC，BC分别交于点E，G.求阴影部分的面积．




















人教版 九年级数学上册 24.4 弧长和扇形面积 同步课时训练-答案


一、选择题（本大题共10道小题）


1. 【答案】 D 【解析】由扇形的面积公式可得：S＝eq \f(120×π×62,360)＝12π.





2. 【答案】B [解析]如图，连接OE.





∵四边形ABCD是平行四边形，


∴AD=BC=6，∠D=∠B=70°，∴OD=3.


∵OD=OE，∴∠OED=∠D=70°，


∴∠DOE=40°.∴的长==π.





3. 【答案】B [解析] 连接OA，OC，则∠OAE＝∠OCD＝90°.∵五边形ABCDE为正五边形，


∴∠E＝∠D＝108°，∴∠AOC＝540°－∠OAE－∠OCD－∠E－∠D＝144°，


∴劣弧AC的长度为eq \f(144,180)×π×1＝eq \f(4,5)π.





4. 【答案】D 【解析】如解图，由题意可知，OA＝4 cm，AB＝5 cm，在Rt△AOB中，利用勾股定理可求得OB＝3 cm，∴该圆锥的底面周长是6π cm.








5. 【答案】D [解析] ∵正方形的边长为3，∴eq \(BD,\s\up8(︵))的长度为6，∴S扇形ADB＝eq \f(1,2)lR＝eq \f(1,2)×6×3＝9.





6. 【答案】D





7. 【答案】B





8. 【答案】C [解析] 如图∵D为AC的中点，AC＝AO＝6，


∴OD⊥AC，∴AD＝eq \f(1,2)AC＝eq \f(1,2)AO，


∴∠AOD＝30°，OD＝3 eq \r(3).


作BF＝AC，E为BF的中点．


同理可得∠BOE＝30°，


∴∠DOE＝150°－60°＝90°，


∴点D所经过的路径长为eq \f(nπR,180)＝eq \f(90π×3 \r(3),180)＝eq \f(3 \r(3),2)π.





9. 【答案】B [解析] ∵AB＝5，AC＝3，BC＝4，∴AC2＋BC2＝25＝AB2，∴△ABC为直角三角形．


由旋转的性质得，△ADE的面积＝△ABC的面积，


由图可知，阴影部分的面积＝△ADE的面积＋扇形ADB的面积－△ABC的面积，


∴阴影部分的面积＝扇形ADB的面积＝eq \f(40π×52,360)＝eq \f(25,9)π.





10. 【答案】A [解析] 如图作直径CG，连接OD，OE，OF，DG.





∵CG是⊙O的直径，∴∠CDG＝90°，则DG＝eq \r(CG2－CD2)＝8.


又∵EF＝8，∴DG＝EF，


∴eq \(DG,\s\up8(︵))＝eq \(EF,\s\up8(︵))，


∴S扇形ODG＝S扇形OEF.


∵AB∥CD∥EF，∴S△OCD＝S△ACD，S△OEF＝S△AEF，


∴S阴影＝S扇形OCD＋S扇形OEF＝S扇形OCD＋S扇形ODG＝S半圆＝eq \f(1,2)π×52＝eq \f(25,2)π.





二、填空题（本大题共6道小题）


11. 【答案】20π 【解析】由弧长公式得，leq \(BC,\s\up8(︵))的长＝eq \f(120π×30,180)＝20π.





12. 【答案】3π 【解析】∵△ABC是⊙O的内接正三角形，∴∠AOB＝2∠C＝2×60°＝120° ，∵⊙O的半径为3，∴阴影部分的面积S扇形OAB＝eq \f(120×π×32,360)＝3π.





13. 【答案】10π [解析] 由勾股定理，得圆锥的底面圆半径为eq \r(132－122)＝5(cm)，∴扇形的弧长＝圆锥的底面圆周长＝2π×5＝10π(cm)．





14. 【答案】eq \r(3)6 eq \r(2) [解析] 圆锥侧面展开图图示，则AA′为小虫所走的最短路径．





∵圆锥底面圆的半径为eq \f(3,2)，


∴圆锥的底面周长为2π×eq \f(3,2)＝3π.


设圆锥的侧面展开图圆心角为n°，则eq \f(nπ×6,180)＝3π，解得n＝90，即∠AOA′＝90°.


又∵OA＝OA′＝6，


∴AA′＝eq \r(2)OA＝6 eq \r(2).


15. 【答案】eq \f(13π,4)－9 [解析] ∵S正方形ABCD＝3×3＝9，S扇形DAC＝eq \f(9π,4)，S扇形AEF＝π，


∴S1－S2＝S扇形AEF－(S正方形ABCD－S扇形DAC)＝π－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(9－\f(9π,4)))＝eq \f(13π,4)－9.





16. 【答案】(16＋8 eq \r(3))π [解析] ∵∠OCD＝30°，


∴∠OCB＝60°.


又∵OB＝OC，


∴△OBC是等边三角形，


∴挖去的圆锥的高为2 eq \r(3)，底面圆的半径为2，


∴圆柱的高为1＋2 eq \r(3)，


则挖去圆锥后该物体的表面积为(1＋2 eq \r(3))×4π＋π×22＋eq \f(1,2)×4π×4＝(16＋8 eq \r(3))π.





三、解答题（本大题共4道小题）


17. 【答案】


(1)证明：如解图，连接OD，(1分)


∵DF是⊙O的切线，D为切点，





解图


∴OD⊥DF，


∴∠ODF＝90°，(2分)


∵BD＝CD，OA＝OB，


∴OD是△ABC的中位线，(3分)


∴OD∥AC，


∴∠CFD＝∠ODF＝90°，


∴DF⊥AC.(4分)


(2)解：∵∠CDF＝30°，


由(1)得∠ODF＝90°，


∴∠ODB＝180°－∠CDF－∠ODF＝60°，


∵OB＝OD，


∴△OBD是等边三角形，(7分)


∴∠BOD＝60°，


∴leq \(BD,\s\up8(︵))＝eq \f(nπR,180)＝eq \f(60π×5,180)＝eq \f(5,3)π.(8分)





18. 【答案】


解：∵蒙古包的底面积为9π m2，高为6 m，外围(圆柱)高为2 m，


∴底面圆的半径为3 m，圆锥的高为6－2＝4(m)，


∴圆锥的母线长为5 m，


∴圆锥的侧面积为π×3×5＝15π(m2)，


圆锥的底面周长为2π×3＝6π(m)，


圆柱的侧面积为6π×2＝12π(m2)．


故至少需要毛毡15π＋12π＝27π(m2)．





19. 【答案】


eq \f(13π,4)解：(1)如图





(2)eq \f(2,3)πa eq \f(10,3)πa 10πa


(3)eq \f(15πa,2)


(4)①eq \f(30,n)πa ②eq \f(m（m＋1）,n)πa


20. 【答案】


解：连接CD.∵△ABC是等腰直角三角形，D是斜边AB的中点，


∴CD⊥AB.


由已知，得AB＝16 eq \r(2)，∠DBF＝45°，


∴BF＝BD＝eq \f(1,2)AB＝CD＝8 eq \r(2)，


∴阴影部分的面积是eq \f(16×16,2)－eq \f(45π×（8 \r(2)）2,360)－[eq \f(1,2)×eq \f(16×16,2)－eq \f(45π×（8 \r(2)）2,360)]＝64(分米2)．


答：阴影部分的面积是64平方分米．