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2019-2020学年江西省宜春市上高县京英中学八年级下学期第一次段考数学试卷（Word版 含解析）
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2019-2020学年江西省宜春市上高县京英中学八年级第二学期第一次段考数学试卷
一、选择题（共6小题）.
1．（3分）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≥﹣3 B．x＞3 C．x≥3 D．x≤3
2．（3分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB＝DC，AD＝BC B．AB∥DC，AD∥BC
C．AB∥DC，AD＝BC D．OA＝OC，OB＝OD
3．（3分）下列各曲线中表示y是x的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（3分）如图，菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，则菱形的周长是（ ）
A．20 B．24 C．28 D．40
5．（3分）如图，所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，已知S1＝4，S2＝9，S3＝8，S4＝10，则S＝（ ）
A．25 B．31 C．32 D．40
6．（3分）如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE＝1，AF＝2，若P为对角线BD上一动点，则EP+FP的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（每题3分，共18分）
7．（3分）计算：＝ ．
8．（3分）如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，AB＝10cm，AD＝8cm，AC⊥BC，则OB＝ cm．
9．（3分）一只蚂蚁沿棱长为2的正方体表面从顶点A爬到顶点B，则它走过的最短路程为 ．
10．（3分）已知△ABC的三边长为a、b、c，满足a+b＝10，ab＝18，c＝8，则此三角形为 三角形．
11．（3分）已知正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0），当﹣3≤x≤1时，对应的y的取值范围是﹣1≤y≤，且y随x的减小而减小，则k的值为 ．
12．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG＝BD，连接BG、DF．若AG＝13，CF＝6，则四边形BDFG的周长为 ．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（6分）（1）×÷
（2）+2﹣（﹣）
14．（6分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，AC＝8，BC＝6，则线段AD的长度是多少？
15．（6分）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E，F，G，H分别是AB，CD，AC，EF的中点，求证：GH⊥EF．
16．（6分）如图，四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，O是AC的中点，AD∥BC，AC＝8，BD＝6．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若AC⊥BD，求▱ABCD的面积．
17．（6分）已知y＝（k﹣3）x是关于x的正比例函数，
（1）写出y与x之间的函数解析式：
（2）求当x＝﹣4时，y的值．
四、（本大题共4小题，18小题7分，19小题8分，20小题9分，21小题10分，共34分）
18．（7分）如图，将长方形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点E．
（1）试判断△BDE的形状，并说明理由；
（2）若AB＝4，AD＝8，求△BDE的面积．
19．（8分）如图1，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，点P从A点出发，沿A→B→C→D路线运动，到D点停止；点Q从D点出发，沿D→C→B→A运动，到A点停止．若点P、点Q同时出发，点P的速度为每秒1cm，点Q的速度为每秒2cm，a秒时点P、点Q同时改变速度，点P的速度变为每秒b（cm），点Q的速度变为每秒c（cm）．如图2是点P出发x秒后△APD的面积S1（cm2）与x（秒）的函数关系图象；图3是点Q出发x秒后△AQD的面积S2（cm2）与x（秒）的函数关系图象．根据图象：
（1）求a、b、c的值；
（2）设点P离开点A的路程为y1（cm），点Q到点A还需要走的路程为y2（cm），请分别写出改变速度后y1、y2与出发后的运动时间x（秒）的函数关系式，并求出P与Q相遇时x的值．
20．（9分）阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+＝（1+）2．善于思考的小明进行了以下探索：
设a+b＝（m+n）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b＝m2+2n2+2mn．
∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b＝，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝ ，b＝ ；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空： + ＝（ + ）2；
（3）若a+4＝，且a、m、n均为正整数，求a的值？
21．（10分）如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．
（1）求证：△AMB≌△ENB；
（2）①当M点在何处时，AM+CM的值最小；
②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由；
（3）当AM+BM+CM的最小值为时，求正方形的边长．
参考答案
一、选择题（每题3分，共18分）
1．（3分）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≥﹣3 B．x＞3 C．x≥3 D．x≤3
解：∵代数式在实数范围内有意义，
∴x﹣3≥0，
解得x≥3．
故选：C．
2．（3分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB＝DC，AD＝BC B．AB∥DC，AD∥BC
C．AB∥DC，AD＝BC D．OA＝OC，OB＝OD
解：A、根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不符合题意；
B、根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不符合题意；
C、“一组对边平行，另一组对边相等”是四边形也可能是等腰梯形，故本选项符合题意；
D、根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不符合题意；
故选：C．
3．（3分）下列各曲线中表示y是x的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
解：根据函数的意义可知：对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，故D正确．
故选：D．
4．（3分）如图，菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，则菱形的周长是（ ）
A．20 B．24 C．28 D．40
解：∵菱形对角线互相垂直平分，
∴BO＝OD＝3，AO＝OC＝4，
∴AB＝＝5，
故菱形的周长为20．
故选：A．
5．（3分）如图，所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，已知S1＝4，S2＝9，S3＝8，S4＝10，则S＝（ ）
A．25 B．31 C．32 D．40
解：如图，由题意得：
AB2＝S1+S2＝13，
AC2＝S3+S4＝18，
∴BC2＝AB2+AC2＝31，
∴S＝BC2＝31，
故选：B．
6．（3分）如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE＝1，AF＝2，若P为对角线BD上一动点，则EP+FP的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
解：作F点关于BD的对称点F′，连接EF′交BD于点P，则PF＝PF′．
∴EP+FP＝EP+F′P．
由两点之间线段最短可知：当E、P、F′在一条直线上时，EP+FP的值最小，此时EP+FP＝EP+F′P＝EF′．
∵四边形ABCD为菱形，周长为12，
∴AB＝BC＝CD＝DA＝3，AB∥CD，
∵AF＝2，AE＝1，
∴DF＝DF′＝AE＝1，
∴四边形AEF′D是平行四边形，
∴EF′＝AD＝3．
∴EP+FP的最小值为3．
故选：C．
二、填空题（每题3分，共18分）
7．（3分）计算：＝ ．
解：＝2﹣＝．
故答案为．
8．（3分）如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，AB＝10cm，AD＝8cm，AC⊥BC，则OB＝ cm．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝8cm，OA＝OC＝AC，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
∴AC＝＝＝6，
∴OC＝3，
∴OB＝＝＝；
故答案为：．
9．（3分）一只蚂蚁沿棱长为2的正方体表面从顶点A爬到顶点B，则它走过的最短路程为 2 ．
解：将正方体展开，连接A、B，根据两点之间线段最短，AB＝＝2．
故答案为：2．
10．（3分）已知△ABC的三边长为a、b、c，满足a+b＝10，ab＝18，c＝8，则此三角形为 直角 三角形．
解：∵a+b＝10，ab＝18，c＝8，
∴（a+b）2﹣2ab
＝100﹣36
＝64，
c2＝64，
∴a2+b2＝c2，
∴此三角形是直角三角形．
故答案为：直角．
11．（3分）已知正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0），当﹣3≤x≤1时，对应的y的取值范围是﹣1≤y≤，且y随x的减小而减小，则k的值为 ．
解：由题意k＞0时，y随x的减少而减少，
∴当x＝﹣3时，y＝﹣1，代入正比例函数y＝kx得：﹣1＝﹣3k
解得k＝，
故答案为：．
12．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG＝BD，连接BG、DF．若AG＝13，CF＝6，则四边形BDFG的周长为 20 ．
解：∵AG∥BD，BD＝FG，
∴四边形BGFD是平行四边形，
∵CF⊥BD，
∴CF⊥AG，
又∵点D是AC中点，
∴BD＝DF＝AC，
∴四边形BGFD是菱形，
设GF＝x，则AF＝13﹣x，AC＝2x，
∵在Rt△ACF中，∠CFA＝90°，
∴AF2+CF2＝AC2，即（13﹣x）2+62＝（2x）2，
解得：x＝5，
故四边形BDFG的周长＝4GF＝20．
故答案为：20．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（6分）（1）×÷
（2）+2﹣（﹣）
解：（1）原式＝÷
＝；
（2）原式＝2+2﹣3+
＝3﹣．
14．（6分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，AC＝8，BC＝6，则线段AD的长度是多少？
解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴由勾股定理得：AB＝＝10
又∵CD⊥AB
∴S△ABC＝AC×BC＝AB×CD
∴×8×6＝×10×CD
∴CD＝4.8
∴在Rt△ADC中，由勾股定理得：
AD＝＝＝6.4
答：线段AD的长度是6.4．
15．（6分）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E，F，G，H分别是AB，CD，AC，EF的中点，求证：GH⊥EF．
【解答】证明：∵E，F，G分别是AB，CD，AC的中点，
∴FG＝AD，EG＝BC，
∵AD＝BC，
∴FG＝GE，
∵H是EF的中点，
∴GH⊥EF．
16．（6分）如图，四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，O是AC的中点，AD∥BC，AC＝8，BD＝6．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若AC⊥BD，求▱ABCD的面积．
解：
（1）∵O是AC的中点，
∴OA＝OC，
∵AD∥BC，
∴∠ADO＝∠CBO，
在△AOD和△COB中，
，
∴△AOD≌△COB，
∴OD＝OB，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴▱ABCD的面积＝AC•BD＝24．
17．（6分）已知y＝（k﹣3）x是关于x的正比例函数，
（1）写出y与x之间的函数解析式：
（2）求当x＝﹣4时，y的值．
解：（1）当k2﹣8＝1，且k﹣3≠0时，y是x的正比例函数，
故k＝﹣3时，y是x的正比例函数，
∴y＝﹣6x；
（2）当x＝﹣4时，y＝﹣6×（﹣4）＝24．
四、（本大题共4小题，18小题7分，19小题8分，20小题9分，21小题10分，共34分）
18．（7分）如图，将长方形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点E．
（1）试判断△BDE的形状，并说明理由；
（2）若AB＝4，AD＝8，求△BDE的面积．
解：（1）△BDE是等腰三角形．
由折叠可知，∠CBD＝∠EBD，
∵AD∥BC，
∴∠CBD＝∠EDB，
∴∠EBD＝∠EDB，
∴BE＝DE，
即△BDE是等腰三角形；
（2）设DE＝x，则BE＝x，AE＝8﹣x，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：AB2+AE2＝BE2即42+（8﹣x）2＝x2，
解得：x＝5，
所以S△BDE＝DE×AB＝×5×4＝10．
19．（8分）如图1，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，点P从A点出发，沿A→B→C→D路线运动，到D点停止；点Q从D点出发，沿D→C→B→A运动，到A点停止．若点P、点Q同时出发，点P的速度为每秒1cm，点Q的速度为每秒2cm，a秒时点P、点Q同时改变速度，点P的速度变为每秒b（cm），点Q的速度变为每秒c（cm）．如图2是点P出发x秒后△APD的面积S1（cm2）与x（秒）的函数关系图象；图3是点Q出发x秒后△AQD的面积S2（cm2）与x（秒）的函数关系图象．根据图象：
（1）求a、b、c的值；
（2）设点P离开点A的路程为y1（cm），点Q到点A还需要走的路程为y2（cm），请分别写出改变速度后y1、y2与出发后的运动时间x（秒）的函数关系式，并求出P与Q相遇时x的值．
解：（1）观察图象得，S△APQ＝PA•AD＝×（1×a）×6＝24，
解得a＝8（秒）
b＝＝2（厘米/秒）
（22﹣8）c＝（12×2+6）﹣2×8
解得c＝1（厘米/秒）
（2）依题意得：y1＝1×8+2（x﹣8），
即：y1＝2x﹣8（x＞8），
y2＝（30﹣2×8）﹣1×（x﹣8）
＝22﹣x（x＞8）
又据题意，当y1＝y2，P与Q相遇，即
即2x﹣8＝（22﹣x），
解得x＝10．
故出发10s时P、Q相遇．
20．（9分）阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+＝（1+）2．善于思考的小明进行了以下探索：
设a+b＝（m+n）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b＝m2+2n2+2mn．
∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b＝，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝ m2+3n2 ，b＝ 2mn ；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空： 4 + 2 ＝（ 1 + 1 ）2；
（3）若a+4＝，且a、m、n均为正整数，求a的值？
解：（1）∵a+b＝，
∴a+b＝m2+3n2+2mn，
∴a＝m2+3n2，b＝2mn．
故答案为：m2+3n2，2mn．
（2）令m＝1，n＝1，
∴a＝m2+3n2＝4，b＝2mn＝2．
故答案为4、2、1、1．
（3）由（1）可知：
a＝m2+3n2，b＝2mn
∵b＝4＝2mn，且m、n为正整数，
∴m＝2，n＝1或者m＝1，n＝2，
∴a＝22+3×12＝7，或a＝12+3×22＝13．
∴a＝7或13．
21．（10分）如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．
（1）求证：△AMB≌△ENB；
（2）①当M点在何处时，AM+CM的值最小；
②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由；
（3）当AM+BM+CM的最小值为时，求正方形的边长．
【解答】（1）证明：∵△ABE是等边三角形，
∴BA＝BE，∠ABE＝60°．
∵∠MBN＝60°，
∴∠MBN﹣∠ABN＝∠ABE﹣∠ABN．
即∠MBA＝∠NBE．
又∵MB＝NB，
∴△AMB≌△ENB（SAS）．
（2）解：①当M点落在BD的中点时，A、M、C三点共线，AM+CM的值最小．②如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，
AM+BM+CM的值最小．
理由如下：连接MN，由（1）知，△AMB≌△ENB，
∴AM＝EN，
∵∠MBN＝60°，MB＝NB，
∴△BMN是等边三角形．
∴BM＝MN．
∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM．
根据“两点之间线段最短”可知，若E、N、M、C在同一条直线上时，EN+MN+CM取得最小值，最小值为EC．
在△ABM和△CBM中，
，
∴△ABM≌△CBM，
∴∠BAM＝∠BCM，
∴∠BCM＝∠BEN，
∵EB＝CB，
∴若连接EC，则∠BEC＝∠BCE，
∵∠BCM＝∠BCE，∠BEN＝∠BEC，
∴M、N可以同时在直线EC上．
∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的长．
（3）解：过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，
∴∠EBF＝∠ABF﹣∠ABE＝90°﹣60°＝30°．
设正方形的边长为x，则BF＝x，EF＝．
在Rt△EFC中，
∵EF2+FC2＝EC2，
∴（）2+（x+x）2＝．
解得x1＝，x2＝﹣（舍去负值）．
∴正方形的边长为．
一、选择题（共6小题）.
1．（3分）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≥﹣3 B．x＞3 C．x≥3 D．x≤3
2．（3分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB＝DC，AD＝BC B．AB∥DC，AD∥BC
C．AB∥DC，AD＝BC D．OA＝OC，OB＝OD
3．（3分）下列各曲线中表示y是x的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（3分）如图，菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，则菱形的周长是（ ）
A．20 B．24 C．28 D．40
5．（3分）如图，所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，已知S1＝4，S2＝9，S3＝8，S4＝10，则S＝（ ）
A．25 B．31 C．32 D．40
6．（3分）如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE＝1，AF＝2，若P为对角线BD上一动点，则EP+FP的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（每题3分，共18分）
7．（3分）计算：＝ ．
8．（3分）如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，AB＝10cm，AD＝8cm，AC⊥BC，则OB＝ cm．
9．（3分）一只蚂蚁沿棱长为2的正方体表面从顶点A爬到顶点B，则它走过的最短路程为 ．
10．（3分）已知△ABC的三边长为a、b、c，满足a+b＝10，ab＝18，c＝8，则此三角形为 三角形．
11．（3分）已知正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0），当﹣3≤x≤1时，对应的y的取值范围是﹣1≤y≤，且y随x的减小而减小，则k的值为 ．
12．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG＝BD，连接BG、DF．若AG＝13，CF＝6，则四边形BDFG的周长为 ．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（6分）（1）×÷
（2）+2﹣（﹣）
14．（6分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，AC＝8，BC＝6，则线段AD的长度是多少？
15．（6分）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E，F，G，H分别是AB，CD，AC，EF的中点，求证：GH⊥EF．
16．（6分）如图，四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，O是AC的中点，AD∥BC，AC＝8，BD＝6．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若AC⊥BD，求▱ABCD的面积．
17．（6分）已知y＝（k﹣3）x是关于x的正比例函数，
（1）写出y与x之间的函数解析式：
（2）求当x＝﹣4时，y的值．
四、（本大题共4小题，18小题7分，19小题8分，20小题9分，21小题10分，共34分）
18．（7分）如图，将长方形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点E．
（1）试判断△BDE的形状，并说明理由；
（2）若AB＝4，AD＝8，求△BDE的面积．
19．（8分）如图1，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，点P从A点出发，沿A→B→C→D路线运动，到D点停止；点Q从D点出发，沿D→C→B→A运动，到A点停止．若点P、点Q同时出发，点P的速度为每秒1cm，点Q的速度为每秒2cm，a秒时点P、点Q同时改变速度，点P的速度变为每秒b（cm），点Q的速度变为每秒c（cm）．如图2是点P出发x秒后△APD的面积S1（cm2）与x（秒）的函数关系图象；图3是点Q出发x秒后△AQD的面积S2（cm2）与x（秒）的函数关系图象．根据图象：
（1）求a、b、c的值；
（2）设点P离开点A的路程为y1（cm），点Q到点A还需要走的路程为y2（cm），请分别写出改变速度后y1、y2与出发后的运动时间x（秒）的函数关系式，并求出P与Q相遇时x的值．
20．（9分）阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+＝（1+）2．善于思考的小明进行了以下探索：
设a+b＝（m+n）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b＝m2+2n2+2mn．
∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b＝，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝ ，b＝ ；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空： + ＝（ + ）2；
（3）若a+4＝，且a、m、n均为正整数，求a的值？
21．（10分）如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．
（1）求证：△AMB≌△ENB；
（2）①当M点在何处时，AM+CM的值最小；
②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由；
（3）当AM+BM+CM的最小值为时，求正方形的边长．
参考答案
一、选择题（每题3分，共18分）
1．（3分）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≥﹣3 B．x＞3 C．x≥3 D．x≤3
解：∵代数式在实数范围内有意义，
∴x﹣3≥0，
解得x≥3．
故选：C．
2．（3分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB＝DC，AD＝BC B．AB∥DC，AD∥BC
C．AB∥DC，AD＝BC D．OA＝OC，OB＝OD
解：A、根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不符合题意；
B、根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不符合题意；
C、“一组对边平行，另一组对边相等”是四边形也可能是等腰梯形，故本选项符合题意；
D、根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不符合题意；
故选：C．
3．（3分）下列各曲线中表示y是x的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
解：根据函数的意义可知：对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，故D正确．
故选：D．
4．（3分）如图，菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，则菱形的周长是（ ）
A．20 B．24 C．28 D．40
解：∵菱形对角线互相垂直平分，
∴BO＝OD＝3，AO＝OC＝4，
∴AB＝＝5，
故菱形的周长为20．
故选：A．
5．（3分）如图，所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，已知S1＝4，S2＝9，S3＝8，S4＝10，则S＝（ ）
A．25 B．31 C．32 D．40
解：如图，由题意得：
AB2＝S1+S2＝13，
AC2＝S3+S4＝18，
∴BC2＝AB2+AC2＝31，
∴S＝BC2＝31，
故选：B．
6．（3分）如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE＝1，AF＝2，若P为对角线BD上一动点，则EP+FP的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
解：作F点关于BD的对称点F′，连接EF′交BD于点P，则PF＝PF′．
∴EP+FP＝EP+F′P．
由两点之间线段最短可知：当E、P、F′在一条直线上时，EP+FP的值最小，此时EP+FP＝EP+F′P＝EF′．
∵四边形ABCD为菱形，周长为12，
∴AB＝BC＝CD＝DA＝3，AB∥CD，
∵AF＝2，AE＝1，
∴DF＝DF′＝AE＝1，
∴四边形AEF′D是平行四边形，
∴EF′＝AD＝3．
∴EP+FP的最小值为3．
故选：C．
二、填空题（每题3分，共18分）
7．（3分）计算：＝ ．
解：＝2﹣＝．
故答案为．
8．（3分）如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，AB＝10cm，AD＝8cm，AC⊥BC，则OB＝ cm．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝8cm，OA＝OC＝AC，
∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
∴AC＝＝＝6，
∴OC＝3，
∴OB＝＝＝；
故答案为：．
9．（3分）一只蚂蚁沿棱长为2的正方体表面从顶点A爬到顶点B，则它走过的最短路程为 2 ．
解：将正方体展开，连接A、B，根据两点之间线段最短，AB＝＝2．
故答案为：2．
10．（3分）已知△ABC的三边长为a、b、c，满足a+b＝10，ab＝18，c＝8，则此三角形为 直角 三角形．
解：∵a+b＝10，ab＝18，c＝8，
∴（a+b）2﹣2ab
＝100﹣36
＝64，
c2＝64，
∴a2+b2＝c2，
∴此三角形是直角三角形．
故答案为：直角．
11．（3分）已知正比例函数y＝kx（k是常数，k≠0），当﹣3≤x≤1时，对应的y的取值范围是﹣1≤y≤，且y随x的减小而减小，则k的值为 ．
解：由题意k＞0时，y随x的减少而减少，
∴当x＝﹣3时，y＝﹣1，代入正比例函数y＝kx得：﹣1＝﹣3k
解得k＝，
故答案为：．
12．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG＝BD，连接BG、DF．若AG＝13，CF＝6，则四边形BDFG的周长为 20 ．
解：∵AG∥BD，BD＝FG，
∴四边形BGFD是平行四边形，
∵CF⊥BD，
∴CF⊥AG，
又∵点D是AC中点，
∴BD＝DF＝AC，
∴四边形BGFD是菱形，
设GF＝x，则AF＝13﹣x，AC＝2x，
∵在Rt△ACF中，∠CFA＝90°，
∴AF2+CF2＝AC2，即（13﹣x）2+62＝（2x）2，
解得：x＝5，
故四边形BDFG的周长＝4GF＝20．
故答案为：20．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13．（6分）（1）×÷
（2）+2﹣（﹣）
解：（1）原式＝÷
＝；
（2）原式＝2+2﹣3+
＝3﹣．
14．（6分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，AC＝8，BC＝6，则线段AD的长度是多少？
解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴由勾股定理得：AB＝＝10
又∵CD⊥AB
∴S△ABC＝AC×BC＝AB×CD
∴×8×6＝×10×CD
∴CD＝4.8
∴在Rt△ADC中，由勾股定理得：
AD＝＝＝6.4
答：线段AD的长度是6.4．
15．（6分）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E，F，G，H分别是AB，CD，AC，EF的中点，求证：GH⊥EF．
【解答】证明：∵E，F，G分别是AB，CD，AC的中点，
∴FG＝AD，EG＝BC，
∵AD＝BC，
∴FG＝GE，
∵H是EF的中点，
∴GH⊥EF．
16．（6分）如图，四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，O是AC的中点，AD∥BC，AC＝8，BD＝6．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若AC⊥BD，求▱ABCD的面积．
解：
（1）∵O是AC的中点，
∴OA＝OC，
∵AD∥BC，
∴∠ADO＝∠CBO，
在△AOD和△COB中，
，
∴△AOD≌△COB，
∴OD＝OB，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴▱ABCD的面积＝AC•BD＝24．
17．（6分）已知y＝（k﹣3）x是关于x的正比例函数，
（1）写出y与x之间的函数解析式：
（2）求当x＝﹣4时，y的值．
解：（1）当k2﹣8＝1，且k﹣3≠0时，y是x的正比例函数，
故k＝﹣3时，y是x的正比例函数，
∴y＝﹣6x；
（2）当x＝﹣4时，y＝﹣6×（﹣4）＝24．
四、（本大题共4小题，18小题7分，19小题8分，20小题9分，21小题10分，共34分）
18．（7分）如图，将长方形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点E．
（1）试判断△BDE的形状，并说明理由；
（2）若AB＝4，AD＝8，求△BDE的面积．
解：（1）△BDE是等腰三角形．
由折叠可知，∠CBD＝∠EBD，
∵AD∥BC，
∴∠CBD＝∠EDB，
∴∠EBD＝∠EDB，
∴BE＝DE，
即△BDE是等腰三角形；
（2）设DE＝x，则BE＝x，AE＝8﹣x，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：AB2+AE2＝BE2即42+（8﹣x）2＝x2，
解得：x＝5，
所以S△BDE＝DE×AB＝×5×4＝10．
19．（8分）如图1，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，点P从A点出发，沿A→B→C→D路线运动，到D点停止；点Q从D点出发，沿D→C→B→A运动，到A点停止．若点P、点Q同时出发，点P的速度为每秒1cm，点Q的速度为每秒2cm，a秒时点P、点Q同时改变速度，点P的速度变为每秒b（cm），点Q的速度变为每秒c（cm）．如图2是点P出发x秒后△APD的面积S1（cm2）与x（秒）的函数关系图象；图3是点Q出发x秒后△AQD的面积S2（cm2）与x（秒）的函数关系图象．根据图象：
（1）求a、b、c的值；
（2）设点P离开点A的路程为y1（cm），点Q到点A还需要走的路程为y2（cm），请分别写出改变速度后y1、y2与出发后的运动时间x（秒）的函数关系式，并求出P与Q相遇时x的值．
解：（1）观察图象得，S△APQ＝PA•AD＝×（1×a）×6＝24，
解得a＝8（秒）
b＝＝2（厘米/秒）
（22﹣8）c＝（12×2+6）﹣2×8
解得c＝1（厘米/秒）
（2）依题意得：y1＝1×8+2（x﹣8），
即：y1＝2x﹣8（x＞8），
y2＝（30﹣2×8）﹣1×（x﹣8）
＝22﹣x（x＞8）
又据题意，当y1＝y2，P与Q相遇，即
即2x﹣8＝（22﹣x），
解得x＝10．
故出发10s时P、Q相遇．
20．（9分）阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+＝（1+）2．善于思考的小明进行了以下探索：
设a+b＝（m+n）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b＝m2+2n2+2mn．
∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b＝，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝ m2+3n2 ，b＝ 2mn ；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空： 4 + 2 ＝（ 1 + 1 ）2；
（3）若a+4＝，且a、m、n均为正整数，求a的值？
解：（1）∵a+b＝，
∴a+b＝m2+3n2+2mn，
∴a＝m2+3n2，b＝2mn．
故答案为：m2+3n2，2mn．
（2）令m＝1，n＝1，
∴a＝m2+3n2＝4，b＝2mn＝2．
故答案为4、2、1、1．
（3）由（1）可知：
a＝m2+3n2，b＝2mn
∵b＝4＝2mn，且m、n为正整数，
∴m＝2，n＝1或者m＝1，n＝2，
∴a＝22+3×12＝7，或a＝12+3×22＝13．
∴a＝7或13．
21．（10分）如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．
（1）求证：△AMB≌△ENB；
（2）①当M点在何处时，AM+CM的值最小；
②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由；
（3）当AM+BM+CM的最小值为时，求正方形的边长．
【解答】（1）证明：∵△ABE是等边三角形，
∴BA＝BE，∠ABE＝60°．
∵∠MBN＝60°，
∴∠MBN﹣∠ABN＝∠ABE﹣∠ABN．
即∠MBA＝∠NBE．
又∵MB＝NB，
∴△AMB≌△ENB（SAS）．
（2）解：①当M点落在BD的中点时，A、M、C三点共线，AM+CM的值最小．②如图，连接CE，当M点位于BD与CE的交点处时，
AM+BM+CM的值最小．
理由如下：连接MN，由（1）知，△AMB≌△ENB，
∴AM＝EN，
∵∠MBN＝60°，MB＝NB，
∴△BMN是等边三角形．
∴BM＝MN．
∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM．
根据“两点之间线段最短”可知，若E、N、M、C在同一条直线上时，EN+MN+CM取得最小值，最小值为EC．
在△ABM和△CBM中，
，
∴△ABM≌△CBM，
∴∠BAM＝∠BCM，
∴∠BCM＝∠BEN，
∵EB＝CB，
∴若连接EC，则∠BEC＝∠BCE，
∵∠BCM＝∠BCE，∠BEN＝∠BEC，
∴M、N可以同时在直线EC上．
∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的长．
（3）解：过E点作EF⊥BC交CB的延长线于F，
∴∠EBF＝∠ABF﹣∠ABE＝90°﹣60°＝30°．
设正方形的边长为x，则BF＝x，EF＝．
在Rt△EFC中，
∵EF2+FC2＝EC2，
∴（）2+（x+x）2＝．
解得x1＝，x2＝﹣（舍去负值）．
∴正方形的边长为．
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