(数学）浙江省浙南名校联盟2019-2020学年高二下学期期末联考数学试题

 2019学年第二学期浙南名校联盟期末联考高二年级数学学科试题一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，A∩B=（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】求出集合，即求.【详解】由，可得.由，可得..故选：D.【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题.2.下列运算结果为纯虚数的是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】根据复数的乘法法则将选项当中的每个复数计算化简，求得结果，再根据纯虚数的定义，可得选项.【详解】，， ， ，通过比较可以知道，只有为纯虚数，故选：D.【点睛】本题考查复数的乘法运算和纯虚数的定义，属于基础题.3.已知，则p是q的（    ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由不等式，解得或，再结合充分条件和必要条件的判定方法，即可求解，得到答案.【详解】由题意，可得不等式，可转化为，解得或，所以p是q的充分不必要条件.故选：A.【点睛】本题主要考查了分式不等式的求解，以及充分条件、必要条件的判定，其中解答中熟记分式不等式的解法，以及充分条件和必要条件的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4.已知m， n是两条不同直线， α， β， γ是三个不同的平面，下列命题正确的是（    ）A. 若m⊥α， n⊥β，则α⊥β B. 若m//α， m//β，则α// βC. 若m⊥α， n//α，则m⊥n D. 若m//α， n//α， n⊥β，则m⊥β【答案】C【解析】【分析】由题意结合线线、线面、面面位置关系逐项判断即可得解.【详解】对于A，若m⊥α， n⊥β，则平面α、β的位置关系无法确定，故A错误；对于B，若m//α， m//β，则α//β或平面α、β相交，故B错误；对于C，若n//α，则平面α内存在直线c使得n//c，因为m⊥α，所以m⊥c，所以m⊥n，故C正确；对于D，若m//α， n//α， n⊥β，则m//n不一定成立，故m⊥β不一定成立，故D错误.故选：C.【点睛】本题考查了线线、线面、面面位置关系的判断，牢记位置关系的判定与性质是解题关键，属于基础题.5.若x， y满足，表示的平面区域为，直线y＝kx－k与区域有公共点，则k的取值范围是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】B【解析】【分析】由题意画出平面区域，由直线过定点，数形结合即可得解.【详解】由题意画出平面区域为，如图阴影部分所示：直线，所以直线过点，易得点，由可得点，当直线过点时，，当直线过点时，，数形结合可知，k的取值范围是.故选：B.【点睛】本题考查了二元一次不等式组表示的平面区域问题，考查了直线过定点及直线斜率的相关知识，属于基础题.6.已知函数，则下列错误的是（    ）A. f(x)的最大值是1 B. f(x)是周期函数C. f(x)的图象关于直线对称 D. f(x)是偶函数【答案】C【解析】【分析】根据余弦函数的值域，周期性，奇偶性，以及对称性逐一判断选项，可得答案.【详解】，，所以f(x)的最大值是1，故A选项正确；，所以f(x)是周期函数，故B选项正确；，所以f(x)的图象关于直线对称不成立，故C选项不正确；，所以f(x)是偶函数，故D选项正确；故选：C.【点睛】本题考查余弦函数的性质，关键在于理解和熟练掌握余弦函数的性质和各性质的定义和判定，属于中档题.7.已知，随机变量的分布列如下表所示，则（    ）A  B. C.  D. 【答案】B【解析】【分析】代入期望公式，用作差法易比较期望的大小；取，计算期望和方差，方差的大小易比较.【详解】解：，，令，则，；故选：B【点睛】考查期望和方差公式的应用，基础题.8.已知点F是椭圆的上焦点，点P在椭圆E上，线段PF与圆相切于点Q，O为坐标原点，且，则椭圆E的离心率为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根据可得，结合圆的相切关系可得，然后利用椭圆的定义及勾股定理可求离心率.【详解】设椭圆的下焦点为，圆的圆心为，线段的中点为，因为，所以，即；所以，由于，所以；因为线段PF与圆相切于点Q，所以，所以，所以；因为，所以；根据椭圆定义可得，所以有，整理得，所以离心率.故选：B.【点睛】本题主要考查椭圆的离心率的求解，根据题意构建关于的关系式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.9.已知三棱锥P—ABC中，，底面△ABC中∠C=90°，设平面PAB，PBC，PCA与平面ABC所成的锐二面角分别为，则下列说法正确的是（    ）A.  B. C. 当AC=BC时， D. 当AC=BC时， 【答案】C【解析】【分析】作面，，垂足分别为，连接，则.设，则.由，则，又，与、与大小关系不确定，故与、与大小关系不确定. 当AC=BC时，可得，故，即得答案.【详解】作面，，垂足分别为.均为锐角，点在三角形的内部.如图所示：连接，则.设，.三角形为直角三角形，.又与、与大小关系不确定，与、与大小关系不确定.当AC=BC时，,均锐角，.故选：.【点睛】本题考查二面角，属于中档题,10.已知函数，，记函数g(x)和h(x)的零点个数分别是M ，N，则（    ）A. 若M=1，则N≤2 B. 若M=2，则N≥2C. 若M=3，则N=4 D. 若N=3，则M=2【答案】A【解析】【分析】对函数求导，分析其单调性和最值，在同一坐标系中作出与的图像，根据题意函数零点的个数与的范围有关，为简单起见只讨论的情况，逐一选项判断即可得选项.【详解】，令单调递增，单调递减，当时，取得最小值，，当，在同一坐标系中作出与的图像，如下图所示： 当时，作出函数的图像如下图所示：记，则的零点转化为和，对于A选项：若时，即有1个零点，即有1个交点，所以或，（1）当时，有1个根，且，所以的根的情况是：在时，有2个根，在时，有1个根；（2）当时，有1个根，，所以没有根，所以若时，h(x)的零点个数或；所以，故A选项成立；对于B选项：若时，即有2个零点，即有2个交点，所以或，（1）当时，有2个根，且，所以的根的情况是：在时，有2个根，当时，有2个根，在或时，有1个根，当时，没有根；（2）当时，有2个根，且或，所以没有根，所以若时，h(x)的零点个数或或；所以，故B选项不正确；由图示可知和不可能有3个零点，所以，若或这种情况不存在；所以当时，若时，或；若时，或或；若或的情况不存在；和的情况与的情况类似，故选：A.【点睛】本题考查复合函数零点个数的判断以及逻辑推理，函数零点个数转化为方程解的个数或函数图象交点的个数，作为选择题，计算量太大，思维能力太高，属于难题.二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）11.双曲线的焦距为________，渐近线方程为________【答案】    (1).     (2). 【解析】【分析】把方程化为标准式，求出，即得答案.【详解】把双曲线的方程化为标准式，得.，，焦距为.渐近线方程为，即.故答案为：；.【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题.12.一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体的表面积是_____,体积是_____．【答案】    (1).     (2). 【解析】如图，几何体为四棱柱，上下底面为直角梯形，底面的斜腰为 ，两个底面面积为 ，侧面面积为 ，所以表面积为 ；体积 .【点睛】掌握这类三视图的问题，我们需要有空间想象能力，同时熟记一些体积和表面积公式，这样根据三视图还原直观图后才能正确解决问题，三视图的原则是“长对正，宽相等，高平齐”，一般三视图还原直观图的方法，如果正视图，和侧视图是三角形，那一定是锥体，如果正视图，和侧视图是矩形，那么这个几何体是柱体，如果正视图是多边形，侧视图是三角形，俯视图也是三角形，那就是锥体，(锥体侧放)还有就是一些组合体，要注意是哪些几何体组合在一起，或是几何体削去一部分时，要灵活运用补形，一般可还原为长方体或是正方体，再分割.13.如果的展开式中各项二项式系数之和为64，则n=________，展开式中的常数项为________【答案】    (1). 6    (2). 1215【解析】【分析】由题意，可求.写出展开式的通项，令的次数为0，求出，即得常数项.【详解】由题意.又的展开式的通项.令.展开式中的常数项为.故答案为：6；1215.【点睛】本题考查二项式定理，属于基础题.14.已知△ABC中，角A， B， C所对的边分别为a， b， c，满足， ∠BAC的平分线AD交BC于D，且AD=2， BD=2CD，则cos A=________，c=________【答案】    (1).     (2). 6【解析】【分析】把代入，结合余弦定理，可求，故.由∠BAC的平分线AD交BC于D，BD=2CD，故，即，可得.在△ABD和△ADC中，利用余弦定理，可求，即求.【详解】△ABC中，代入，可得，又，，.∠BAC的平分线AD交BC于D， BD=2CD，，即.又AD=2，在△ABD和△ADC中，，即，解得.故答案为：；6.【点睛】本题考查余弦定理解三角形，属于基础题.15.现有完全相同的物理书4本，语文､数学､英语书各1本，把这7本书摆在书架的同一层，要求每一本物理书至少与另一本物理书相邻，则共有________种摆法 (结果用数字作答)【答案】60【解析】【分析】分两类，可把完全相同的物理书4本看作1本，也可分每两本组合在一起，根据分类计数原理即可求出最后结果.【详解】解：第一类，把物理书看作1本，和另外三本书全排即可，即种，第二类，把4本物理书分每两本组合在一起，把语文、数学、英语排好，有种排列，将每两本物理书插入到所形成的空中，即有种，由分类计数原理可得共有种，故答案为:60.【点睛】本题考查了分类计数原理，考查了相邻问题，考查了分析解决问题的能力.16.已知正项等比数列的前n项和为，若成等差数列，则的最大值为________【答案】【解析】【分析】设正项等比数列的公比为，由等比数列前n项和公式结合等差数列的性质可得，由等比数列的性质可得，进而可得，令，，结合导数即可得的最大值，即可得解.【详解】设正项等比数列的公比为，，因为成等差数列，当时，，不合题意；当时，即，化简得，又，所以，设，，则，令可得，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以的最大值为.故答案为：.【点睛】本题考查了等比数列、等差数列的综合应用，考查了换元法及利用导数求函数最值的应用，属于中档题.17.已知平面非零向量，满足且，已知，则的取值范围是________【答案】【解析】【分析】设，，设，则，由，得到，，再利用，得到，再设，得到，根据，可解得结果.【详解】因为，所以可设，，设，则，由，得，所以，由，得，化简得，所以，所以由，得，所以，设，则，所以，所以，由，得，解得，所以，所以，所以，故答案为：.【点睛】本题考查了向量的数量积的坐标运算，考查了向量的模长公式，属于中档题.三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18.已知函数．（1）求f(x)的单调递增区间；（2）若，求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)对已知解析式结合二倍角公式、辅助角公式进行整理可得，令，即可求出单调递增区间.(2)由已知条件可知，对所求式子进行变形得，即可进行计算.【详解】（1）   令，解得，所求单调增区间为    （2）由，得，则.【点睛】本题考查了二倍角公式，考查了辅助角公式，考查了诱导公式，考查了正弦型函数单调区间求解，考查了已知三角函数值求三角函数值，属于中档题.19.如图，在四棱锥P—ABCD中， ，是等腰等直角三形，且．（1）求证： AD⊥BP；（2）求直线BC与平面ADP所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）取AD中点E，连接PE、BE、BD，由平面几何的知识可得、，由线面垂直的判定可得平面，再由线面垂直的性质即可得证；（2）由题意建立空间直角坐标系，求出所需点的坐标后，再求出、平面ADP的一个法向量为，由即可得解.【详解】（1）证明：取AD中点E，连接PE、BE、BD，如图：是等腰直角三角形，且,且，且，是等边三角形，，又，平面，平面，；（2）平面，以E为坐标原点，分别以AE，BE为x轴、y轴，过点E与平面ABCD垂直的方向为z轴建立空间直角坐标系E-xyz如图所示：则，，， ，，，，，，则，，，设平面ADP的一个法向量为，则，取则，  设直线与平面所成角为，则.【点睛】本题考查了线面垂直的判定与性质、利用空间向量求线面角的应用，考查了空间思维能力与运算求解能力，属于中档题.20.设数列的前n项和为，对任意都有．（1）求数列的通项公式；（2）记，证明：【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由，可得，两式相减得，故有，两式相减可得.故中奇数项，偶数项分别成公差是12的等差数列，分别取出通项公式，可得；（2）求出.法一：，可证不等式成立. 法二：利用数学归纳法(结合分析法、放缩法等)证明.【详解】（1），，，，两式相减可得.中奇数项，偶数项分别成公差是12的等差数列.中,令n=1,得,令可得：.，， 综上所述可得.   （2）法一：.，  .法二：数学归纳法(结合分析法、放缩法等)证明：①当n=1时,左边，右边=所以不等式成立.②假设当时, 不等式成立，即，则当n=k+1时, .只需证明：,即只要证明：,即证：.是成立的,所以n=k+1时,不等式成立.根据①②知原不等式对于任意成立.【点睛】本题考查求数列的通项公式，考查利用数学归纳法证明不等式，属于中档题.21.已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点F在x轴正半轴上，抛物线C上一点P(4，m)到焦点F的距离为5． （1）求抛物线C的标准方程；（2）已知M是抛物线C上任意一点，若在射线上存在两点G， H，使得线段MG，MH的中点恰好落在抛物线C上，求当△MGH面积取得最小值时点M的坐标．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）设抛物线的标准方程为，焦点.由抛物线的定义可求，即得抛物线C的标准方程；（2）设.求出线段MG，MH的中点坐标，代入抛物线方程，可得是方程的两个实根，根据韦达定理求出的取值范围. 求出，点到的距离，则，即求取最大值时点M的坐标．【详解】（1）设抛物线的标准方程为，焦点，则，解得，抛物线的标准方程为.（2）设.则由中点在抛物线上，可得，整理得.同理得.是方程的两个实根，且，，.弦长点到的距离.令，.在上递增，时面积最大时，此时点【点睛】本题考查抛物线的标准方程，考查与抛物线有关的面积问题，属于较难的题目.22.已知函数．（1）当时，求f(x)的最小值；（2）若对任意的恒成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1），定义域为.求出，判断的单调性，即得的最小值；（2）求出的定义域.由对任意的恒成立，判断.再利用导数证明时，原不等式对任意的恒成立，即证恒成立.【详解】（1）当时，函数，其定义域为.  ，令，得；，得 .∴f(x)在(1,3)递减，在递增，.（2）因为不等式对恒成立，故有意义，所以.下面证明时，原不等式对任意的恒成立，即证恒成立.方法一：令，则g(a)是减函数.故，令.当 时，, 故在是递增，，.方法二：令  故g(x)递增， 令则递减， 故【点睛】本题考查利用导数求函数的最值，利用导数解决不等式恒成立问题，属于难题.