专题5 函数的应用-备战2021年高考大一轮复习典型题精讲精析（解析版）

专题5 函数的应用

一、单选题

1．若关于的方程在区间上仅有一个实根，则实数的取值范围为（   ）

A．   B．   C．   D．

【答案】C

【解析】设，可得，

令，可得，令，可得，

可得函数递增区间为，递减区间为，

由函数在区间上仅有一个零点，，

，若，则，显然不符合题意，故，

或，

可得或，

故选C.

2．已知函数是定义域在上的偶函数，且，当时，，则关于的方程在上所有实数解之和为（   ）

A．1 B．3 C．6 D．7

【答案】D

【解析】因为，则，所以的最小正周期为，又由得的图像关于直线对称.

令，则的图像如图所示，

由图像可得，与的图像在有7个交点且实数解的和为,故选D.

3．已知函数，函数，若函数恰有三个零点，则实数的取值范围是（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由题意，画出函数的图象如下图所示：

恰有三个零点

即有三个不同交点，即有三个不同交点

由图象可知，当直线斜率在之间时，有三个交点

即 所以

可得

所以选A

4．已知函数，若关于x的方程恰好有四个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】当时，，，

在上单调递减，在上单调递增，

当时，取得极小值，

同理可得在上单调递增，

作出的函数图像如图所示： 

设的两根为

由恰好有四个不相等的实数根，

则方程的一根在区间上，另一根在区间上

不妨设，，

根据二次函数零点分布可得

，即，解得

故实数m的取值范围是.

故选：A

5．已知函数，若存在，使得，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】的图象如下图所示：

由图可知：当时且，则令，所以，

所以，又因为，所以，

所以，令，

所以，

所以，所以.

故选C.

6．已知函数，若对于，，使得，则的最大值为（　　）

A．e B．1-e C．1 D．

【答案】D

【解析】不妨设f()=g()＝a，

∴＝a，

∴＝ln(a+e)，＝，

故＝ln(a+e)-，（a＞-e）

令h（a）＝ln(a+e)-，

h′（a），

易知h′（a）在（-e，+∞）上是减函数，

且h′（0）＝0，

故h（a）在a处有最大值，

即的最大值为；

故选D．

7．已知函数，若方程有4个不同的实根，且，则(   )

A．12 B．16 C．18 D．20

【答案】D

【解析】

可以画出如上图的图象，由性质可知：

，

，

故选择D.

8．某企业生产两种型号的产品，每年的产量分别为万支和万支，为了扩大再生产，决定对两种产品的生产线进行升级改造，预计改造后的两种产品的年产量的增长率分别为和，那么至少经过多少年后，产品的年产量会超过产品的年产量（取）(    )

A．6年 B．7年 C．8年 D．9年

【答案】B

【解析】依题经过年后，产品的年产量为

产品的年产量为，

依题意若产品的年产量会超过产品的年产量，

则化简得，即，

所以，又，则

所以至少经过年产品的年产量会超过产品的年产量.

故选：B

9．对于函数，，若存在，使，则称，是函数与的一对“雷点”.已知，，若函数与恰有一个“雷点”，则实数的取值范围为（    ）

A． B．C．D．

【答案】C

【解析】令，整理得，它表示圆心为半径为1的圆（x轴上方），作出这个半圆及其关于原点对称的半圆，如图所示.

由知，的图象为过定点P(0,1)的直线l，

因为函数与恰有一个“雷点”,

与右侧下半圆有一个交点，

利用圆心到直线的距离等于半径可求得直线l与y轴右侧半圆相切时的斜率，

直线PA,PB的斜率分别为，故实数k的取值范围为：.

故选：C

10．定义域是一切实数的函数，其图像是连续不断的，且存在常数()使得

对任意实数都成立，则称是一个“—伴随函数”．有下列关于“—伴随函数”的结论：

①是常数函数中唯一一个“—伴随函数”；

②“—伴随函数”至少有一个零点；

③是一个“—伴随函数”；

其中正确结论的个数是 （    ）

A．1个； B．2个； C．3个； D．0个；

【答案】A

【解析】①不正确，原因如下．

若f（x）=c≠0，则取λ=-1，则f（x-1）-f（x）=c-c=0，既f（x）=c≠0是-1-伴随函数

②不正确，原因如下．

若 f（x）=x2是一个λ-伴随函数，则（x+λ）2+λx2=0．推出λ=0，λ=-1，矛盾

③正确．若f（x）是-伴随函数．

则f（x+）+f（x）=0，

取x=0，则f（）+f（0）=0，若f（0），f（）任一个为0，函数f（x）有零点．

若f（0），f（）均不为零，则f（0），f（）异号，由零点存在定理，在（0，）区间存在x0，

f（x0）=0．即-伴随函数至少有一个零点．

故选A．

二、填空题

11．已知函数，若有3个零点，则实数的取值范围为________.

【答案】

【解析】由题可知：有3个零点

等价于函数与的图象有3个交点

当时，，则

可知若，，则函数单调递减

若，，则函数单调递增

当时，，则

则函数在单调递增

又直线恒过原点

如图

当直线与相切时，设切点为

，

所以，所以

当直线与相切时，切点为原点

所以，则

由函数在单调递减，在单调递增

所以，所以

又函数与的图象有3个交点

则

故答案为：

12．已知函数是定义域为的偶函数，当时，，若关于的方程，有且仅有个不同实数根，则实数的取值范围是__________.

【答案】

【解析】当时，递减，当时，递增，由于函数是定义域为的偶函数，

则函数在和上递减，在和上递增，

当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值．

当时，；当时，.

要使关于的方程，，有且仅有个不同实数根，

设，则的两根均在区间．

则有，即为，解得．

因此，实数的取值范围是.

故答案为：.

13．设函数给出下列四个结论：①对，，使得无解；②对，，使得有两解；③当时，，使得有解；④当时，，使得有三解.其中，所有正确结论的序号是______.

【答案】③④

【解析】对于①，可取，则，

当时，；

当时，，当且仅当时，取得等号，

故时，的值域为R，

∴，都有解，故①错误；

对于②，当时，由于对于任意,无解；

时，，对任意的,至多有一个实数根，故②错误；

对于③，当时，时，单调递减，可得；

又时，，即有.

可得，则的值域为，

∴，都有解，故③正确；

对于④，当时，时，递增，可得；

当时，，当且仅当时，取得等号，

由图象可得，当时，有三解，故④正确.

故答案为：③④.

14．若函数且满足对任意，都有，若，则函数在上的零点之和是______.

【答案】5

【解析】由，可得函数的图象关于对称，

令得，作出函数在上的图象，如图所示，

函数在上的零点即为函数的图象与函数的交点横坐标，

由图可知，图象有、、、、，5个交点，其中和，和关于对称，

设横坐标从小到大依次为，，，，，则.

故答案为：5.

三、解答题

15．一个圆柱形圆木的底面半径为1m，长为10m，将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分．现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形（如图所示，其中O为圆心，在半圆上），设，木梁的体积为V（单位：m3），表面积为S（单位：m2）．

（1）求V关于θ的函数表达式；

（2）求的值，使体积V最大；

（3）问当木梁的体积V最大时，其表面积S是否也最大？请说明理由．

【答案】(1)；(2)；（3）是.

【解析】（1）梯形的面积

=，．

体积．

（2）．

令，得，或（舍）．

∵，∴．

当时，，为增函数；

当时，，为减函数．

∴当时，体积V最大．

（3）木梁的侧面积=，．

=，．

设，．∵，

∴当，即时，最大．

又由（2）知时，取得最大值，

所以时，木梁的表面积S最大．

综上，当木梁的体积V最大时，其表面积S也最大．

16．设数列的前n项和为,已知,,.

(1)证明:为等比数列,求出的通项公式;

(2)若,求的前n项和,并判断是否存在正整数n使得成立?若存在求出所有n值;若不存在说明理由.

【答案】(1)证明见解析,;(2)不存在,理由见解析.

【解析】(1)∵

∴，

因为，所以可推出．

故，即为等比数列．

∵，公比为2

∴，即，∵，当时，，也满足此式，

∴；

(2) 因为，

∴，两式相减得:

即，代入，得．

令()，在成立，

∴，为增函数，

而，所以不存在正整数n使得成立．

17．已知：，，且，

（1）若，求的取值范围；

（2）已知时，，求为多少时，可以取得最大值，并求出该最大值.

【答案】（1）；（2）时，.

【解析】（1）当时，,即,；

当时，,此时无解.

综上所述，；

（2）当时，,解得,

当时，

当时，,

当 时取得最大值.

综上所述当 时取得最大值，.

18．某工厂因排污比较严重，决定着手整治，一个月时污染度为，整治后前四个月的污染度如下表：

污染度为后，该工厂即停止整治，污染度又开始上升，现用下列三个函数模拟从整治后第一个月开始工厂的污染模式：，，，其中表示月数，、、分别表示污染度．

（1）问选用哪个函数模拟比较合理，并说明理由；

（2）若以比较合理的模拟函数预测，整治后有多少个月的污染度不超过．

【答案】（1）选择作为模拟函数，理由见解析；（2）整治后个月的污染度不超过．

【解析】（1）计算各函数对应各月份污染度得下表：

从上表可知，函数模拟比较合理，故选择作为模拟函数；

（2）令，得，得，解得，

所以，整治后个月的污染度不超过．

19．若存在与正实数，使得成立，则称函数在处存在距离为的对称点，把具有这一性质的函数称之为“型函数”．

（1）设，试问是否是“型函数”？若是，求出实数的值；若不是，请说明理由；

（2）设对于任意都是“型函数”，求实数的取值范围．

【答案】（1）是，；（2）.

【解析】（1）假设函数是“型函数”，由定义得出，

，由，得，

则有，，化简得，解得.

因此，函数是“型函数”；

（2）对于任意都是“型函数”，

则，

即，

化简得，即，

由双勾函数的单调性可知，函数在上是增函数.

当时，，所以，，解得.

因此，实数的取值范围是.

20．已知函数.

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）函数与函数的图像总有两个交点，设这两个交点的横坐标分别为，.

（ⅰ）求的取值范围；

（ⅱ）求证：.

【答案】（1）（2）（ⅰ），（ⅱ）见解析

【解析】（1）解：由已知得，

∴∴，又∵，

曲线在点处的切线方程为：.

（2）（ⅰ）令 ，

∴，

由得，；由得，易知，为极大值点，

又时，当时，

即函数在时有负值存在，在时也有负值存在.

由题意，只需满足，

∴的取值范围是：

（ⅱ）由题意知，，为函数 的两个零点，由（ⅰ）知，不妨设，则，且函数在上单调递增，欲证，

只需证明，而，

所以，只需证明.

令，则

∴.

∵，∴，即

所以，，即在上为增函数，

所以，，∴成立.

所以，.